頭盔伺服系統(tǒng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)建模及其驗(yàn)證

李 鵬 顧宏斌 吳東蘇

南京航空航天大學(xué)，南京，210016

0 引言

文獻(xiàn)［1］提出了一種用于飛行模擬訓(xùn)練的頭盔顯示器——頭盔伺服系統(tǒng)（helmet mounted display with parallel manipulator，HMDPM），該系統(tǒng)以6URHS并聯(lián)機(jī)構(gòu)為執(zhí)行機(jī)構(gòu)，來減輕頭盔顯示器使用者的工作負(fù)荷，增強(qiáng)使用者的沉浸感。

在機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)方面，6URHS并聯(lián)機(jī)構(gòu)與6SPS、6UPS以及6SPU等Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有基本相同的運(yùn)行特點(diǎn)，因此，6URHS應(yīng)該也是一種Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)。目前，在Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析方面，以對6SPS、6UPS、6SPU和6CRS等并聯(lián)機(jī)構(gòu)的研究為主［2－8］，專門針對6URHS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的研究，尤其是在動(dòng)力學(xué)建模與分析方面的研究較為少見。結(jié)構(gòu)形式的不同導(dǎo)致并聯(lián)機(jī)構(gòu)在建模思路上存在較大的差別，6URHS機(jī)構(gòu)中，可將滑動(dòng)副的外筒與其相關(guān)聯(lián)部分看作一個(gè)整體進(jìn)行建模；螺旋副中，由于螺母會(huì)繞其自身軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，故需要單獨(dú)進(jìn)行螺母建模。然而，在以往對6URHS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)建模過程中，往往出于簡化的目的，用6UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行代替。在對模型精度要求較高的場合，如基于計(jì)算力矩方法對系統(tǒng)進(jìn)行控制時(shí)，建模的簡化往往會(huì)使控制效果變差，其原因主要是兩種運(yùn)動(dòng)副在能量消耗、受力情況、驅(qū)動(dòng)方式、運(yùn)動(dòng)特性等方面的差異會(huì)引起動(dòng)力學(xué)方程中的慣性項(xiàng)和非線性項(xiàng)的變化，繼而導(dǎo)致兩種動(dòng)力學(xué)模型表現(xiàn)不同的動(dòng)力學(xué)特性。因此，建立精確的6URHS并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型是十分必要的。一方面可以為基于計(jì)算力矩的控制方法研究提供精確的模型；另一方面，能為開展系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性研究提供準(zhǔn)確、安全的平臺(tái)。

當(dāng)前，用于Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)建模的方法主要有拉格朗日法［9－10］、牛頓－歐拉（Newton－Euler）法［8－10］、凱 恩 法［7，11－12］、虛 功 原 理［12－14］、達(dá) 朗 伯原理［15］等；另外還可通過軟件轉(zhuǎn)化的方式建模，如文獻(xiàn)［16］采用多體系統(tǒng)建模軟件DynaFlex－Pro建立了Gough－Stewart平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型。其中牛頓－歐拉法可對單個(gè)部件的約束力進(jìn)行建模，便于考慮摩擦力因素的影響，這些約束力不僅可以為機(jī)構(gòu)的機(jī)械設(shè)計(jì)提供依據(jù)，而且還能為系統(tǒng)的控制環(huán)節(jié)提供相應(yīng)的反饋信息，如力控制環(huán)節(jié)中的力反饋等。

綜上，本文采用牛頓－歐拉法進(jìn)行6URHS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析，在建立較為完整、精確的螺旋副模型的同時(shí)，構(gòu)建較為完善的6URHS動(dòng)力學(xué)模型。

1 6URHS并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

1.1 位置分析

頭盔伺服系統(tǒng)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)——6URHS并聯(lián)機(jī)構(gòu)主要由基座、動(dòng)平臺(tái)以及6根連接基座與動(dòng)平臺(tái)的驅(qū)動(dòng)分支組成。圖1是驅(qū)動(dòng)分支的模型圖，從圖中可以看出，驅(qū)動(dòng)分支由伺服電機(jī)組合、螺母和絲杠組合三部分組成，其中伺服電機(jī)組合與底座間通過虎克鉸（U）連接，轉(zhuǎn)動(dòng)副（R）、螺旋副（H）分別是伺服電機(jī)組合與螺母、螺母與絲杠組合的連接關(guān)節(jié)，絲杠組合與動(dòng)平臺(tái)通過復(fù)合球鉸（S）連接。驅(qū)動(dòng)分支的驅(qū)動(dòng)過程如下：伺服電機(jī)與螺母間通過同步齒形帶（圖1）進(jìn)行動(dòng)力傳遞，螺母在電機(jī)的驅(qū)動(dòng)下實(shí)現(xiàn)自轉(zhuǎn)，繼而帶動(dòng)絲杠組合完成伸縮運(yùn)動(dòng)。

圖1 驅(qū)動(dòng)分支模型圖

圖2中OXYZ是慣性坐標(biāo)系，O′X′Y′Z′是動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系。坐標(biāo)系OLXLYLZL固連于伺服電機(jī)組合，其原點(diǎn)OL位于相應(yīng)虎克鉸的中心，XL軸沿螺母的軸線方向，YL軸沿固連于驅(qū)動(dòng)分支的虎克鉸轉(zhuǎn)軸軸線方向，ZL軸由右手準(zhǔn)則判定；坐標(biāo)系ONXNYNZN固連于螺母且隨其一起轉(zhuǎn)動(dòng)，其原點(diǎn)ON是OL在坐標(biāo)系OLXLYLZL中沿XL軸平移ΔX后的點(diǎn)，在執(zhí)行機(jī)構(gòu)處于初始狀態(tài)時(shí)，三個(gè)坐標(biāo)軸均與OLXLYLZL的三軸平行；坐標(biāo)系OUXUYUZU的原點(diǎn)位于相應(yīng)復(fù)合球鉸的中心，三個(gè)坐標(biāo)軸均與OLXLYLZL的三軸平行。另外，還定義了一個(gè)隱形坐標(biāo)系OAXAYAZA（未在圖上標(biāo)注），其原點(diǎn)與OLXLYLZL的原點(diǎn)重合，三軸均與OXYZ三軸平行。

圖2 坐標(biāo)系示意圖

動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系在慣性坐標(biāo)系中的位置和姿態(tài)分 別用t＝ （x，y，z）T和Θ＝ （α，β，γ）T來表示。為敘述方便和不失一般性，選擇任意一個(gè)驅(qū)動(dòng)分支作為研究對象。驅(qū)動(dòng)分支在慣性坐標(biāo)系中的矢量表達(dá)式如下：

式中，L為驅(qū)動(dòng)分支在坐標(biāo)系OXYZ中的空間矢量，亦是虎克鉸中心指向復(fù)合球鉸中心的空間矢量；b為坐標(biāo)系OXYZ中O指向虎克鉸中心的矢量；q為坐標(biāo)系OXYZ中O′指向復(fù)合球鉸中心的矢量；p為坐標(biāo)系O′X′Y′Z′中O′指向復(fù)合球鉸中心的矢量；Rt為描述動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系相對于慣性坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矩陣；cα表示cosα，sα表示sinα。

螺母的旋轉(zhuǎn)角度與驅(qū)動(dòng)分支的伸縮長度存在如下關(guān)系：

式中，‖L‖、L0分別為驅(qū)動(dòng)分支的長度、初始長度；Ph0為絲杠的導(dǎo)程。

將式（1）代入式（2），便可得到Φ與動(dòng)平臺(tái)位姿之間的關(guān)系式：

1.2 速度分析

式（1）兩邊同時(shí)對時(shí)間求導(dǎo)，可得慣性坐標(biāo)系中復(fù)合球鉸中心的速度的計(jì)算公式：

用驅(qū)動(dòng)分支的單位矢量l＝L/‖L‖分別點(diǎn)乘式（3）兩邊后，并根據(jù)混合積運(yùn)算和點(diǎn)乘的可交換性，得驅(qū)動(dòng)分支的伸縮速度：

令Γ＝ ［l；（q×l）］T，則式（4）簡寫為

復(fù)合球鉸中心做的是牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)的空間復(fù)合運(yùn)動(dòng)，根據(jù)空間點(diǎn)的速度合成定理又可表達(dá)為

其中，是復(fù)合球鉸中心相對于伺服電機(jī)組合的速度，Λ是驅(qū)動(dòng)分支的角速度，Λ×L是牽連速度。用l同時(shí)叉乘上式兩邊并作移項(xiàng)變換后，得

驅(qū)動(dòng)分支無繞自身軸向的轉(zhuǎn)動(dòng)，即l·Λ＝0，根據(jù)二重向量外積運(yùn)算法則有

定義螺母在坐標(biāo)系OLXLYLZL中繞自身轉(zhuǎn)軸的角速度為，其表達(dá)式如下：

1.3 加速度分析

慣性坐標(biāo)系中復(fù)合球鉸中心的加速度可以通過對式（3）兩邊求導(dǎo)來確定，具體如下：

其中，是驅(qū)動(dòng)分支的伸縮加速度；是相對加速度，Λ×（Λ×L）和λ×L分別是牽連運(yùn)動(dòng)的向心加速度和切向加速度，2Λ×是科氏加速度；λ為驅(qū)動(dòng)分支的角加速度，其計(jì)算公式如下：

對式（10）和式（11）右邊同時(shí)點(diǎn)乘l，可得到的計(jì)算公式：

根據(jù)數(shù)量積和混合積的運(yùn)算法則，并結(jié)合式（3）、式（5）、式（6）和式（13）便可得到與動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)速度、加速度的關(guān)系式：

定義螺母在坐標(biāo)系OLXLYLZL中繞自身轉(zhuǎn)軸的角加速度為υ，結(jié)合式（14），得

2 6URHS并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析

2.1 驅(qū)動(dòng)分支動(dòng)力學(xué)分析

如圖2所示，定義rd0、rn0分別為伺服電機(jī)組合、螺母在坐標(biāo)系OLXLYLZL、ONXNYNZN中的重心矢徑；rl0是絲杠組合在坐標(biāo)系OUXUYUZU中的重心矢徑。那么伺服電機(jī)組合、螺母和絲杠組合在坐標(biāo)系OAXAYAZA中的重心矢徑rd、rn以及rl可分別通過以下關(guān)系式計(jì)算：

式中，R′為OLXLYLZL相對于OAXAYAZA的旋轉(zhuǎn)矩陣；k為基座平面內(nèi)垂直于b的單位向量；δ為坐標(biāo)系OLXLYLZL中的OLON矢量，其 中δ（1）＝ΔX；H′為ONXNYNZN相對于OLXLYLZL的旋轉(zhuǎn)矩陣。

定義E＝ ［χητ］T來表示ONXNYNZN在OLXLYLZL中的姿態(tài)，則有

式中，mod（Φ，2π）表示取Φ（j）/2π的余數(shù)，j＝1，2，3。

結(jié)合式（12）、式（14）和式（15），伺服電機(jī)組合重心、螺母重心以及絲杠組合重心的加速度分別為

伺服電機(jī)組合、螺母和絲杠組合在坐標(biāo)系OAXAYAZA中的慣量矩陣分別為

式 中，Id0、In0、Il0分 別 為 伺 服 電 機(jī) 組 合 在 坐 標(biāo) 系OLXLYLZL中的慣量矩陣、螺母在坐標(biāo)系ONXNYNZN中的慣量矩陣、絲杠組合在坐標(biāo)系OUXUYUZU中的慣量矩陣；ml為絲杠組合的質(zhì)量。

圖3是單個(gè)驅(qū)動(dòng)分支的受力分析圖，Gd、Gn和Gl分別是伺服電機(jī)組合、螺母和絲杠組合的重 力；Fu、Mu是 伺 服電機(jī)組合受到虎克鉸的約束力和約束力矩；Mvfu、Mvfs分 別 是 虎 克鉸和復(fù)合球鉸的黏滯摩擦力矩；Fsl是復(fù)合球鉸對絲杠組合施加的約束力；md、mn分 別 是 伺 服電機(jī)組合和螺母的質(zhì)量。

坐標(biāo)系OAXAYAZA中整個(gè)驅(qū)動(dòng)分支的歐拉方程如下：

圖3 驅(qū)動(dòng)分支的受力分析圖

用l分別叉乘式（20）兩邊，便可消除Mul項(xiàng)，于是式（20）將被改寫為

以絲杠組合為研究對象，對其進(jìn)行受力分析，如圖4a所示，建立牛頓方程如下：

式中，F(xiàn)l是螺母對絲杠組合的作用力。

將式（22）兩側(cè)分別點(diǎn)乘l，并經(jīng)過移向變換后，便可得到Fs的計(jì)算公式：

式中，F(xiàn)＝l·Fl，為螺母對絲杠組合的作用力沿驅(qū)動(dòng)分支軸向的分量，亦是螺母對絲杠組合的驅(qū)動(dòng)力；Fs＝l·Fsl，為絲杠組合受到復(fù)合球鉸的約束力沿驅(qū)動(dòng)分支軸向的分量。

圖4b是螺母在OLXLYLZL中的受力分析圖，F(xiàn)N、MN分別是螺母受到伺服電機(jī)組合的作用力和力矩，其中MN沿XL的分量是伺服電機(jī)對螺母的驅(qū)動(dòng)力矩MNX；Mvfr是轉(zhuǎn)動(dòng)副處的黏滯摩擦力矩矢量，方向均沿XL軸方向；是螺母的重力矢量；是絲杠組合施加于螺母的作用力和相應(yīng)的矢徑是螺母的重力矢徑，Mvfr以及的表達(dá)式如下：

式中，cr為轉(zhuǎn)動(dòng)副處的黏滯摩擦因數(shù)。

圖4 絲杠組合、螺母受力分析圖

將圖4b的力系對軸XL取矩，并結(jié)合式（24），則有

如圖5所示，可將螺母與絲杠螺紋間的相對運(yùn)動(dòng)看作是滑塊在斜面上的運(yùn)動(dòng)［17］。對于平面力系而言，有

圖5 螺母受力分析圖

sgn（）是符號(hào)函數(shù)，圖5a中sgn（）≥0，圖5b中sgn（）＜0；FN是絲杠螺紋對螺母的斜面法向支持力，方向垂直于絲杠螺紋斜面；Ff是螺母受到的滑動(dòng)摩擦力，方向與螺母沿斜面的運(yùn)動(dòng)方向相反；FN與Ff的合力是，位于螺母圓柱面的切面內(nèi)；cl是螺母與絲杠螺紋間的摩擦因數(shù)；Dl是絲杠螺紋的公稱直徑；FD與FM分別是沿螺母軸線方向的分力和垂直于螺母軸線方向的分力，且

是＝0時(shí)驅(qū)動(dòng)分支的伸縮加速度，可由下式計(jì)算：

其中，F(xiàn)sensor由圖1中的傳感器測量，拉力為正，壓力為負(fù)；mscrew是絲杠的質(zhì)量；Gscrew是絲杠的重力。

依據(jù)圖5的受力分析情況，對XL軸的矩又可用下式計(jì)算：

綜合式（23）、式（25）、式（27）和式（28），可得到Fs與MNX的關(guān)系式：

根據(jù)向量積運(yùn)算法則，有

據(jù)此關(guān)系式，式（21）左邊又可以用以下形式表示：

根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算法則，并綜合式（17）～ 式（19）、式（21）、式（29）、式（30），可得到Fsl關(guān)于MNX、ap的表達(dá)式：

式中，I3是3×3的單位矩陣。

對式（31）作進(jìn)一步簡化如下：

Ω是關(guān)于驅(qū)動(dòng)分支屬性參數(shù)的3×3矩陣，其表達(dá)式如下：

2.2 動(dòng)平臺(tái)動(dòng)力學(xué)分析

定義O″X″Y″Z″坐標(biāo)系的原點(diǎn)是O′，三軸分別與OXYZ的三軸平行，Rp0為動(dòng)平臺(tái)在坐標(biāo)系O′X′Y′Z′中的重心矢徑。根據(jù)坐標(biāo)變換，動(dòng)平臺(tái)在坐標(biāo)系O″X″Y″Z″中的重心矢徑為

牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)的動(dòng)平臺(tái)，其重心處的加速度為

動(dòng)平臺(tái)在O″X″Y″Z″中的慣量矩陣為

式中，Ip0為動(dòng)平臺(tái)在O′X′Y′Z′中的慣量矩陣。

圖6是動(dòng)平臺(tái)的受力分析圖。Fpe、Mpe分別是坐標(biāo)系O′X′Y′Z′中作用在動(dòng)平臺(tái)上的外力和外力矩；（~Fsl）i與（Fsl）i是一對作用力與反作用力。根據(jù)達(dá)朗伯原理，動(dòng)平臺(tái)的牛頓方程為式中，mp為動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)量；g為重力加速度矢量。

圖6 動(dòng)平臺(tái)的受力分析圖

將式（32）和式（34）代入式（36），得

同樣，根據(jù)達(dá)朗伯原理，將動(dòng)平臺(tái)力系對O″X″Y″Z″的原點(diǎn)取矩，則動(dòng)平臺(tái)的歐拉方程為

綜合式（37）和式（38），6URHS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的完整動(dòng)力學(xué)方程如下：

3 模型實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 6URHS動(dòng)力學(xué)模型準(zhǔn)確性驗(yàn)證

本文基于 MATLAB/Simulink模塊建立了6URHS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的虛擬樣機(jī)，將前文中推導(dǎo)的數(shù)學(xué)模型與該虛擬樣機(jī)進(jìn)行對比分析，來驗(yàn)證本文數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性。6URHS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的相關(guān)參數(shù)如下：

動(dòng)平臺(tái)在慣性坐標(biāo)系中的初始狀態(tài)為

圖7、圖8所示是在無外力作用、忽略所有摩擦力的情況下，數(shù)學(xué)模型和虛擬樣機(jī)對同一組分支驅(qū)動(dòng)力矩輸入的輸出響應(yīng)對比結(jié)果，其中虛線是數(shù)學(xué)模型的輸出。驅(qū)動(dòng)力矩表達(dá)式如下：

MNX＝ ［0 0 0 0 2sin（2πu/T）2sin（2πu/T）］TN·m（40）式中，T＝1.0s，為周期；u＝1.0s，為仿真時(shí)間。

圖7 虛擬樣機(jī)與數(shù)學(xué)模型的動(dòng)平臺(tái)加速度對比

圖7、圖8的對比結(jié)果顯示：無論是動(dòng)平臺(tái)的加速度對比還是位置比較，虛擬樣機(jī)與數(shù)學(xué)模型在相應(yīng)自由度上的曲線形狀、幅值大小以及取值均是基本吻合的，即對同一輸入，數(shù)學(xué)模型的輸出響應(yīng)與虛擬樣機(jī)是基本一致的。

圖8 虛擬樣機(jī)與數(shù)學(xué)模型的動(dòng)平臺(tái)位置對比

綜上，可以證明6URHS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型具有與虛擬樣機(jī)基本相同的準(zhǔn)確性。

3.2 軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)

為進(jìn)一步驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性，本文基于PID控制，進(jìn)行了數(shù)學(xué)模型的軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)工況為：①無外力作用、忽略所有摩擦力；②期望軌跡為

③PID控制器參數(shù)Kp＝10 000，Kd＝30。

動(dòng)平臺(tái)實(shí)際位置與期望位置對比如圖9所示，虛線是動(dòng)平臺(tái)的期望位置。位置跟蹤偏差如表1所示。結(jié)合圖9和表1，可以看出：最大線位移跟蹤偏差為34μm，最大角位移跟蹤偏差為4.2×10－3rad，這說明本文選用的控制器具有較好的控制效果。

圖9 動(dòng)平臺(tái)實(shí)際位置與期望位置對比

表1 動(dòng)平臺(tái)的位置跟蹤偏差

因驅(qū)動(dòng)分支布局關(guān)于平面OXZ對稱，且期望軌跡位于OXZ平面內(nèi)，故驅(qū)動(dòng)力矩（MNX）1與（MNX）4、（MNX）2與（MNX）3、（MNX）5與（MNX）6相等。圖10的對比結(jié)果印證了這一點(diǎn)。

4 結(jié)論

（1）借鑒串聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析方法，對驅(qū)動(dòng)分支的位置、速度和加速度進(jìn)行了分析，建立了螺旋副螺母的位置、速度、加速度與動(dòng)平臺(tái)在任務(wù)空間中的位姿、速度和加速度之間的關(guān)系。

（2）運(yùn)用牛頓－歐拉法建立了驅(qū)動(dòng)分支整體與包括螺母在內(nèi)的部分構(gòu)件的力與力矩平衡方程，并最終推導(dǎo)出了6URHS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程，考慮了螺旋副摩擦力的影響，建立了螺旋副驅(qū)動(dòng)力矩與動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)參數(shù)間的關(guān)系，為該類并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析和綜合奠定了一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

（3）采用MATLAB分別建立了6URHS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型仿真程序和Simulink虛擬樣機(jī)，通過對比兩者對同一輸入的輸出響應(yīng)，驗(yàn)證了6URHS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程的準(zhǔn)確性。另外，進(jìn)行了數(shù)學(xué)模型的軌跡跟蹤仿真實(shí)驗(yàn)，對軌跡跟蹤所需的驅(qū)動(dòng)力矩進(jìn)行了計(jì)算和分析。

（4）借助式（39）和傳感器（圖1）可計(jì)算頭盔伺服系統(tǒng)與頭部間的接觸力和力矩，為頭盔伺服系統(tǒng)的減負(fù)控制提供力反饋信息，具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

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