系統辨識中最優采樣間隔的確定

李立剛， 張召昕 ， 戴永壽， 張亞南， 昂 揚

（1.北京科技大學 自動化學院，北京 100083；2.中國石油大學（華東）信息與控制工程學院，山東 東營 257061）

在控制系統的分析和設計中，首先要建立系統的數學模型。控制系統的數學模型是定量描述系統或過程內部的物理量或變量之間關系的數學表達式[1]。對連續系統進行辨識時，輸入、輸出信號需要經過采樣處理，采樣間隔T的合理選擇，關系到能否全面反映系統的動態特性以及辨識的精度。然而，在實際應用中，輸入輸出信號采樣間隔的選取大多靠經驗，國內外對這個問題的研究也比較少，因此，有必要對連續系統辨識中輸入、輸出信號采樣間隔的選取方法作一定的研究。

1 采樣間隔T的選擇方法

采樣間隔T的合理選擇，原則上，要考慮以下幾個方面的問題[2]：

1）頻譜混疊問題：由Shannon采樣定理知，若采樣間隔T選得過大，即采樣點離得太遠，會引起低頻分量與高頻分量產生“混疊”現象，從而使辨識誤差增大。此外，當T選得過大時，會導致采樣信號中包含的被辨識系統的高頻信息過少，無法準確反映系統的高頻特性。

2）辨識的效率和工作量：若采樣間隔T選得過小，即采樣點離得太近，會導致差分方程近于線性相關，容易形成病態方程組。另外，當噪聲干擾較大時，若T取得很小，還可能把噪聲的特性反映到被辨識模型中。同時，若T取得過小，還會產生大量的多余數據，從而不必要地增加存儲量和計算量。

3）信號的采樣間隔T要與其他環節的時間間隔一致：例如，若辨識的目的是設計一個數字控制系統，則采樣周期T須按照數字控制系統的性能及要求來選擇。

現有的采樣間隔選擇方法主要有：根據被辨識系統的最高工作頻率結合采樣定理的選取方法，根據系統的時間常數以及過渡過程時間的選取方法等。它們都屬于經驗估計法，在精確程度上有所欠缺。

對于這個問題，加拿大學者SIMON S.UYKIN提出了關于采樣間隔T的一種選取準則[3]：

式中λm為被辨識系統連續時間模型絕對值最大的特征值，T為被辨識系統輸入輸出信號的采樣間隔。但是在實際應用中，待辨識系統的特征值的值通常是未知的，這樣就在一定程度上限制了該準則的直接應用。

針對這個問題，N.K.Sinha教授提出了一種解決的方法[4]。該方法的基本思想為：對于在某個采樣間隔T0下辨識得到的離散系統模型，首先計算它在z域中的特征值，并用雙線性變換法[5]將其中模最小的特征值從z域變換到w域，然后根據w平面中該特征值到原點的距離d的大小判斷采樣間隔T0的合理性。根據式（1）給出的準則，Sinha在文獻[4]經推導得，當d的值大約為5時，可認為相應的采樣間隔T的取值是最優的。

這里使用雙線性變換法將模型的特征值從z平面變換到w平面：

上式中，z=eα[cos β± jsin β]，相應的平面中的點由下式計算得到：

式中，

理論分析[4]表明，d的值隨采樣間隔T的增大而減小。本文利用d的值與采樣間隔T的這種關系，結合折半查找法[6]的思想提出了一種尋找采樣間隔最優值的方法。該方法首先設定采樣間隔的初始選取范圍，取中間值作為系統輸入輸出信號的采樣間隔進行參數辨識，根據每一步計算中d值的大小不斷地對采樣間隔的取值范圍“折半”，最終得到采樣間隔的理論最優值。該方法的具體步驟如下：

Step0設置采樣間隔取值范圍的上限Tmax和下限Tmin，以及允許的誤差限E；

Step1 若 Tmax－Tmin＜E，則跳轉到 Step4，否則轉到 Step2；

Step2 取采樣間隔 T=（Tmax+Tmin）/2；

Step2.1以采樣間隔T對原系統的輸入輸出信號進行采樣，并用采樣得到的輸入和輸出對系統離散模型的參數進行辨識；

Step2.2計算在當前的采樣間隔下所得系統模型的特征值，使用雙線性變換法將其最小的特征值轉換到平面；

Step3計算平面中該特征值到原點的距離，記為d；

Step3.1如果d的值約為5，則跳轉到Step4，否則轉到Step 3.2；

Step3.2 若 d＜5，則令 Tmax=T，跳轉到 Step1，否則轉到Step3.3；

Step3.3令Tmax=T，跳轉到 Step1；

Step4取當前的T為最優的采樣間隔，結束。

其中，平面中極點到原點的距離d通過下式計算得出：

計算流程圖如圖1所示。

圖1 采樣間隔的選取步驟Fig.1 Method of sample interval selection

2 仿真實例

下面，文中通過一個實例對上述方法的應用作具體的介紹。

2.1 辨識對象

待辨識連續系統的傳遞函數模型為：

對上述系統施加如下的輸入信號：

得到相應的輸出為：

對式（7）和（8）表示的輸入輸出信號以 0.01 s的采樣間隔進行采樣，共采集300 s，得到30 000組輸入輸出信號的采樣值。為了獲得有色噪聲，將隨機數（近似的高斯零均值序列）通過如下形式的滑動平均濾波器:

將通過上述過程產生的噪聲添加到輸入輸出信號的采樣數據中，用添加噪聲后的樣本數據對原系統的離散時間模型在不同的采樣間隔下進行辨識。在每10組采樣值中取一組用于辨識即等價于采樣間隔為0.1 s，每15組取一組即等價于采樣間隔為0.15 s，以此類推。這樣，在不同采樣間隔情況下的數據時間長度是一致的，即皆為300 s，這樣保證了不同采樣間隔下辨識結果的對比分析的合理性。

這里采用如下形式的離散時間模型對系統進行辨識：

式中e（k）為白噪聲，這里采用的參數辨識方法是遞推增廣最小二乘估計（RELS）法。

對于式（6）描述的連續時間系統模型可以通過階躍響應不變法離散化為采樣間隔T下的z域模型：

式中

其中，T 為采樣間隔，a1、a2和 b0、b1即為采樣間隔為 T時，所得離散模型的真實參數。

2.2 計算過程

Tmin可以取系統所允許的采樣間隔最小值，這里取Tmin=0.01 s；Tmax可以取較大一點的值，這里取Tmax=2s。經過7步計算，d的值為4.95，已經非常接近5了，因此我們這里最終選取的采樣間隔T為0.14 s。具體每步的遞推計算結果如表1所示。

表1 遞推計算過程Tab.1 Process of recursive calculation

式中θ與θ1分別為模型的真實參數向量與辨識所得的參數向量。

2.3 結果及分析

為了驗證由該方法計算得到的采樣間隔的是否為最優的，這里以 T1=0.01 s為初始值，T2=0.4 s為終止值，在[T1，T2]范圍內每0.01 s取一個值作為對原系統進行辨識的采樣間隔，在對應的采樣間隔下分別對模型的參數進行估計并分別根據式（12）計算模型的參數辨識誤差，在MATLAB下得到的仿真計算結果如圖2所示。

表中Pe為模型的參數辨識誤差，按（12）式計算

圖2 不同采樣間隔下參數辨識誤差曲線Fig.2 Parameter identification error at different sample interval

將辨識中對原系統施加的信號分別輸入到不同采樣間隔下辨識得到的模型中，在MATLAB中計算得到模型的輸出與原系統實際輸出的均方誤差曲線如圖3所示。

圖3 不同采樣間隔下模型輸出誤差曲線Fig.3 Model output error at different sample interval

這里的輸出誤差是模型輸出誤差平方和的均值。

由此仿真結果可知，當采樣間隔T取0.14 s時，辨識所得模型的參數辨識誤差和輸出誤差均為最小，即T=0.14 s為對本例中的連續系統進行辨識的最優采樣間隔。

從仿真結果可以看出，當采樣間隔取值過小時，參數辨識誤差及辨識所得模型的輸出誤差均較大。這是因為采樣間隔T選得過小，采樣點離得太近，導致參數辨識過程中的差分方程近于線性相關，形成了病態方程組所致。

當采樣間隔的值大于最優采樣間隔時，辨識所得模型的輸出誤差及參數辨識誤差隨著采樣間隔的增大而增大，但是輸出誤差的增大相對并不十分明顯。這意味著在實際應用中，可以在滿足輸出誤差的前提下適當地增大采樣間隔T，以減少計算量。

3 結束語

在連續系統模型辨識中，對于如何選取輸入輸出信號的采樣間隔，目前的研究比較少，實際應用中大多也只是依靠經驗。本文根據一種判斷辨識中所用采樣間隔的準確性的方法，提出了利用折半查的思想法尋找連續系統辨識中最優采樣間隔的方法，與原有方法相比，該方法的使用不需要已知被辨識系統的特征值，具有一定的實際應用意義。

在該方法中，如何根據辨識對象的特性對初始Tmin與Tmax加以選擇以減少計算的步數，以及如何將該方法從單輸入單輸出系統擴展到多輸入多輸出系統，還需要在以后的工作中繼續研究。

[1]龐中華，崔紅.系統辨識與自適應控制MATLAB仿真[M].北京:北京航空航天大學出版社，2009.

[2]王志賢.最優狀態估計與系統辨識[M].西安:西北工業大學出版社，2004.

[3]SIMON S.UYKIN.A Unified treatment of recursive digital filtering[J].IEEE Transactions on Automatic Control，1972，2（17）:113-116.

[4]Prof.N.K.Sinha， B.Sc. （Eng.）， Ph.D.，e al.Choice of the sampling interval for the identification of continuous-time systems from samples of input/output data[J].IEE Proceedings，1985，6（132）:263-267.

[5]Ekman M，Larsson E K.Paramter estimation of continuoustime bilinear systems based on numerical integration and separable non-linear least-squares[J].Inernational Journal of Conrrol，2007，80（3）:329-339.

[6]Gupta，V..A Keyword Searching Algorithm For Search Engines[C]//Innovations in Information Technology，2007.Innovations ’07.4th International Conference on.18-20 Nov，2007:203-207.