區間值度量空間中的不動點定理

陳桂秀，李生剛，趙 虎

CHEN Guixiu1，2,LI Shenggang1,ZHAO Hu1

1.陜西師范大學 數學與信息科學學院，西安 710062

2.青海師范大學 數學系，西寧 810008

區間值度量空間中的不動點定理

陳桂秀1，2，李生剛1，趙 虎1

CHEN Guixiu1，2,LI Shenggang1,ZHAO Hu1

1.陜西師范大學 數學與信息科學學院，西安 710062

2.青海師范大學 數學系，西寧 810008

研究了一種特殊的模糊度量ρ，稱為區間值度量。區間數的運算（如加減乘除運算）在相關文獻中已有定義，對區間數的減法運算進行新的定義，得到相應的不等式性質，接著給出了區間值度量的定義；介紹了區間值度量空間中相關的定義，如收斂序列、Cauchy序列以及完備性等；討論了區間值度量空間中的不動點定理和公共不動點定理。

區間值度量空間；不動點定理；公共不動點定理；區間數

在不確定性數學方法研究中，用區間數來刻畫事物和現象的本質和特征的方法被學者稱為區間數理論。利用區間數理論來研究不確定性問題有著重要的理論意義和實際應用背景。國內對區間數的研究，主要以胡寶清、鄧聚龍、徐澤水教授，以及張興芳教授為代表，均取得了一些很好的結果。國外早在1931年，Young就開始了區間數的研究，以Moore[1-3]為代表的眾多學者繼續研究，均取得了滿意的效果。區間數理論的研究主要表現在區間數的排序關系和基于區間數的決策模型方面。文中主要討論了區間值度量空間中的不動點定理和公共不動點定理。

1 預備知識

定義1.1[4-7]稱 R2中滿足a-≤a+的點 a-，a+為區間數，區間數的全體記為I(R)，對任意兩個區間數 a-，a+和b-，b+以及任意正實數r規定：

當a-＞b-且a+＞b+時記 a-，a+? b-，b+（或 b-，b+?a-，a+)；當a-=a+時，記 a-，a+=a；a-，a+≤ b-，b+當且僅當a-≤b-且a+≤b+。

注1.1對任意三個區間數 a-，a+，b-，b+，c-，c+。若 a-，a+≤ b-，b+，則：

定義1.2設 X是集合，若 ρ:X×X→I(R+)（其中R+=[0，+∞)）是一個映射。如果 ρ-=p1°ρ:X×X→[0，+∞)和ρ+=p2°ρ:X×X→[0，+∞)都是X上的度量，則稱 ρ為X上的一個區間值度量，且稱(X，ρ)為一個區間值度量空間，其中 p1:R2→R和 p2:R2→R分別是 ρ在第一坐標和第二坐標上的投射。

注1.2映射 ρ:X×X→I(R+)是X上的區間值度量，當且僅當ρ滿足下列條件：

（1）對于任意x，y∈X，ρ(x，y)=0當且僅當x=y；

（2）對于任意x，y∈X，ρ(x，y)=ρ(y，x)；

（3）對于任意 x，y，z∈X，ρ(x，y)≤ρ(x，z)⊕ρ(z，y)（這里≤是R2上的點式序）。

2 不動點定理

定義2.1設(X，ρ)為一個區間值度量空間，{xn}是 X中的序列。

（3）如果(X，ρ)中的每個Cauchy序列均收斂，則稱 X是完備區間值度量空間。

引理2.1區間值度量空間(X，ρ)是完備的，當且僅當度量空間(X，ρ+)是完備的。

引理2.2設(X，ρ)是一個區間值度量空間，{xn}是X中的序列。如果對任意正整數n滿足ρ(xn+1，xn)≤kρ(xn，xn-1)，其中k∈[0，1)，則{xn}是X中的一個Cauchy序列。

證明 根據條件有 ρ(xn+1，xn)≤kρ(xn，xn-1)≤k2ρ(xn-1，xn-2)≤…≤knρ(x1，x0)。對任意 ε-，ε+?0，存在正整數 s使得對任意正整數m，n≥s：

根據定義2.1知{xn}是X中的一個Cauchy序列。

注2.1定理2.1和定理3.1中的不動點、公共不動點及相關概念參考文獻[8-13]。

定理2.1設(X，ρ)是一個完備區間值度量空間，T:X→X 是X中的映射。則T在X中存在唯一不動點，如果T滿足：

從而ρ(Tx*，x*)=0，這表明Tx*=x*，即x*是T的一個不動點。

假設y*是T的另一個不動點，則：由k3+k4+k5≠1得ρ(x*，y*)=0，則x*=y*，因此，T在X中存在唯一不動點。

情形2s＞1。根據情形1知Ts在X中存在唯一不動點x*。

由Ts(Tx*)=T(Tsx*)=Tx*知Tx*也是Ts的不動點，于是Tx*=x*，即x*是T的不動點。這證明了T的不動點也是Ts的不動點，從而T在 X中存在唯一不動點。

本定理的證明基于引理2.2，且類似于度量空間中壓縮映射滿足（43）的情形（見文獻[14]），并參考了文獻[15]。

3 公共不動點定理

定理3.1設(X，ρ)是一個完備區間值度量空間，T，S: X→X是X中的映射。則T和S在X中存在唯一公共不動點，如果T和S滿足：

其中 x，y∈X， ki≥0(i=1，3，5)，2k1+2k3+k5＜1且 s和 t是兩個固定的正整數。

證明 取 x0∈X，令 x2n+1=Tx2n，x2n=Sx2n-1。考慮如下兩種情形。

情形1s=t=1。對任意正整數n：綜合上述不等式，對于任意正整數n有 ρ(xn+1，xn)≤

從而 ρ(Tx*，x*)=0，這表明Tx*=x*，即 x*是T的一個不動點。進一步：

由k1+k3≠1得Sx*=x*，這表明 x*是S的不動點，從而 x*是T和S的公共不動點。

假設y*是T和S的另一個公共不動點，則：

由2k3+k5≠1得 ρ(x*，y*)=0，從而x*=y*，這表明T和S具有唯一公共不動點。

情形2s≠1或者t≠1。根據情形1知Ts和St具有唯一公共不動點x*。下面要證x*也是T和S的唯一公共不動點。

由Tx*=x*得Ts(Tx*)=Ts+1x*=T(Tsx*)=Tx*，則Tx*是Ts的一個不動點，從而：

由k1+k3≠1得 ρ(StTx*，Tx*)=0，即 StTx*=Tx*，這表明Tx*是St的一個不動點，于是Tx*是Ts和St的公共不動點。由于St具有唯一不動點，所以Tx*=x*。類似有Sx*=x*，從而Ts和St的公共不動點也是T和S的公共不動點。

假設y*是T和S的另一個公共不動點，則根據T2y*= T(Ty*)=Ty*=y*，…，Tsy*=y*和 S2y*=S(Sy*)=Sy*=y*，…，Sty*=y*，證明了 y*也是Ts和St的公共不動點，從而T、S 和Ts、St在X中具有相同的公共不動點集。

本定理的證明基于引理2.2，且類似于度量空間中壓縮映射滿足（169）的情形（見文獻[14]），并參考了文獻[15]。

4 結束語

關于區間數理論的研究與應用得到了廣泛關注，本文研究了區間值度量空間中一個自映射的不動點定理和兩個自映射的公共不動點定理。

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1.College of Mathematics and Information Science,Shaanxi Normal University,Xi'an 710062,China

2.Department of Mathematics,Qinghai Normal University,Xining 810008,China

This paper studies a special kind of fuzzy metricρ,called interval-valued metric.The operations of interval number （such as addition subtraction multiplication divition）are given in related references,the subtraction operation of interval number is redefined,and the corresponding inequality properties are obtained.Then the definition of interval-valued metric is given. Some related conception in interval-valued metric space are introduced,such as convergent sequence,Cauchy sequence and completeness etc,and the fixed point theorem and common fixed point theorem in interval-valued metric space are presented.

interval-valued metric spaces;fixed point theorem;common fixed point theorem;interval number

A

O189

10.3778/j.issn.1002-8331.1210-0057

CHEN Guixiu,LI Shenggang,ZHAO Hu.Fixed point theorems in interval-valued metric spaces.Computer Engineering and Applications,2013,49（7）：20-23.

國家自然科學基金（No.11071151）；陜西省自然科學基金（No.2010JM1005）。

陳桂秀（1972—），女，博士生，主要從事格上拓撲學與擬陣理論研究；李生剛（1959—），男，教授，博導，主要從事格上拓撲學與擬陣理論研究；趙虎（1981—），男，博士生，主要從事格上拓撲學與模糊代數的研究。E-mail：cgx0510@163.com

2012-10-09

2012-12-10

1002-8331（2013）07-0020-04

CNKI出版日期：2012-12-26 http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20121226.1416.007.html