二階隱式微分方程四點積分邊值問題解的存在唯一性

姚曉斌

（隴南師范高等專科學校數學系，甘肅隴南 742500)

對于帶有各種邊值條件的顯式二階微分方程，已有很多關于解的存在唯一性的結果，且在這些問題研究中有著很多的研究方法[1-4]。本文討論如下二階隱式微分方程四點積分邊值問題:

解的存在唯一性，其中 0≤ξ＜η＜1，0＜α（η2-ξ2）＜2，f∈C（［0,1］，R，R）。

1 預備知識

(H1)f：［0，1］×R×R→R 是連續的；(H2)存在 M，L＞0，使得對任意的 u1，v1，u2，v2∈R，

2 主要結果及證明

定理 設(H1)和(H2)成立，且

則問題(1)有唯一解。

證明 問題(1)等價于如下問題

的解，這表明 u（t）=φ（t）是問題(1)的解，其中，因此v是如下積分方程

要證問題(1)有唯一解等價于證明上面所定義的算子A是一個壓縮映射。

設 v1，v2∈C［0，1］，由(H2)有

其中

因此對任意 v1，v2∈C［0，1］，||Av1-Av2||0＜σ||v1-v2||0成立，且，這表明A是一個壓縮映射。

[1]Agarwal,R.P.Two-point problems for non-linear second order differential equat ions[J].J.Math.Phys.Sci.1974(8):571-576.

[2]Das,K.M.and Lalli,B.S.Boundaryvalue problems for y″=f(x,y,y′,y″)[J].J.Math.Analysis Applic.1981,81:300-307.

[3]Agarwal,R.P.On boundaryvalue problems for y″=f(x,y,y′,y″)Bulletin ofthe institute ofmathematics[J].Academia,sinica,1984,12(2):153-157.

[4]Baxley,J.V.and Brown,S.E.Existence and uniqueness for two-point boundaryvalue problems[J].Proceedings ofthe Royal Societyof Edinburgh,1981,88A:219-234.

[5]D.Guo,J.Sun.Nonlinear Integral Equations[M].Jinan:ShandongScience and EchnologyPress,1987(in Chinese).