基于協作中繼的多元網絡乘積碼

淦明，李輝，戴旭初

(中國科學技術大學 電子工程與信息科學系，安徽 合肥 230027)

1 引言

在現代無線通信中，協作中繼是通過采集和利用無線網絡中離散分布的節點信息，節點終端間共享彼此之間的天線，形成虛擬MIMO系統，達到充分利用頻譜、獲得分集增益、實現信息分布式傳輸與處理的分集技術。由Ahlswede[1]引入的網絡編碼已被成功應用在中繼節點上，如文獻[2]提到在協作中繼系統中通過充分利用多播傳輸中信息分組之間的相關性來獲得容量的顯著提高，然而基于XOR的網絡編碼穩健性較差，易錯誤傳播并且難以推廣到多用戶場景。因此，近來許多研究工作[3～5]的重點轉移到聯合設計信道編碼和網絡編碼，文獻[5]提出了一種LDPC碼和網絡編碼的聯合編碼，利用編碼圖匹配網絡拓撲結構圖，從而獲得高分集增益，大幅度地提高了誤碼率性能。

為了加強錯誤糾錯性能并同時能支持多個用戶，文獻[6～10]提出一種網絡乘積編碼協作方案，把分布式乘積碼應用到協作中繼中，它們分別使用漢明碼、BCH碼和LDPC碼作為子碼，通過相互獨立的路徑轉發乘積碼的不同部分到目的端。另外，文獻[11]提出了中繼端轉發乘積碼的校驗軟信息到目的端。然而，這些在目的端構建的全局乘積碼的權重分布遠達不到高斯分布。如文獻[12～14]指出，一種碼長很長的碼字若它權重分布趨近于高斯分布，則該碼字具有良好的誤碼率性能，文獻[15]也證實了一種碼長很長且碼率較高的擴展單奇偶校驗乘積碼能獲得接近香農極限的誤碼率性能。因此，本文基于協作中繼場景設計了一種多元網絡乘積碼。該方法通過在中繼上使用Turbo技術，并且對接收到的譯碼后源信息比特進行高碼率編碼，使得在目的端所構建的全局乘積碼的權重分布趨近于高斯分布。因此，目的端接收到的連續信息分組所形成的全局乘積碼是碼長很長且糾錯能力強的碼字。另外，本文對低復雜度的Chase II 譯碼算法[16]進行了改進，使之能應用于衰落信道上的協作編碼場景。理論分析表明所構造的全局乘積碼的權重分布趨于高斯分布，仿真結果也表明該方法能從空間上構造糾錯能力強的全局乘積碼，并且能使得整個協作系統獲得良好的糾錯性能。

2 系統模型

在如圖1所示的一個無線網絡中，協作傳輸分2個時隙完成。第一時隙，多個用戶通過正交信道發送相互獨立的數據分組。目的端接收到的信號可以表示為

圖1 網絡拓撲結構

其中，i'∈｛1,2,…,k '｝表示發送源序號，yi',d是目的端接收到的來自于用戶i'的信號，xi'是用戶i'發送的符號，wi',d是均值為0，方差為的復高斯白噪聲，hi',d是用戶i'到目的端d的信道系數，并假設所有信道都服從均值為0，方差為1的平坦瑞利分布。中繼接收到的信號yi',r的表達式類似于式(1)，在這不再贅述。第二時隙，中繼對所接收到的信號進行處理，并轉發處理后的信號xr給目的端，目的端接收的信號為

其中，yr,d為目的端接收到的來自于中繼轉發的信號，hr,d為中繼到目的端的信道系數，wr,d均值為0，方差為的復高斯白噪聲。最后，目的端對接收到的信號',idy和,rdy進行聯合譯碼。假設接收端已知信道狀態信息(CSI)，而發送端不知道CSI。并且假設用戶離中繼較近，則用戶到中繼的鏈路為理想信道。

3 網絡乘積碼

3.1 傳統網絡乘積碼(CNPC)

協作中繼系統分2個時隙交替完成。第一時隙，k'個源通過正交信道發送其信息分組給同一個目的端，信息分組是由參數為(n, k)系統線性分塊碼構成。第二時隙，中繼對接收到的信息進行譯碼，然后按行來重新排列或交織，形成k'×k的矩陣，并且使用參數為(n',k')的系統線性分塊碼按列進行編碼，然后轉發底部n'-k'行的校驗冗余位給目的端。如圖2所示，目的端接收的信息可以構成(n,k)×(n',k')的乘積碼。圖2構造的碼字是不完全乘積碼，使用同樣的方法易拓展到完全乘積碼[6,9]。

圖2 網絡乘積碼結構

3.2 多元網絡乘積碼(MNPC)

不同于傳統網絡乘積編碼中僅僅是機械地把分布式乘積碼應用到協作網絡中，本文提出的多元網絡乘積碼關鍵在于通過中繼使用Turbo技術對譯碼后的源信息比特進行高碼率編碼。設Ci（i=0,1）是參數為（ni,ki,di）的系統線性分塊碼，其中，i=0和i=1分別表示源端子碼序號和中繼端子碼序號。設K為信息序列長度ki的乘積，i=0,1。設πj(j=1,2,…,m-1)為交織器，其長度為未編碼的源信息比特長度。目的端通過接收來自源端的子碼C0和來自于中繼端經交織器后再編碼形成的m-1個子碼C1的校驗比特，從而構成一個m元的網絡乘積碼，設其為Θm。圖3是中繼端上的編碼器結構的示意圖，其中，aj（j=1,2,…,m -1）為使用子碼C1對交織后信息比特高碼率編碼產生的校驗序列，其長度為（n1-k1）K/k1。因此該m元網絡乘積碼Θm全局碼長為

其碼率為

其中，ri=ki/ni是子碼Ci的碼率，并且趨近于1，i=0,1。

圖3 中繼端上的編碼器結構

其中，?表示Kronecker 積，ki'=K/ki，Iki'是階數為的單位陣。中繼端子碼的生成矩陣可以表示為

m元網絡乘積碼Θm的全局置換矩陣可以寫為

其中，ai是長度為ki的全1向量，0,1i=。為了保持m個子碼的統計獨立性，交織器應使得置換矩陣中的任何兩行同一個位置同時為1的個數不超過1。

下面闡述所構建的m元網絡乘積碼可以實現近似高斯分布。首先回顧下Sidel’nikov理論[12]。

定理1

其中，C（w）和F（w）分別表示參數為(n,k,d)的碼字C的權重累積分布函數和標準高斯累積分布函數，d⊥為碼字C的對偶碼的最小碼重。

通過定理1可以得出m元網絡乘積碼具有近似高斯權重分布。

命題1 設m元網絡乘積碼Θm的子碼全為漢明碼，設ri(0,1)i=是參數為子碼的碼率，且設m(m＞1)為碼字Θm的子碼個數。如果，則m元網絡乘積碼Θm的權重分布隨著ip→∞而近似高斯。

當m=1時，碼字Θm的碼率R和其對偶碼碼重分別隨著ip→∞分別趨近于1和無窮，表明一個碼長很長且碼率很高的漢明碼的權重分布也趨近于高斯分布。

使用類似的證明步驟，子碼為漢明碼的多元網絡乘積碼可以推廣到子碼為單奇偶校驗碼、BCH碼、Alternate碼和自偶碼的多元網絡乘積碼，此類構造的碼字且符合命題1前提條件的都具有近似高斯權重分布。由于篇幅有限，詳細的證明不再贅述。值得注意的是后2種子碼因其最小對偶碼重滿足趨近于無窮，對應的子碼碼率不為1，因此其所構造的多元網絡乘積碼的子碼個數是有限的。

從命題1得知，具有近似高斯權重分布的多元網絡乘積碼的子碼碼率趨近于1，根據式(4)可得：該多元網絡乘積碼的全局碼率也趨近于1，即該碼字保持了如文獻[15]提到的擴展單奇偶校驗乘積碼的高編碼效率特性。

4 譯碼算法

目的端接收到2部分信息，一部分是來自于源端的yi',d信號，另一部分來自于中繼的yr,d信號。然后目的端對接收到的信號yi',d進行相位幅度補償，得到其中，i'=1,2,…,k '，對接收到的信號yr,d進行類似操作。接著進行軟輸入軟輸出譯碼算法，設為信號yi',dyr,d中的一個碼字。

類似于Chase II 譯碼算法[16]，對于每個取值為±1的傳輸信息比特xj'，首先計算出其對數似然比為

其中，hj'為傳輸信息xj'經歷的信道系數。使用貝葉斯法則，得到

目的端通過計算獲得碼元的對數似然比后，將其排列成一個乘積碼矩陣。譯碼器使用類Chase II 譯碼算法進行迭代軟輸入軟輸出譯碼。設為經歷衰落后的一個碼字的對數似然比，并且設為2p個測試序列中離接收序列最近的碼字，其中，p為一個碼字不可靠的碼元數，可以根據碼長設定。在高信噪比情況下，碼元dj'的對數似然比為

由式(15)和式(16)可得：譯碼器的輸出外部信息可以表示為

其中，wj'的表達式是以競爭碼字Cc存在為前提，否則外部信息可表示為

其中，

其中，Φ為輸入碼字的p個不可靠碼元集合。具體迭代算法為：外部信息初始為0，即wj'（0）=0。然后編碼器輸入按如下進行更新：，其中，為信道輸出的對數似然比，wj'（z-1）是上一步驟譯碼器輸出的外部信息，參數α的設置參見文獻[16]，z的最大值為迭代步驟次數(行或列)，βmax為可靠因子。

假設譯碼器已知式(15)中的σ值。為了減少參數α對乘積碼譯碼的相關性，譯碼器輸出的外部信息需歸一化，即對于從用戶端直達目的端的信號和從中繼端轉發到目的端的信號，式(15)分別相應地乘以

5 仿真結果與分析

本節對多元網絡乘積碼(MNPC)協作方法的性能進行蒙特卡洛仿真，并且與第3節描述的傳統網絡乘積碼(CNPC)[6,9]和網絡編碼 (NC)[2]進行比較。中繼端采用解碼前傳方式，調制方式為BPSK，源端發送的未編碼的信息分組大小為572bit，發送功率均為1。所有信道服從參數為CN（0,1）的平坦瑞利分布，其中，CN表示循環對稱復高斯隨機變量。為了保證對比的公平性，相比較的MNPC和CNPC 2種協作方案都采用上節所提出的改進后的Chase II 譯碼算法，其中，參數βmax和迭代步驟次數(行或列)都設置為8，NC協作方案采用消息傳遞譯碼算法。源端采用的碼字均為參數為(7,4,3)的漢明碼，并且中繼對譯碼后的源信息比特進行同樣的交織后再編碼，然后再轉發產生的校驗比特。下列仿真結果給出了CNPC、NC和MNPC 3種協作方案的誤比特率(BER)隨著用戶到目的端直達鏈路信噪比的變化情況，圖4和圖5中為中繼端到目的端鏈路信噪比。

表1列出了MNPC和CNPC碼字的一些重要參數，為了公平性，它們的全局碼率(0.4或0.47)保持近似相等。由于源端采用同樣參數(7,4,3)的漢明碼，則在2種對比方案中中繼轉發的校驗比特數是一樣的。表1同時也列出了一種NC碼字的參數，源端也采用參數為(7,4,3)的漢明碼，中繼端先對接收到的信息比特進行異或(XOR)，然后轉發，它的全局碼率(0.38)是最小的，即中繼轉發的比特數目較前2種方案多。

如圖4所示，在相同的全局碼率下(0.40或0.47)，MNPC的誤碼率性能除了在低信噪比情況下均優于CNPC。當全局碼率為0.40時，MNPC-I在信噪比大于2.5 dB的情況下，誤碼率性能好于CNPC-I，而MNPC-II在信噪比大于2.1 dB的情況下是最優的。這是由于中繼上采用高碼率編碼通常需要高信噪比才能保證額外的性能增益。通過觀察MNPC-I和MNPC-II的誤碼率曲線，圖4同時也表明隨著子碼個數m和中繼采用的子碼碼率的增加，MNPC所構造的碼字的權重逐漸趨近于高斯分布，其誤碼率性能也得到顯著增加，即驗證了上文的理論分析。對比全局碼率最小的NC協作方案，MNPC在誤碼率性能上仍然優于NC。

在實際場景中，中繼信道一般好于源端到目的端的信道。為了比較MNPC和CNPC能否更有效地利用中繼信道，在這引入一個信噪比差變量如圖5所示，當G=10 dB時，對比圖4，MNPC-I和CNPC-I的誤碼率性能曲線交叉點向左移，交叉點對應的信噪比從2.5 dB變成0.5 dB，表明MNPC能更加有效地利用中繼信道。為了更進一步觀察，表2統計了MNPC-I和CNPC-I的誤碼率性能曲線交叉點隨著信噪比差G的變化情況。隨著G的增加，交叉點對應的信噪比逐漸減小，即交叉點向左移。因此，相比CNPC協作方案，MNPC是一種能更有效利用中繼信道來獲得誤碼率性能提升的協作編碼方法。若整個系統提供足夠多的獨立路徑，從誤碼率曲線斜率可以看出，MNPC是一種分集增益加強技術。

圖4 MNPC、CNPC和NC的誤碼率性能比較

圖5 中繼信道增益對誤碼率的影響：MNPC和CNPC

表1 MNPC碼字和CNPC碼字的參數

表2 MNPC和CNPC誤碼率曲線交叉點對應的信噪比

6 結束語

本文基于協作中繼場景下提出了一種多元網絡乘積碼，以代數形式描述該碼字在空間上的構造方法，并且對Chase II 譯碼算法進行了改進，使之能適用于衰落信道環境中的分布式編碼。理論分析結果表明了所構造的多元網絡乘積碼的權重分布趨近于高斯分布，仿真結果也驗證了該方法能顯著地提高誤碼率性能。

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