一種基于FDTD算法的局域導波端口激勵

游檢衛 張劍鋒 崔鐵軍

(東南大學毫米波國家重點實驗室 南京 210096)

1 引言

Yee[1]在 1966年提出一種在 Yee式網格上直接求解時域麥克斯韋微分方程的時域有限差分(Finite Difference Time Domain Method, FDTD)技術，其特有的時域性、穩定性、非線性等優點[2]，使其在近幾十年里飛速發展，研究對象也從傳統的電磁領域擴展到受控核聚變、生物醫學、量子學以及多物理量耦合等諸多科學領域。

FDTD在電磁領域中的應用主要包括電磁散射分析，電磁輻射分析，傳輸線不連續性分析等。該算法常采用的激勵源可以分為平面波激勵，線源激勵和導波端口激勵。對于電磁輻射和傳輸線不連續性的分析，最常采用的激勵方式是導波端口激勵。傳統的研究方法[2,3]認為導波端口僅僅是一層 RF/TF(Reflect Field/Total Field Boundary, RF/TF)邊界網格。為了防止導波端口的二次反射，傳統方法需要將導波端口插入到吸收邊界當中。對于傳輸線不連續性問題，該方法是適用的，但對于天線輻射問題，該方法會引起較大誤差。

在過去的十幾年里，對于導波端口激勵的研究不是很多，而且大部分研究都是基于頻域算法，其中以有限元法為主，對于基于FDTD方法的研究很少，這主要是由于時域算法對于模式提取的復雜性引起的。近幾年隨著等離子體源研究的不斷深入[4,5]以及天線/天線罩一體化時域全波分析的需求，此類問題的解決顯得更為急迫和重要，而且隨著FDTD與有限元混合算法越來越成熟，基于FDTD方法的導波端口激勵越來越引起了人們的注意。

針對以上問題，本文基于FDTD算法首次提出了一種通用有效的局域導波端口，該導波端口由一層PEC邊界，多層UMPL吸收邊界和單層RF/TF邊界構成。這種配置方式可以解決輻射問題中，導波端口后向泄漏，后向二次污染和遠場外推面截斷導致的輻射方向圖失真等問題。

本文首先詳細論述局域導波端口的設計方法和端口邊界的參數配置，隨后再利用此加載方式分別對矩形波導的不連續性問題、角錐喇叭天線，微帶貼片天線和波導縫隙天線陣這些實際輻射問題進行了計算仿真，并通過結果比較分析，論證了算法的準確性和通用性，此外算法的穩定性也在大量的實際工程應用中得到了驗證。

2 局域導波端口的設計

利用FDTD處理輻射問題時，需引入封閉吸收邊界包圍盒來模擬無限大自由輻射空間，且用封閉的遠場外推邊界(Output Boundary, OB)來實現近場到遠場的轉化。

為實現上述邊界條件的配置，本文提出一種通用有效的局域端口加載方式(如圖1(b)所示)，由圖1可知，傳統導波端口引入一層連接邊界(RF/TF)實現導波端口激勵，為防止反射波的后向泄漏，將導波端口插入吸收邊界，但輸出邊界會被波導截斷，遠場外推條件不再精確成立，導致仿真結果存在較大誤差。局域導波端口可以很好地解決這個問題。

如圖2所示，與傳統建模方法不同，局域導波端口由3部分組成：單層PEC邊界，多層UPML吸收邊界和單層RF/TF邊界。單層PEC邊界有兩個作用，一是將未被吸收邊界(UPML)吸收完全的反射波二次反射實現二次衰減吸收，且能防止反射波通過開放端口向外界泄露，影響計算精度；二是能防止前端輻射產生的爬行波從導波端口繞射進入天線的傳輸通道，影響天線的前端輻射。PEC邊界的實現方法是令邊界上的切向電場和法向磁場為零。多層 UPML的設置是吸收傳輸線不連續性產生的反射波，而單層 RF/TF邊界目的是將入射信號定向的引入和激勵模式的調制。

圖1 輻射問題中局域導波端口邊界條件的分配

圖2 局域導波端口的結構組成

通過引入上述3種邊界，遠場外推面可完全包裹天線結構，外推條件精確成立，天線輻射方向圖可準確計算獲得。

2.1 局域導波端口UPML參數的配置

為實現文獻[6]提出的場分裂數學模型，Sacks等人[7]提出了基于單軸各向異性媒質(即UPML)。其本構關系可以表示為

其中，參數為一個對角張量：

且張量中的各方向乘積分量可以表示為

其中參數σζ，以及κζ，配置是實現UPML的關鍵。對于局域導波端口，由于導波結構內電磁場傳播的單向性，不存在棱邊和鄰角UPML的重疊現象，所以能夠嚴格地按照單軸各向異性媒質的參數進行參數配置。

圖3表示的是電磁波沿坐標軸傳播時，各方向上局域導波端口UPML的參數配置方案。設電磁波沿z軸方向傳播，沿z軸方向變化的單軸各向異性媒質的參數可以表示為

圖3 局域導波端口UPML參數的配置方案

圖4 m =4, σz,max=1/(30 π·Δ z)時 σz(z)的曲線分布

對于其它方向的參數，可配置為σx=σy=0,κx=κy=1 ，這樣配置可以保證σz(z0)=0 ，從而減少由于電導率不連續性產生的反射誤差[6-8]。

2.2 局域端口加載中RF/TF邊界的設置

與 SF/TF(Scatter Field/Total Field)邊界不同，利用導波結構內部電磁傳播的定向特性，可以將SF/TF邊界簡化為RF/TF邊界。

圖5給出局域端口加載中RF/TF邊界的實現方法，當電磁波沿k軸正向傳播時，需將入射磁場Hinc耦合到Eu的迭代，并將入射電場Einc耦合到Hv的迭代，且Hv比Eu沿傳播方向少半個網格；當電磁波沿k軸負向傳播時，入射場的耦合方式相同，但此時Hv比Eu沿傳播方向多半個網格。具體的FDTD迭代公式可以表示為

圖5 沿k軸傳播時，RF/TF邊界的設置

上述的迭代過程可以滿足場迭代的一致性原理[2]，可定向無反射地引入激勵源。此外，模式激勵需對Einc和Hinc在空間上進行位置調制，位置調制的優點在于可以不需要額外的開辟一個虛擬空間迭代計算激勵模式，提高計算效率。

3 算法檢驗

首先利用局域導波端口技術對不連續矩形波導進行激勵和仿真，驗證該方法對波導傳輸問題的有效性。此外還對幾類實際天線[8-10]和天線陣[4,11]進行數值仿真，驗證本方法對導波端口激勵輻射問題的有效性和準確性。

3.1 不連續矩形波導

如圖 6(a)所示，不連續性矩形導波端口尺寸為22.86 mm×10.16 mm，中間介質塊的尺寸為12 mm×14.05 mm×6 mm，激勵模式為TE10模，激勵信號為調制高斯脈沖，頻率范圍為8.2～12.5 GHz，基本剖分尺寸為空氣波長λ0/20。

圖6 不連續性矩形波導的幾何模型和剖分結果

采用局域導波端口進行激勵，并將計算結果與基于有限積分方法(FIT)商業軟件的仿真結果進行比較。

圖7 主模激勵下不連續波導的S11計算結果

圖7中S參數的計算采用了模式提取的方法[5]，與傳統導波端口吻合的結果表明局域導波端口技術保持了傳統方法在分析波導不連續性問題中的有效性，后續的例子將表明本方法還修正了傳統方法在輻射問題中的計算誤差，驗證了此方法的通用性和準確性。此外，圖中結果與FIT結果的誤差主要是由于本方法暫未使用共形技術，因而會有一定的階梯近似誤差。

3.2 角錐喇叭天線

如圖 8(a)所示，角錐喇叭天線的矩形導波端口的尺寸為5 mm×2.4 mm ，輻射端口的尺寸為16.55 mm×14.05 mm，局域導波端口的場型調制為TE10模，采用升余弦調制時諧信號激勵，工作頻率為35 GHz，基本剖分尺寸為空氣波長λ0/20。

圖8 角錐喇叭天線的物理模型及剖分結果

同樣采用本文提出的局域導波端口進行激勵模擬，并與其他方法計算結果進行了對比，如圖9所示。圖中實線表示的是基于FIT的商業軟件計算結果，星線是傳統方法計算結果，上三角是本文方法計算結果。從圖中可以看出，傳統方法由于外推面的不合理截斷，導致計算結果存在較大誤差，局域導波端口技術可以妥善解決這一問題，驗證了本文方法的優越性。

圖9 角錐喇叭天線的局域端口加載及計算結果

3.3 同軸端口微帶貼片天線

同軸饋電微帶貼片天線的物理模型如圖 10(a)所示，同軸饋線外直徑0.5 mm，內直徑0.2 mm，激勵模式為 TEM 模，采用升余弦調制時諧信號激勵，工作頻率為35 GHz，基本剖分尺寸為λ0/20，其中λ為介質波長。

圖10 微帶同軸饋電貼片天線物理模型及剖分結果

采用本文提出的局域導波端口進行激勵計算，并與其他方法的計算結果進行了比較，如圖 11所示。從圖11可以看出，局域導波端口在同軸饋電的天線輻射問題中也有很高的計算精度，進一步驗證了該方法的有效性。

圖11 同軸饋電微帶天線的局域導波端口加載及計算結果

3.4 波導縫隙天線陣

如圖12所示，波導縫隙陣的單個矩形導波端口的尺寸為22.86 mm×10.86 mm，矩形輻射縫隙的尺寸為 1 mm×16 mm，局域導波端口的場型調制為TE10，采用升余弦調制時諧信號激勵，工作頻率為10 GHz，基本剖分尺寸為空氣波長λ0/20。

采用局域導波端口進行FDTD迭代計算，并進行如下的遠場結果比較。從圖中可以看出，本文方法的結果(上三角)與有限積分方法(FIT)的結果(實線)吻合較好，驗證了本文方法在多端口激勵下的正確性，其中，本文方法的副瓣誤差主要是由非共形剖分下的階梯近似引起。此外，由于本例中天線陣的主瓣指向與導波端口面平行，傳統導波端口插入PML包圍盒的激勵方式會比較明顯地干擾主瓣，因而傳統導波端口在本例中的失效性更為顯著。事實上，對于諸如天線陣/天線罩一體化電性能分析等實際工程問題，天線單元或者天線陣需要插入到封閉或者半封閉的天線罩內，此時，傳統導波端口的激勵方法是無法解決此類問題的，而本文局域導波端口的局域加載特性能很好的解決此類問題，此方法已經被較多的應用到實際工程當中，其穩定性也在實際應用中得到了校證。

圖12 波導縫隙陣3×4的物理模型和剖分結果

圖13 θ=90°時的遠場計算結果比較

4 結束語

為解決傳統波導端口激勵在處理天線輻射問題時存在的問題，本文提出了一種通用有效的局域端口加載方式。通過對波導不連續性、天線與天線陣端口激勵輻射等實際問題的仿真校驗，證明了基于FDTD算法的局域導波端口加載技術既可以有效地處理波導不連續性問題，又解決了傳統方法處理輻射問題時遠場外推困難和輻射方向圖失真等問題，因而是一種通用有效的波端口加載方式。

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