基于方向譜的海浪三維數(shù)值模擬

張思將，楊 潔，歐陽藝

（解放軍91404部隊，秦皇島066001）

0 引 言

海浪的三維數(shù)值模擬從方法上一般分為2類［1］：一類是基于求解流體N－S方程的物理建模方法；另一類是通過參數(shù)曲面擬合計算波面高度場的波面造型建模方法。其中，前一種方法求解過程較為復(fù)雜，難以達(dá)到實時性要求；后一種方法應(yīng)用較為廣泛，相應(yīng)的實際計算算法也出現(xiàn)多種，如基于隨機(jī)三角函數(shù)疊加［2］、反演海浪頻譜合成［3－4］等算法。

本文研究基于Gerstner波的海浪建模方法，并增加波陡度控制參數(shù)以改善海浪波形；總結(jié)常用的海浪譜和方向擴(kuò)展函數(shù)，分析波浪立體觀測計劃（SWOP）和Donelan方向擴(kuò)展函數(shù)的異同；計算各子波參數(shù)，從而實現(xiàn)3D海浪模擬。

1 基于Gerstner波的海浪模型建模

經(jīng)典的Gerstner模型從動力學(xué)的角度描述了海浪各質(zhì)點的運(yùn)動，于1986年被Fournier首次引入計算機(jī)圖形圖像領(lǐng)域，其后被廣泛采用［4］。Gerstner波函數(shù)為［5］：

式中：ai，j為子波波幅；θp為風(fēng)速方向；θj為子波與風(fēng)速方向的夾角；ki為子波波數(shù)；ωi為子波波頻；εi，j為子波初始相位。

為了更逼真地模擬海浪，形成較尖的浪頭和較寬的浪槽，對Gerstner波的（x，z）坐標(biāo)進(jìn)行修正，加 入控制波陡度的參數(shù)：

式中：Qi＝Q／（φiAi），Q∈0～1，為波形控制參數(shù)。

通過控制Q，即可以得到完全平滑的波到最尖銳的波。由于風(fēng)是引起海浪的最常見的原因，并且仿真海浪環(huán)境一般為深水波，因此將海面簡化為風(fēng)浪深水波。根據(jù)線性波理論，對深水波［6］有ki＝

海浪方向譜描述了海浪內(nèi)部能量相對于頻率和方向的分布，一般由頻譜S（ω）和方向擴(kuò)展函數(shù)D（ω，θ）組成：

式中：θ為海浪波與風(fēng)向的夾角。

對于式（1）中的每一個分量，有：

根據(jù)式（4）即可求出每個分量對應(yīng)的子波波幅ai，j為：

2 構(gòu)造方向譜

由公式（3），海浪方向譜包括頻譜和方向擴(kuò)展函數(shù)，通過組合不同的頻譜和方向擴(kuò)展函數(shù)可獲得不同的方向譜。

2.1 海浪譜

海浪譜提出于20世紀(jì)50年代，它將海浪運(yùn)動視為平穩(wěn)隨機(jī)過程，具有平穩(wěn)性和各態(tài)歷經(jīng)性，通過隨機(jī)過程理論討論各種情況下海浪運(yùn)動的統(tǒng)計性質(zhì)。目前已提出的海浪譜都是以風(fēng)要素為參量，用以描述海面風(fēng)浪狀態(tài)的。

（1）Neumann譜［7］

Neumann譜是Neumann于1952年最早提出的一種經(jīng)驗譜模式。Neumann認(rèn)為，在一定風(fēng)速下的周期可對應(yīng)不同的波高，但其對應(yīng)關(guān)系有1個上限，他對充分成長狀態(tài)海浪波高與周期關(guān)系進(jìn)行了擬合，得到Neumann譜的形式：

譜高頻部分主要取決于前者，而低頻部分主要取決于后者，僅限于描述充分成長狀態(tài)的海浪，而且不具有Fourier譜的性質(zhì)。至今提出的海浪譜大都屬于這種形式。

（2）P－M 譜［1，8］

Pierson和Moscowitz于1964年對在北大西洋充分成長狀態(tài)下的風(fēng)浪記錄進(jìn)行譜估計，將得到的54個譜依風(fēng)速分成5組并將各組譜進(jìn)行了平均，得到了有因次的擬合式：

式中：α＝8.1×10－3；β＝0.74；U為海面上19.5m高處的平均風(fēng)速。

P－M譜是以風(fēng)速為參量的充分成長狀態(tài)的海浪頻譜。與Neumann譜相比，P－M譜數(shù)據(jù)基礎(chǔ)較好，準(zhǔn)確性更好，而且符合Fourier譜的定義，因此被更為廣泛地采用。

（3）JONSWAP譜［9－10］

JONSWAP譜是在由德、英、美、荷等國有關(guān)組織于1968～1970年進(jìn)行的“聯(lián)合北海波浪項目”系統(tǒng)測量的基礎(chǔ)上提出的，描述了有限風(fēng)區(qū)持續(xù)成長的海浪，其譜式為：

式中：ω0為譜峰頻率；γ為譜峰增強(qiáng)因子，即同一風(fēng)速下譜峰值與P－M譜峰值的比值，其值介于1.5～6，平均值為3.3；σ為峰形參量，用于控制譜峰寬度；a為尺度系數(shù)F為風(fēng)區(qū)長度，U10為海面10m高處的平均風(fēng)速

JONSWAP譜是受限于風(fēng)區(qū)狀態(tài)的海浪頻譜，僅適用于深水，其尺度系數(shù)a、譜峰頻率ω0和譜峰增強(qiáng)因子γ均與風(fēng)速和風(fēng)區(qū)有關(guān)。當(dāng)風(fēng)區(qū)很大時，γ趨近于1，此譜也接近于P－M譜。

JONSWAP譜可描述受限于風(fēng)區(qū)的狀態(tài)，但包含了5個參量，使用不夠方便。

（4）其它譜

在海洋學(xué)中還常用到其它形式的譜，如Bretschneider譜、Phillips譜、Kruseman譜、Toba譜、文圣常譜等，它們從不同角度對海浪現(xiàn)象進(jìn)行了描述。

2.2 方向擴(kuò)展函數(shù)

常用的方向擴(kuò)展函數(shù)主要有：

（1）國際船模試驗池會議（ITTC）建議的方向擴(kuò)展函數(shù)［2，11］：

（2）ISSC（國際船舶結(jié)構(gòu)會議）提議的方向擴(kuò)展函數(shù)［9］：

（3）SWOP（波浪立體觀測計劃）得到的方向擴(kuò)展函數(shù)［9］：

（4）Donelan方向擴(kuò)展函數(shù)［8］

1995年，吳秀杰、滕學(xué)春一起根據(jù)陣列測量和“956”測波浮標(biāo)在渤海獲得的海浪方向譜資料，從總能量的觀點比較了這些海浪方向分布函數(shù)，得出在風(fēng)浪的初始成長和成長狀態(tài)，Donelan方向分布函數(shù)描述吻合程度最好，所以采用不考慮波陡時Donelan方向分布函數(shù)：

式中：β為系數(shù)；ωp為頻譜的峰值頻率。

3 方向擴(kuò)展函數(shù)比較

ITTC和ISSC只與子波方向θ有關(guān)，具體使用受到一定限制。SWOP和Donelan方向擴(kuò)展函數(shù)充分考慮了子波方向和頻譜的關(guān)系，吻合程度較好，實際應(yīng)用較為廣泛。

設(shè)風(fēng)速U＝10m／s，ωp＝8.565／U，得到不同頻率下方向擴(kuò)展函數(shù)的曲線如圖1所示。

選擇應(yīng)用較為廣泛的PM譜，分別與SWOP方向擴(kuò)展函數(shù)和Donelan方向擴(kuò)展函數(shù)構(gòu)成海浪方向譜，計算子波ai，j系數(shù)。設(shè)風(fēng)速U＝10m／s，子波方向分別為［－1.047 2，－0.523 6，0，0.523 6，1.047 2］，頻率方向上10等分，得到相應(yīng)的子波系數(shù)ai，j，分別如圖2所示。

圖1 SWOP和Donelan不同頻率下方向擴(kuò)展函數(shù)的曲線

由圖1可以看出，在ω≤0.5ωp時SWOP方向擴(kuò)展函數(shù)和Donelan方向擴(kuò)展函數(shù)基本相同；在ω＞0.5ωp時，Donelan方向擴(kuò)展函數(shù)更集中于風(fēng)速方向。由圖2看出，計算得到的子波系數(shù)ai，j不盡相同，和圖1Donelan方向擴(kuò)展函數(shù)更集中于風(fēng)速方向的結(jié)論基本一致。

圖2 SWOP和Donelan對應(yīng)子波系數(shù)比較

4 仿真實例

圖3 動態(tài)海面仿真效果

采用PM譜和Donelan方向擴(kuò)展函數(shù)構(gòu)成海浪方向譜，風(fēng)速分別選取風(fēng)速和，渲染得到三維海浪效果，如圖3所示。

5 結(jié)束語

本文采用Gerstner波建立海浪模型，并增加波陡度控制參數(shù)，有效改善了海浪波形；總結(jié)了常用海浪譜和方向擴(kuò)展函數(shù)，對SWOP和Donelan方向擴(kuò)展函數(shù)的異同進(jìn)行了分析；通過計算各子波參數(shù)，實現(xiàn)了海浪數(shù)值三維模擬。論文仿真結(jié)果表明，該方法符合實際情況，效果逼真，具有較高的應(yīng)用價值。

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