數學建模思想融入高等數學教學的探討

袁 媛

（桂林電子科技大學信息科技學院，廣西桂林 541004）

隨著普通高校教學改革的全面推進以及全國大學生數學建模競賽影響力的日益擴大，越來越多的數學教育工作者提出將數學建模思想融入高等數學的教學中，改變高等數學的原有教學體系，將傳統的注重數學理論的教學逐漸轉變為現代的注重數學應用的教學，這已成為當前高等院校數學教學改革的發展方向，因為這樣不僅能激發學生的學習興趣，還能培養學生應用數學的意識，提高學生解決實際問題的能力[1]。

獨立學院作為應用型的新型本科院校，以培養地方、區域社會發展需求的高素質復合型、應用型人才為目標，因此，在高等數學的課堂教學中，理論教學應以夠用、實用為度，以兼顧知識體系為原則，突出數學的應用性，讓學生知道自己所學的知識能應用在哪里、怎樣應用。而作為知識應用的一個方面，數學建模是一個很好的手段。但是，參與數學建模競賽的學生畢竟占少數，借助競賽提高不了大多數學生的數學應用能力，我們應該以數學建模競賽為契機，將數學建模思想融入日常的高等數學教學中，使之成為“大眾化”的教學，讓學生嘗試用數學建模的思想方法思考問題。本文立足于獨立學院的實際教學情況，探討如何將數學建模的思想方法融入高等數學的教學。

1 獨立學院高等數學教學的現狀分析

高等數學作為理工科學生的公共必修課程，為后續專業課程的學習奠定基礎，因此無論是哪所高校，都將高等數學的教學從大學一年級第一學期開始安排，獨立學院也不例外。為適應獨立學院的發展需求，高等數學的課時被大大地縮減，然而高等數學本身具有高度的抽象性、嚴密的邏輯性、廣泛的應用性等特點，課時的縮減無形中增加了教學的壓力。按照原有的教學體系進行教學，大部分教師都感受到課時的緊張。因此，在課堂教學中，常常出現有些教師因為注重講授數學知識的科學性、系統性而采取“填鴨式”、“滿堂灌”的教學方式，忽視學生作為學習主體的地位，不利于學生主動獲取知識能力的培養，教學效果不太理想。

另外，獨立學院的學生大多數學基礎薄弱，數學的計算能力、邏輯推理能力等都不太好，而且在學習上的惰性很強，遇難就退，沒有良好的學習習慣。高等數學是一門邏輯性強、比較抽象的學科，其概念、性質、公式、定理繁雜，學生不易掌握，極易產生畏懼的情緒，從而逐漸失去自己能學懂的自信心。又加上高等數學的教學還是采用“老師臺上講，學生臺下聽”的“板書式”傳統教學模式，教學流程一般都是先從實例中引出定義，從定義出發推導公式、定理等結果，再應用結論去解決純粹的數學問題。教學過程死板、枯燥，學生完全體會不到數學的魅力，難以吸引學生的注意力。他們往往會拿數學與所學專業進行比較，得出的結論是數學無用或學了不會用，數學沒用應用價值，“數學無用論”的消極思想滋生蔓延開來，嚴重影響了學生學習數學的情緒，也極大地影響了教師教學的積極性[2]。

2 數學建模思想融入高等數學的教學探討

基于上述關于獨立學院高等數學的教學現狀，為提高學生學習數學的興趣，在高等數學中融入數學建模的思想方法是行之有效的方法之一。“融入”不能等同于簡單的“插入”，即將數學建模的實例插入教材中，或用幾個學時講解一兩個由淺入深的數學模型范例。這樣，雖然在一定程度上可以激發學生對應用數學的興趣，但還遠不能培養學生自己動手建立數學模型的能力，而且這些應用范例往往會游離于課程的知識體系之外[3]。應當在不影響“高等數學”的課程體系的基礎上，盡量充分地與課程知識有機結合，達到真正融入的效果。下面我們舉兩例說明數學建模思想融入高等數學的具體做法。

2.1 極限概念的引入與應用

高等數學中的許多概念如極限、導數、定積分等都有具有數學建模的特征，因此在講授數學概念時，可以借助概念產生的背景，通過對實際背景問題的抽象、概括、分析和求解過程的引入，讓學生切實體會到從實際問題中抽象出數學概念的方法，逐步培養學生數學建模的思想和意識。

極限是高等數學區別于初等數學的顯著標志。高等數學中幾乎所有的概念（如導數、微分、積分、級數等）都離不開極限。因此，理解好極限概念將有助于高等數學后續內容的學習，同時也對主講教師提出了更高的要求：適時地融入數學建模思想方法以突出課堂的亮點而不淡化教學重點，向學生展示一堂耳目一新的概念課教學。

由于學生在高中階段已學習過了極限的描述定義，并會求一些簡單函數的極限，如果按照書本的設計，按部就班地直接給出描述定義與分析定義，教學過程流程化，學生聽著毫無新意，不利于學生對極限概念的深入理解，并與實際應用脫節。為此，我們先利用多媒體課件演示劉徽“割圓術”的思想方法和“Koch雪花”的形成過程，讓學生對“變化趨勢”、“無限趨近于”有一個感性的認識。在學生興趣正濃之際，列舉5個具體數列，動畫演示它們在數軸上的變化趨勢并很快得出結論，再以其中一個為例進行具體分析，通過向學生提出分析與解決問題的數學思想方法和詳細過程，將其抽象概括到數學上即引出了極限的概念。這樣讓學生參與從具體到抽象的教學過程，加深學生對所學知識的理解，同時讓他們親身體會數學家們從實際問題中抽象出數學概念的成就感，增強他們學好數學的自信心。

作為極限的應用實例，可選取計算“Koch雪花”的周長和面積。求解過程不一定在課堂上完全解決，在老師的引導下可以先找出周長和面積的遞推關系，剩下的留做課后練習，結果會讓學生大吃一驚：這種由有限的封閉曲線圍成的圖形，幾何直觀顯示周長、面積都應該是有限的，但是求解得結果卻是當邊長無限增多時，雪花的面積有限，而周長無限[4]。通過本問題，讓學生動手解決，從中體會數學之美。

2.2 微分方程的應用

高等數學中微分方程以微積分為基礎，其教學內容相對獨立，學生只要記住不同類型的方程所對應的不同解法就基本上達到了教學要求，對于微分方程的應用一節一般都是輕描淡寫，甚至讓學生自學。學生常常會問：“學習微分方程能解決什么樣的問題？”教師一般都敷衍地回答：“解決你們的專業課涉及的微分方程。”至于究竟能解決怎樣的實際問題則不能很好地給出解釋。其實，利用實際案例講授好微分方程的應用既能使學生掌握數學建模的思想方法，又能深刻體會到數學是解決實際問題的銳利武器，極大地調動學生學習的積極性。

以一名律師為其當事人辯護需要而建立的數學模型為例，他的當事人被控嫌疑謀殺，人們懷疑他曾為了逃避追捕從一個高30英尺的窗戶跳下來，辯護律師力圖申辯的是：人的腿是虛弱的，如果他從那扇窗戶跳下來，就可能受傷。建立數學模型是為了估計他著地時的速度，從而判斷他能否當即站起來并逃走[5]。

問題可明確為：如果一個人從30英尺的高度下落，他著地時的速度是多少？

在建模之前，提出問題讓學生思考：（1）人體的下落需要考慮空氣阻力？如果考慮，在模型中如何體現？（2）身體的尺寸對下落有影響嗎？

通過對力學知識的了解，回答上述問題，從而將人體想象為一個質點，應用牛頓運動定律建立模型：其中x是時間t內人體垂直下落的距離，v為下落速度，空氣阻力表達為R=k1v2，最終簡化模型為

利用“極限速度”的概念（指人體在介質中下落最終的恒定速度，人體極限速度是120mile/h）求得k=0.00341，那么關于人體從窗戶墜落問題的數學模型是一個一階微分方程：

通過看似一個與數學無關的辯護問題，用數學知識卻能很快地解決，并且其結果具有強有力的說服力，可以培養學生應用已有知識的意識以及從實際問題中提取數學語言的能力。作為青年教師，如何在高等數學中成功地融入數學建模的思想方法以促進獨立學院的數學教學改革，培養學生的創新意識、創新思維、創新能力，是一條漫長的教改之路，還需要在教學中不斷地探索與實踐。

[1]黎彬,陳小強,李世貴.數學建模思想融入大學數學教學研究與實踐[J].重慶科技學院學報:社會科學版,2007(4):171-172.

[2]盛光進.將數學建模思想融入“高等數學”教材的研究與實踐[J].高等理科教育,2006(6):16-19.

[3]覃思義,徐全智,杜鴻飛,等.數學建模思想融入大學數學基礎課的探索性思考及實踐[J].中國大學數學,2010(3):36-39.

[4]苑靜.數列極限的實際應用[J].科技信息,2010(4):492.

[5]徐全智,楊晉浩.數學建模[M].2版.北京:高等教育出版社,2008:89-92.