一種二階常系數非齊次線性微分方程特解的設定方法

倪臣敏，管典安

（華僑大學廈門工學院數學教研室，福建廈門 361021）

二階常系數線性微分(差分)方程的內容，在現行的高等數學或者經濟數學(微積分)中主要介紹了兩種類型的求解，即齊次的（1）和非齊次的（2），

這兩種類型的方程無論在工程應用模型還是經濟分析模型的建立中都有非常重要的基礎性作用。根據線性微分方程解的結構定理[1]，二階常系數非齊次線性微分方程（2）的解為y=Y+y*。其中Y為其對應的齊次方程（1）的通解，y*為（2）的一個特解。Y易用特征方程法，快速而簡便地求解。特解y*的求法較為復雜，一般是采用待定系數法[1]，即先設出y*的形式，再將其代入原方程（2），根據等式兩邊同類項前的系數對應相等，解出待定系數。

在眾多高等數學或者微積分教材中，特解y*的設定都是經過簡單推導后，分類給出設定公式，如高等數學[1]中，對于于f（x）=eλxPm（x）（其中Pm（x）為m次多項式）的情形，給出（2）的特解形式y*是：

y*=xkQm（x）eλx，其中Qm（x）為m次多項式，

y*=xkeλx，其中為m次多項式。

如何用統一的方法，給出特解的形式，有很積極的研究意義。本文就常見高等數學教材中f（x）的兩種類型f（x）=eλxPm（x）及f（x）=eλx，根據其導數的特點，給出了新的特解y*的設定法，此方法統一了（3）和（4）兩個結論，亦適用于一二階常系數非齊次線性差分方程特解的設定求解。

1 主要內容

1.1 對非齊次項的分析

考察f（x）的兩種類型，各階導數的特點。

（i）若f（x）=eλxPm（x），則

因Pm（x）的m+1階導數為0，且（eλx）（n）=λneλx，故f（x）的各階導數展開式中，所含同類項為有限項。如f（x）=（x2+1）e2x，f′（x）=2xe2x+2（x2+1）e2x=2（x2e2x+xe2x+e2x），繼續求f″（x），f′″（x），…。f（x）的各階導數所含同類只有三項x2e2x，xe2x和e2x，而f（x）是其中兩個同類項的線性組合f（x）=x2e2x+e2x。

（ii）若f（x）=eλx［P1l（x）cosωx+P2n（x）sinωx］，由于正弦和余弦函數導數的交互性，不難推導出f（x）的各階導數中所含同類項的個數也是有限的。事實上，應用歐拉公式，亦可以將此f（x）化為指數和多項式相乘的類型。

1.2 特解的設定方法

定理 設二階常系數非齊次線性微分方程

y″+py′+qy=f（x）（f（x）=eλxPm（x）或f（x）=eλx對應的齊次方程的通解為Y=C1g1（x）+C2g2（x）且f（x），f′（x），f″（x）…所含同類項為有限項，則上述非齊次方程特解的待定形式為

證明僅就f（x）=eλxPm（x）且m=2時，作簡要證明，其他情況略。設此時對應齊次方程的通解為Y。

當m=2時，f（x）=eλx（a2x2+a1x+a0），容易求出f（x），f′（x），f″（x）…所含同類項為x2eλx，xeλx，eλx三項，故原方程的特解初步設定為y*=ax2eλx+bxeλx+ceλx=（ax2+bx+c）eλx。

（i）若y*與Y中無相同的同類項，則說明λ不是特征方程的特征根，由（3）y*的待定形式為：y*=ax2eλx+bxeλx+ceλx=（ax2+bx+c）eλx。

（ii）若y*與Y中有相同的同類項，則說明λ是特征方程的特征根，若為單根，則y*x與Y無相同的同類項，故特解的待定形式為x（ax2+bx+c）eλx；若為重根，則y*x與Y中仍有相同的同類項，y*x2與Y中無相同的同類項，故原方程特解的待定形式為：x2（ax2+bx+c）eλx。

顯然，上述特解形式等同于引言中（3）式給出的結論。

需要注意的是，本定理中特解形式的設定是基于非齊次項f（x）及其各階導數所含的同類項的有限性，其假設的關鍵是保證特解形式和對應齊次方程的通解不含相同的同類項。

例1 寫出下列微分方程特解的待定形式。

（i）y″-3y′+2y=2x+3；（ii）y″-3y′+2y=xe2x；（iii）y″-3y′+2y=excos2x.

解：容易看出（i）~（iii）對應的齊次方程的通解均為Y=C1ex+C2e2x，Y中所含同類項為ex，e2x.

對于（i），f（x）=2x+3，f′（x）=2，f″（x）=f′″（x）=…=0,f（x）及其各階導數所含同類項為x和常數項，他們都和Y中所含的同類項不同，故（i）方程的特解的待定形式為y*=ax+b（其中a，b為任意常數）。利用引言中（3）式結論驗證之，因f（x）=2x+3=e0x（2x+3），0不是特征方程r2-3r+2=0的根，故（i）特解的待定形式為y*=ax+b（其中a，b為任意常數）。

對于（ii），非齊次項f（x）=xe2x，f（x）及其各階導數所含同類項為xe2x和e2x，有與Y中所含的同類項相同的項e2x，故原方程的特解待定形式初步設定為（axe2x+be2x）x，此特解形式中所含同類項為x2e2x和xe2x，它們與Y中所含的同類項均不相同，故方程（ii）特解的待定形式設為y*=（axe2x+be2x）x（其中a，b為任意常數）。同理可用（3）式結論驗證之。

對于（iii），非齊次項f（x）=excos2x，f（x）及其各階導數所含同類項為有限項excos2x和exsin2x，且均與ex，e2x不相同，故其特解的待定形式為y*=aexcos2x+bexsin2x（其中a，b為任意常數）。利用引言（4）式容易驗證此結論的正確性。

從以上解題過程可以看出，本文介紹的方法使得兩種非齊次項的類型特解的設定得到了統一，而且簡單直觀，為后續的方程求解提供了很大的方便。

對于非齊次項為定理中的兩種情況相加的情形，需根據疊加原理[1]來獲得微分方程的特解形式。

例2 求y″+y=ex+cosx的特解的待定形式。

解 考慮方程y″+y=ex和y″+y=cosx，分別求出其對應的特解的待定形式y*1=aex和y*2=bcosx+csinx，由疊加原理，所求方程的特解待定形式為y*=aex+bcosx+csinx。

事實上，對于例2方程的求解，較簡便的方法是：先將y*1，y*2分別代入其對應的方程，解出待定系數a，b，c，獲得非齊次方程的一個特解，再根據解的結構定理寫出其通解。

2 結論的拓展

可以驗證文中的定理所介紹的方法同樣適用于對一二階常系數非齊次線性差分方程特解的求解。例3 求下列方程的一個特解。

（i）yx+1+yx=x·2x；（ii）yx+2+3yx+1-4yx=-2.

解（i）對應齊次方程的通解[2]為Yx=C（-1）x。非齊次項為f（x）=x·2x，f（x）及其各階導數所含同類項為2x，x·2x，且均與Yx所含的同類項（-1）x不同，故方程（i）特解的待定形式可設為，從而b（x+1）·2x+1，將，代入方程（i）得，這就求得方程（i）的一個特解

（ii）對應齊次方程的通解為Yx=C1（1）x+C2（-4）x=C1+C2（-4）x，所含同類項為（-4）x和常數項。非齊次項為f（x）=-2，f（x）及其各階導數所含同類項為常數項，與Yx中所含的一個同類項相同，故其特解形式設為（此時所含同類項x與Yx中所含的兩個均不相同），將（x+1）代入方程（ii）得，即得方程（ii）的一個特解

[1]同濟大學數學系.高等數學[M].6版.北京:高等教育出版社,2007.

[2]吳傳生.經濟數學——微積分[M].2版.北京:高等教育出版社,2009.

[3]朱德剛.二階常系數線性微分方程的特解公式[J].高等數學研究,2010,13（3）:15-16.