二階脈沖微分方程混合邊值正解的存在唯一性

湯 宇

（吉林工商學(xué)院基礎(chǔ)部，吉林長(zhǎng)春 130062）

本文利用格林函數(shù)，將微分方程轉(zhuǎn)化成等階解的積分方程，研究奇異脈沖微分方程二點(diǎn)混合邊值問(wèn)題

這里0

本文根據(jù)混合單調(diào)算子的不動(dòng)點(diǎn)定理，考慮奇異脈沖微分方程(1)，約定f(t,u)=q(t)(g(u)+h(u))，t∈(0,1)，并且g∶[0，∞)→[0，∞)，g(y)是連續(xù)遞增的函數(shù)，h∶（0，∞）→（0，∞），h(y)是連續(xù)遞減的函數(shù)。

1 預(yù)備知識(shí)

令P是Bananch空間E的一個(gè)正規(guī)錐，并且e∈P，||e||≤1，e≠θ，定義

定義1.1[4]假定A：Qe×Qe→Qe。稱(chēng)A是混合單調(diào)算子，如果A對(duì)于x是遞增的，而對(duì)于y是遞減的，即對(duì)任何y∈Qe，如果x1≤x2，（（x1，x2）∈Qe)，則 A（x1，y）≤A（x2，y），對(duì)任何x∈Qe，如果y1≤y2，（（y1，y2）≤Qe），則A（x，y1）≥A（x，y2），稱(chēng)y*是 A 的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，如果A（y*，y*）=y*.

定理1.1[4]假定A：Qe×Qe→Qe是混合單調(diào)算子，并且存在一個(gè)常數(shù)α∈（0，1），使得坌x，y∈Qe，t∈（0，1）成立，則A存在唯一不動(dòng)點(diǎn) x*∈Qe，此外，對(duì)坌（x0，y0）∈Qe×Qe，xn=A（xn-1，yn-1），yn=A（yn-1，x

n-1），xn→x*，yn→x*，其中||xn-x*||=莓（1-ra），||yn-x*||=莓（1-ra），r是一個(gè)與（x0，y0）有關(guān)的常數(shù)。

2 主要結(jié)論

用 G（t，s）表示邊值問(wèn)題，-u″（t）=0，u（0）=0，0

容易驗(yàn)證 G（t，s）有不等式 G（t，s）≤t，G（t，s）≤s，ts≤G（t，s）成立。

引理2.1 方程（1）有正解當(dāng)且僅當(dāng)積分方程

定理2.1 假如存在0＜α＜1，使得

對(duì)任意的t∈（0，1），y>0都成立，并且 q∈C（（0，1），（0，∞）），滿足則方程(1)存在唯一的正解y*λ。

證明 根據(jù)條件（2）令 t-1y=x，則 h（x）≥tαh（tx），因此令 x=1，則有

同理，根據(jù)條件(3)可以得到結(jié)論

從條件(7)～(8)，對(duì)任意的x,y∈Qe，有

對(duì)任意 x,y∈Qe，t∈[0,1]，定義

首先說(shuō)明A：Qe×Qe→Qe，對(duì)任何 x，y∈Qe，由(6)有

再由(6)有

因此A是一個(gè)好的定義，并且 A（Qe×Qe）∈Qe。另外，對(duì)任何 I∈（0，1），x,y∈Qe，有

所以根據(jù)定理1.1，方程(1)存在唯一解y*∈Qe使得A（y*，y*）=y*，并且y*是方程的唯一正解。類(lèi)似地，可以證明下面定理。

定理2.2假如存在0<ɑ<1，使得h（t-1y）≥tαh（y），Ik（t-1y）≥tαIk（y），g（ty）≥tαg（y）對(duì)任意的t∈（0,1）,y>0都成立，并且 q∈C（（0，1），（0，∞））滿足則方程（1）存在唯一的正解y*。

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