鐵電薄膜平均極化性質的理論研究

董亞男，張 芹

近些年來，薄膜制備技術有了突飛猛進的發展，這也吸引著許多物理學者的目光，進而對人工復合鐵電雙層膜、多層膜以及超晶格進行了更加深入的研究，因此鐵電薄膜漸漸深入到微電子等諸多領域中。至今，理論與實驗研究者已經對鐵電雙層膜以及多層膜的居里溫度、介電常數以及自發極化等諸多的物理性質都進行了的研究。

一、模型與理論

迄今為止，鐵電薄膜的結構變得更加多樣化，我們要研究的鐵電雙層膜具有這樣的特點：（1）具有表面過渡層；（2）夾持在兩個標準的金屬平行板電極之間；（3）構成薄膜的兩層鐵電材料是完全不同的，第一層的厚度為L1，第二層的厚度為L2，所以我們得到雙層膜的總厚度是L=L1+L2，如圖1。

圖1 含有界面耦合過渡層的鐵電雙層膜的幾何結構

現在我們假設鐵電層1和2均是具有二級相變的鐵電材料且均處于單疇的狀態，鐵電材料層1和2的極化強度分別為P1和P2而且它們的極化方向都垂直于薄膜表面并且都沿著圖1中z軸的正方向。在與薄膜表面平行的平面內1層和2層薄膜的極化性質都是均勻的，但自發極化和薄膜表面垂直的方向，即z軸方向上不是均勻的，是發生變化的。

由于鐵電材料層1和2之間過渡層的存在引起了在垂直于薄膜的z方向上體系的極化分布具有不均勻性。當體系的狀態處于非均勻時，它的自由能密度以及自發極化必定是位置的函數。由于構成鐵電雙層膜的兩種鐵電材料都具有二級相變，所以鐵電雙層膜單位面積的總的自由能密度能表示成：

其中，F1是鐵電層1的自由能密度；F2是鐵電層2自由能的密度；Fint是間界層的自由能密度。

鐵電層1的自由能密度F1可以表示成：

式中A1，B1，C1和K1都是正值，均是自由能展開式的系數，而且和坐標軸z以及溫度T均無關；T01是鐵電層1體材料的相變溫度；E1是鐵電層1的外電場，方向沿著z軸正方向；ψ1（z）是描述鐵電層1表面過渡層的影響。

為了使P1（z）和它的微商能夠具有連續性，必須滿足以下邊界條件：

其中，-L11是鐵電層1下表面過渡層的邊界位置；-L12是鐵電層上表面過渡層的邊界位置。

與此相同，F2作為鐵電層2的自由能密度能夠表示成：

其中，A2，B2，C2和K2都是正值，為自由能展開式的系數，而且和坐標軸z以及溫度T均無關；T02是鐵電層2的體材料的相變溫度；E2是鐵電層2的外電場，它的方向沿著z軸正方向；ψ2（z）是鐵電層2表面過渡層的作用。同理，為了使P2（z）和其微商具有連續性，應該滿足以下邊界條件：

其中，L21是鐵電層2的下表面過渡層邊界位置；L22是鐵電層2的上表面過度層邊界位置。

界面能的自由能可以表示成：

其中，P1（0）表示當z=0時，鐵電層1的極化強度；P2（0）表示當z=0時，鐵電層2的極化強度；J是假定的界面耦合常數。當耦合支持鐵電相時J＞0；當耦合支持反鐵電相時J＜0。在這里我們只研究J＞0的情況，即鐵電相。按照熱力學假設，當體系處于熱平衡的狀態時，當P1、P2變化時，它的總自由能將會取到最小值δF=0。

此時的Euler-Lagrange方程是：

與其對應的邊界條件是：

為了方便起見，我們將這里的物理量約化成無量綱的形式。即令為真空介電常數），i=1，2。我們可以充分地利用這些參數將方程（9a）與（9b）變成如下形式：

參數σi（i=1，2）是與其對應的鐵電體材料的居里常數C與居里溫度T0的比值，即。當為二級鐵電相變時，居里常數的數量級是103K，居里溫度的數量級是102K，所以在計算時我們取σi=6，并且假定鐵電層1的相變溫度比鐵電層2的相變溫度要大，此時γ＞1。

ψ1（ζ）代表在連續的鐵電層1內部自發極化的分布函數；ψ2（ζ）代表在連續的鐵電層2內部自發極化的分布函數。將它們的形式選取為：

此時選取的分布函數ψ1（ζ）與ψ2（ζ）的形式仍然具有普遍性。

其中，l1i=L1i/ξ0，l2i=L2i/ξ0（i=1，2）；參數λ11（λ12）是鐵電層1的上表面或下表面附近自由能密度隨著位置的變化情況；參數λ21（λ22）——鐵電層2的上表面或下表面附近自由能密度隨著位置的變化情況。

方便起見，我們將兩個鐵電層中的過渡層均假定是對稱的，則滿足下列情況：

ls=2（l1-l11）=2l12=2l21=2（l2-l22），ls是每一個鐵電層中過渡層的厚度。

將體系的平均自發極化f以及體系的平均極化率χf定義成：

其中，l=l1+l2是鐵電雙層膜總的厚度。

二、數值計算與討論

1.一定溫度下平均極化隨參量α的變化。圖2給出了一定溫度時，平均極化隨參量α的變化曲線。從圖中我們可以看到，當參量α增大時，體系的平均極化明顯增加。產生這一現象的原因是由于當參量α增大時，兩個鐵電層之間的界面耦合也將增加，因此導致鐵電雙層膜中平均極化的增大。

2.一定溫度下平均極化與參量γ的變化。圖3計算了一定溫度下，體系的平均極化隨參量γ的變化。由圖中曲線可以清楚地看到，隨著參量γ的增加，鐵電雙層膜的平均極化減小。當γ取較小值時，鐵電雙層膜的平均極化減小的幅度非常顯著，而在γ取較大值時，平均極化隨參量γ的變化并不明顯。由此我們可以得知，當γ較大時，即兩種不同材料鐵電層的相變溫度的差異較大時，參量γ對鐵電雙層膜的平均極化影響較小。

3.一定溫度下平均極化隨界面耦合系數的變化。圖4描述了一定溫度下，體系的平均極化與參量的變化關系。由圖3、4中曲線可以得知，當增加界面耦合系數的值時，體系的平均極化有明顯的增加，而且平均極化隨界面耦合系數的變化接近于線性變化。由此我們可以推斷出，界面耦合增強時，有利于鐵電體處于鐵電相。

圖2 一定溫度下平均極化隨的變化

圖3 一定溫度下平均極化隨的變化

圖4 一定溫度下平均極化隨界面耦合系數的變化

4.一定溫度下平均極化隨雙層膜厚度的變化。固定溫度，計算了平均極化隨鐵電雙層膜厚度的變化曲線。從圖5中曲線我們可以看到，隨著鐵電雙層膜厚度的增加，平均極化明顯的增加。這一現象可以解釋為，當鐵電雙層膜厚度增加時，由于表面過渡層的厚度是固定的，所以表面過渡層相對于薄膜的相對厚度減小，這樣就使得體系的平均極化有所提升。

圖5 一定溫度下平均極化隨雙層膜厚度的變化

三、結論

1.描述兩種鐵電薄膜物性差異的參量對鐵電雙層膜的平均極化性質的影響很大。

2.當溫度一定時，鐵電雙層膜的平均極化隨著參量、界面耦合系數以及雙層膜的厚度L的增大而增大，兩個鐵電層之間的界面耦合也將增加，有利于鐵電體處于鐵電相。

3.當溫度一定時，鐵電雙層膜的平均極化隨著參量的增大而減小，當較大時，參量對鐵電雙層膜的平均極化影響較小。

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