一類非線性奇異三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題正解的存在性

曹 珂

三階微分方程起源于應(yīng)用數(shù)學(xué)和物理學(xué)的各種不同領(lǐng)域中，例如，帶有固定或變化橫截面的屈曲梁的撓度、三層梁、電磁波、地球引力吹積的漲潮等[1]。近年來(lái)，由于三階微分方程在不同學(xué)科領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用價(jià)值，所以對(duì)非線性三階微分方程邊值問(wèn)題的研究引起了數(shù)學(xué)工作者的極大興趣，并取得了一些成果。隨著對(duì)三階兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的研究，數(shù)學(xué)工作者對(duì)于三階多點(diǎn)邊值問(wèn)題也產(chǎn)生了濃厚的興趣。其中，Anderson[2]通過(guò)運(yùn)用著名的Guo-Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理和Leggett-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理得到了邊值問(wèn)題

正解的若干存在性和多重性結(jié)果。文[3]通過(guò)運(yùn)用Leggett-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理，考慮了如下三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題至少三個(gè)非減正解的存在性結(jié)果。

受以上文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文運(yùn)用單調(diào)迭代法考慮邊值問(wèn)題(2)正解的存在性，其中且a(t)在t=1時(shí)可能奇異。值得說(shuō)明的是，通過(guò)運(yùn)用迭代，我們不僅能說(shuō)明正解的存在性，更重要的是能給出正解的兩個(gè)迭代序列，這是一般的不動(dòng)點(diǎn)定理不易滿足的。

為了得到所需結(jié)果，全文需要下述假設(shè)：

一、預(yù)備引理

引理 1設(shè) αη≠1，則對(duì)于任意給定的 h∈C(0，1)，邊值問(wèn)題有唯一解其中

證明：如果s=0或s=1，由引理2可知結(jié)論成立，因此假設(shè)則

二、主要結(jié)果

在本文的后續(xù)部分，我們記E=C(0，1)，定義其中的范數(shù)為

令 K=｛u∈E｜u(t)≥0，t∈[0，1]｝，易知 K 為 E 中的正規(guī)錐，而(E，K)為半序Banach空間.

定理2假設(shè)f(0)＞0且存在常數(shù)R＞0使得

其中v0(t)=0,w0(t)=Rt,t∈[0，1].則序列分別收斂于的不動(dòng)點(diǎn)v，w∈C[0，1],這兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)即為邊值問(wèn)題(2)的解,并且滿足

0＜v(t)≤R，t∈(0，1]且 0 ＜w(t)≤R，t∈(0，1]

這說(shuō)明T:K→KR.

接下來(lái)我們證明如果序列v0｛}∞n=0 在 C[0，1]中收斂于 v，則其必為邊值問(wèn)題(2)的正解，且滿足

由v0∈KR且T:K→KR，從而vn∈KR，n=1，2，….故有界，又因?yàn)門(mén)是全連續(xù)算子，因此vn｛}∞n=1是相對(duì)緊集.我們首先證明是單調(diào)的.由引理2，有

由(4)可知 v1-v0∈K,這表明 v1≤v0.假設(shè) vk-1≤vk，由引理 2及(3)可知

由(5)可知 vk+1-vk∈K,即就是 vk≤vk+1,這就表明 vn≤vn+1，n=1，2….

因此存在v∈KR,使得‖vn-v‖→0(n→∞).由T的連續(xù)性及vn+1=Tvn,n=1，2，3，…易知 v=Tv.又f(0)＞0，我們可知零函數(shù)不是邊值問(wèn)題(2)的解，故有‖v‖＞0 從而

[1]GREGUSM.Third order linear differential equations [M].Dordrecht：Reidel， 1987

[2]D.R.Anderson.Green's function for athird-order generalized right focal Problem[J].Math.Anal.Appl.,2003，（288）：1-14

[3]J.P.Sun,L.J.Guo,J.G.Peng.Multiple nondecreasing positive solution for a singular third-order three-point boundary value problem[J].Communications in Applied Analysis,2008,（12）：91-100 責(zé)任編輯：姚 旺