基于移動平均位置不變性推論的NURBS曲線插補(bǔ)算法研究

宋 芳 郝雙暉 郝明暉

1.上海工程技術(shù)大學(xué)，上海，201620 2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)，哈爾濱，150001

0 引言

目前對參數(shù)曲線/曲面插補(bǔ)算法的研究多是基于Taylor展開發(fā)展起來的［1］。參數(shù)曲線的曲率是不斷變化的，如何將加減速控制集成到曲線插補(bǔ)計算中，并實現(xiàn)加速度指令及位置對時間更高階指令的連續(xù)，實現(xiàn)機(jī)床的高速、高精度加工，是數(shù)控技術(shù)研究者一直關(guān)注的重點和難點問題之一。

Yong等［2］提出了加速度控制的自適應(yīng)插補(bǔ)算法，但該算法的加速度分布存在突變或跳躍，會給機(jī)床帶來較大的沖擊和振動，所以需考慮加加速度及更高階指令在插補(bǔ)過程中的影響。Nam等［3］對上述算法進(jìn)行了改進(jìn)，加入了對進(jìn)給加速度的實時監(jiān)控，引入加速度控制，可以在一定程度上減小速度的波動。文獻(xiàn)［4-5］建立了加減速限制模塊，利用限制后的信息對曲線進(jìn)行插補(bǔ)，但該算法只考慮了曲線的局部幾何特征，當(dāng)曲線曲率變化較快時，機(jī)床還是有可能因為來不及調(diào)整進(jìn)給速度而出現(xiàn)過切(殘留)現(xiàn)象。文獻(xiàn)［6-7］將濾波技術(shù)引入到數(shù)控系統(tǒng)算法中，提出了基于濾波技術(shù)的NURBS曲線插補(bǔ)算法，實現(xiàn)了整個過程的加減速連續(xù)，但該算法沒有考慮濾波處理后連接點及極值點的速度和位置會發(fā)生改變(這一改變將影響系統(tǒng)的加工精度)，并且該算法也未實現(xiàn)位置對時間更高階指令的連續(xù)。

本文在以上研究的基礎(chǔ)上，提出基于移動平均位置不變性的NURBS曲線插補(bǔ)算法。該算法通過對移動平均的位置不變性進(jìn)行研究，推出位置不變性推論，并利用該推論得出對連接點和極值點的調(diào)整方法，使濾波前后的連接點及極值點的速度和位置不變，滿足了加工精度要求。并且該方法具有可擴(kuò)展性，可實現(xiàn)加速度或位移對時間更高階指令的連續(xù)。

1 移動平均的位置不變性及推論

1.1 移動平均加減速控制算法基本原理

移動平均加減速控制算法的基本原理是，首先對直線加減速離散的速度進(jìn)行移動平均處理，獲得移動平均加減速控制算法的實際輸出速度，然后對實際速度進(jìn)行差分計算以獲得實際輸出加速度，最后利用梯形面積公式，求出實際輸出的位置。這種方法獲得的加速度曲線是連續(xù)變化的，可實現(xiàn)加減速階段速度的平滑過渡。通過對此算法進(jìn)行擴(kuò)展可實現(xiàn)指令解釋的高次可微分［8-9］。

1.2 位置不變性推論

位置不變性定理是指對直線加減速控制算法進(jìn)行移動平均處理，處理前后的終點位置不變，該定理的證明參考文獻(xiàn)［10］。根據(jù)移動平均算法及位置不變性原理推導(dǎo)出位置不變性推論。

推論 若以某插補(bǔ)點為中心，前后(n－1)/2(n為移動平均步數(shù)，且為奇數(shù))個點的速度均等于該插補(bǔ)點的速度，則對其進(jìn)行移動平均處理后，該點仍為被插補(bǔ)點，且該點速度與移動平均前該點速度相等。

證明 假設(shè)某指定插補(bǔ)點的移動平均前后速度曲線如圖1所示。

圖1 指定插補(bǔ)點的移動平均前后速度曲線

則有

由上述證明可知，此推論成立。

或

2 基于位置不變性推論的NURBS曲線插補(bǔ)

2個G代碼之間的連接點和曲線的極值點(統(tǒng)稱為指定點)是在實際插補(bǔ)過程中必須通過的點，這在采用其他加減速控制算法時是易于實現(xiàn)的。但采用移動平均加減速控制算法實現(xiàn)對被加工曲線的加減速控制，是對已規(guī)劃好的直線加減速控制算法的速度進(jìn)行移動平均處理，處理后的插補(bǔ)點將不通過指定點(不包括曲線的起始點和終點)。因此，利用位置不變性推論，對移動平均前的指定點附近插補(bǔ)點的速度、位置進(jìn)行調(diào)整，可使移動平均處理后的插補(bǔ)點通過指定點，滿足實際加工的要求，而不影響系統(tǒng)插補(bǔ)精度，其處理步驟如下:

(1)在進(jìn)行預(yù)插補(bǔ)前，首先對曲線的幾何特性進(jìn)行分析，對影響進(jìn)給速度的極值點曲率進(jìn)行計算，并對進(jìn)給速度進(jìn)行分析。

(2)在對指定點附近插補(bǔ)點的進(jìn)給速度和位置進(jìn)行調(diào)整后，將曲線劃分為多個區(qū)間，對各區(qū)間的速度分布類型進(jìn)行研究，再確定各減速區(qū)間的減速點。

(3)最后利用直線加減速控制算法完成對NURBS曲線的一次預(yù)插補(bǔ)，然后利用移動平均對預(yù)插補(bǔ)結(jié)果進(jìn)行處理，可實現(xiàn)加速度指令或更高階指令的高次平滑及對NURBS曲線的高精度插補(bǔ)。

2.1 預(yù)插補(bǔ)處理

2.1.1 臨界曲率計算

首先利用臨界曲率［11］將曲率函數(shù)進(jìn)行區(qū)間劃分，然后對大于臨界曲率的區(qū)間采用等間距節(jié)點矢量掃描方法，求取該區(qū)間的曲率極值點及其參數(shù)。具體實現(xiàn)步驟如下:

(2)曲率區(qū)間劃分。所提出的基于臨界曲率劃分求取極值點曲率的方法，對區(qū)間邊界參數(shù)的求解精度沒有嚴(yán)格要求，即在進(jìn)行曲率區(qū)間劃分時，參數(shù)變化間距可以適當(dāng)放大。

(3)求曲率區(qū)間的曲率極值點。由于對極值點曲率的求解精度有嚴(yán)格要求，因此采用等間距參數(shù)掃描方法求解時，為求得精確的極值點曲率，需要設(shè)置較小的參數(shù)變化間距。

2.1.2 進(jìn)給速度分析

進(jìn)給速度受弦高誤差、向心加速度和加速過程中切向加速度限制，需滿足以下條件:

(1)滿足插補(bǔ)精度的最大進(jìn)給速度為

式中，ui為曲線的節(jié)點;ρ(ui)為節(jié)點ui的曲率。

(2)向心加速度許用的最大進(jìn)給速度為

式中，km為當(dāng)前曲率區(qū)間的曲率極大值。

(3)切向加速度許用的最大進(jìn)給速度為

式中，aτm為最大切向加速度。

綜上所述，進(jìn)給速度除滿足以上條件外，還需滿足系統(tǒng)給定最大進(jìn)給速度vf的限制，故各插補(bǔ)點的最大進(jìn)給速度為

2.1.3 指定點附近插補(bǔ)點的速度和位置調(diào)整

(1)沿加工方向的插補(bǔ)點處理。以連接點P為出發(fā)點，用vf進(jìn)行預(yù)測，然后對最初的n2個點分別進(jìn)行速度求解，所獲得的最小速度為vP2min。

為使實際插補(bǔ)經(jīng)過連接點P，故對連接點附近的插補(bǔ)點進(jìn)行速度和位置調(diào)整，如圖2所示。

一般來講，極值點處的進(jìn)給速度vPmin為半移動平均步數(shù)n2范圍內(nèi)插補(bǔ)點的最低速度，因此對這些插補(bǔ)點進(jìn)行速度、位置的調(diào)整如圖3所示。

當(dāng)進(jìn)行多次移動平均處理實現(xiàn)指令解釋高次可微分時，預(yù)測步數(shù)n2為各階半移動平均步數(shù)之和。

利用各連接點或極值點附近勻速開始點的位置SPn2，將曲線劃分為多段，采用等間距參數(shù)掃描方法可分別計算出各段的弧長，此時NURBS曲線被劃分為Lseg1、Lseg2、Lseg3等多段，且各段的速度分布如圖4所示。至此即可初步獲取各區(qū)間的速度、位置及各區(qū)間終點的參數(shù)信息。

圖3 極值點附近插補(bǔ)點的速度和位置調(diào)整示意圖

圖4 調(diào)整后的速度分布圖

當(dāng)vP1≤vP2時

當(dāng)vP1＞vP2時

…

2.1.4 直線加減速控制的NURBS曲線預(yù)插補(bǔ)

通過以上處理，即可獲得預(yù)插補(bǔ)處理過程中需要的各區(qū)間信息。下面首先利用這些信息確定速度分布類型，然后根據(jù)速度的分布類型，利用直線加減速控制算法確定減速距離，判斷減速點，最后從減速點開始對速度分布進(jìn)行進(jìn)一步的精確計算，從而實現(xiàn)基于直線加減速的NURBS曲線預(yù)插補(bǔ)處理。

除勻速區(qū)域外，其他區(qū)域的起始速度和終點速度不一定相同，也就是說加速過程和減速過程不對稱。速度的分布類型主要由各區(qū)間的弧長決定，下面將利用各臨界狀態(tài)弧長與各區(qū)間實際弧長之間的關(guān)系確定速度分布類型。

臨界狀態(tài)弧長是指以起始速度vs加速到終止速度ve所需的位移Sref1，即Sref1=SOAFG，以及能夠達(dá)到指令進(jìn)給速度所需要的最小位移Sref2，即Sref2=SOBEG+SBCDE，如圖5所示。

圖5 臨界狀態(tài)速度曲線圖

圖5中，假設(shè)起始速度vs小于終止速度ve，即vs＜ve≤vf，amax為系統(tǒng)允許的最大加速度，則臨界位移Sref1和Sref2的計算公式如下:

當(dāng)ve≤vs≤vf時，速度曲線分布類型與vs＜ve≤vf情況的確定方式類似，本文不再贅述。

下面將通過各段弧長Lsegi與臨界位移Sref1和Sref2的關(guān)系確定速度曲線的分布狀態(tài)。

(1)Lsegi＞Sref2的情況。此時，速度可以達(dá)到系統(tǒng)的指令進(jìn)給速度vf，因此速度曲線具有加速區(qū)、勻速區(qū)和減速區(qū)，具體情況如圖6所示。其中，Lsegi=SOBEG+SBHKE+SHIJK。利用直線加減速控制算法的處理方式，很容易確定減速點及加速階段的步數(shù)Na、勻速階段的步數(shù)Ne及減速階段的步數(shù)Nd，這里不再贅述。

圖6 達(dá)到指令進(jìn)給速度v f時的速度曲線分布圖

(2)Sref1≤Lsegi≤Sref2的情況。此種情況不能達(dá)到系統(tǒng)的指令進(jìn)給速度vf，因此速度曲線僅具有加速區(qū)和減速區(qū)，具體情況如圖7所示，其中，Lsegi=SOBNG+SBLMN。

圖7 未達(dá)到指令進(jìn)給速度v f時的速度曲線分布圖

設(shè)能夠達(dá)到的最大進(jìn)給速度為v'f，則有

下面同樣利用直線加減速控制算法的處理方式，很容易確定減速點及加速階段的步數(shù)Na和減速階段的步數(shù)Nd，這里不再對其進(jìn)行贅述。

(3)Lsegi＜Sref1的情況。此種情況經(jīng)過式(13)～式(15)的調(diào)整，已使Lsegi=Sref1，因此可按照情況2進(jìn)行處理。

以上完成對速度分布類型的研究，再利用直線加減速計算公式可獲得各離散點的插補(bǔ)速度和位置，即完成對NURBS曲線的預(yù)插補(bǔ)。

2.2 基于移動平均的NURBS曲線實時插補(bǔ)

通過以上研究實現(xiàn)了基于直線加減速控制的NURBS曲線預(yù)插補(bǔ)處理，但所獲得的指令解釋不具有高次可微分性，故需對經(jīng)過直線加減速處理后獲得的速度進(jìn)行移動平均處理。

假設(shè)移動平均步數(shù)為N，前N－1個移動平均處理前的速度組成的數(shù)組為p［N－1］，將當(dāng)前插補(bǔ)點移動平均處理前的速度vL(ui)代入到下式:

即可求得當(dāng)前插補(bǔ)點移動平均處理后的速度vJ(ui)。

為實現(xiàn)指令解釋的高次可微分性，利用多次移動平均進(jìn)行處理，在式(19)的基礎(chǔ)上對速度重復(fù)上述移動平均處理過程。則當(dāng)前插補(bǔ)點移動平均后的加速度為

式中，vJ(ui－1)為上一插補(bǔ)點移動平均后的速度，m/s。

由于NURBS曲線在每一點處的弧長計算是非常復(fù)雜且耗時的，不適于在實時插補(bǔ)中使用，故采用將弧長近似為相鄰插補(bǔ)點間直線段距離累加的方式來獲取曲線起點至當(dāng)前插補(bǔ)點之間的距離，其計算公式為

式中，ΔSJ(ui)為前一插補(bǔ)點與當(dāng)前插補(bǔ)點之間的直線距離，m;LJ(ui－1)為曲線起點至前一插補(bǔ)點的距離，m;LJ(ui)為曲線起點至當(dāng)前插補(bǔ)點的距離，m。

通過上述處理，即可實現(xiàn)基于移動平均的NURBS曲線實時插補(bǔ)，同時也完成了NURBS曲線指令解釋的高次可微分。

3 實驗驗證

下面將以一條三軸加工的NURBS曲線路徑為例，對所提出的NURBS曲線插補(bǔ)算法進(jìn)行驗證，該曲線路徑如圖8所示。

圖8 NURBS曲線插補(bǔ)實例

曲線參數(shù)如下:控制點為(26.7，100.0，0)，(35.1，126.3，14.0)， (35.1，133.3，13.3)，(40.0，133.3，13.3)， (60.0，120.0，13.3)，(53.3，100.0，10.0)， (53.3，86.7，0)， (80.0，53.3，10.0)，(80.0，56.7，0)mm;節(jié)點矢量 U=(0，0，0，0，0.3，0.4，0.6，0.7，0.8，1.0，1.0，1.0，1.0);權(quán)值W=(1.0，4.0，0.5，1.0，3.0，0.8，2.0，6.0，4.0)。

取機(jī)床許用的最大加速度amax=5m/s2，T=60μs，vf=0.2m/s，δ=1μm，一次及二次移動平均步數(shù)n=n'=65。

3.1 直線加減速控制的預(yù)插補(bǔ)

對極值點附近插補(bǔ)點的位置、速度進(jìn)行調(diào)整后，即可獲得直線加減速預(yù)處理的速度、加速度曲線和加加速度曲線，如圖9所示。

圖9 調(diào)整后的直線加減速預(yù)插補(bǔ)控制曲線圖

圖9a中，標(biāo)記的Ⅰ～Ⅳ表示調(diào)整后的4個勻速區(qū)間，除此之外，其他各區(qū)域速度根據(jù)曲率變化自適應(yīng)調(diào)整。但由圖9所獲得的直線加減速控制曲線中，加速度曲線不連續(xù)，速度變化時將會產(chǎn)生沖擊和振動。

3.2 二次移動平均處理實時插補(bǔ)

下面基于直線加減速預(yù)插補(bǔ)處理結(jié)果對離散后的速度進(jìn)行二次移動平均處理，實現(xiàn)對NURBS曲線指令解釋的高次可微分。該條NURBS曲線的速度、加速度、加加速度、位移的4次微分及位移的5次微分仿真結(jié)果如圖10所示。

由圖10可知，二次移動平均處理能實現(xiàn)速度曲線平滑以及加速度、加加速度曲線的連續(xù)。更重要的是，可實現(xiàn)對NURBS曲線指令解釋的4次微分處理。

圖10 二次移動平均處理實時插補(bǔ)曲線圖

移動平均前后的速度及極值點附近速度放大圖，分別如圖11、圖12所示。

圖11 移動平均前后速度比較圖

由圖12可知，對極值點附近插補(bǔ)點的速度和位置調(diào)整處理后，移動平均前后的極值點速度沒有改變，將不會影響系統(tǒng)的插補(bǔ)精度。

圖12 極值點附近速度放大圖

4 結(jié)語

本文提出了移動平均位置不變性推論，利用該推論對移動平均指定點附近插補(bǔ)點的速度、位置進(jìn)行調(diào)整，使移動平均處理后的插補(bǔ)點通過指定點，將進(jìn)給速度加減速控制集成到曲線插補(bǔ)中，能實現(xiàn)加速度及更高階指令的連續(xù)。實例證明了所提出算法的可行性和有效性。

［1］Yeh SS，Tu M F.A Novel Approach to the Design of NURBS Interpolator for Advanced Motion Systems［C］//Proceedings of the 2005 IEEE International Conference on Mechatronics.Taipei，2006:388-393.

［2］Yong T，Narayanaswami R.A Parametric Interpolator with Confined Chord Errors，Acceleration and Deceleration for NCMachining［J］.Computer－ Aided Design，2003，35(13):1249-1259.

［3］Nam SH，Yang M Y.A Study on a Generalized Parametric Interpolator with Real－time Jerk－limited Acceleration［J］.Computer － Aided Design，2004，36(1):27-36.

［4］Lin M T，Tsai M S，Yau H T.Development of Realtime Look－ahead Algorithm for NURBS Interpolator with Consideration of Servo Dynamics［C］//Proceedings of the 46th IEEE Conference on Decision and Control.New Orleans，LA，USA，2007:1862-1867.

［5］Shi X G，Xu B G，Xie W，et al.Design and Implementation of S－shape Acceleration/Deceleration Algorithm Based on Rounding Error Compensation Tactic［C］//Proceedings of the 7th World Congress on Intelligent Control and Automation.Chongqing，2008:7912-7916.

［6］張曉輝，于東，胡毅，等.基于濾波技術(shù)的NURBS曲線插補(bǔ)算法研究［J］.中國機(jī)械工程，2009，20(14):1695-1699.

Zhang Xiaohui，Yu Dong，Hu Yi，et al.Research on NURBS Interplation Algorithm Based on Filtering［J］.China Mechanical Engineering，2009，20(14):1695-1699.

［7］董伯麟，王治森，韓江.高速高精度加工中NURBS曲線混合插補(bǔ)算法［J］.農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報，2008，39(6):174-178.

Dong Bolin，Wang Zhisen，Han Jiang.NURBS Curve Hybrid Interpolator in High Speed and High Accuracy Machining［J］.Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery，2008，39(6):174-178.

［8］Song F，Hao SH，Hao M H，et al.Research on Acceleration and Deceleration Control Algorithm of NC Instruction Interpretations with High－order Smooth［C］//International Conference on Intelligent Robotics and Applications.Wuhan，2008:548-557.

［9］郝雙暉，宋芳，郝明暉，等.移動平均加減速控制算法的研究［J］.東北大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2008，29(增1):222-225.

Hao Shuanghui，Song Fang，Hao Minghui，et al.Research on Acceleration－deceleration Control Algorithm Based on Moving Average Method［J］.Journal of Northeastern University(Natural Science)，2008，29(S1):222-225.

［10］于東，胡韶華，蓋榮麗，等.基于濾波技術(shù)的數(shù)控系統(tǒng)加減速研究［J］.中國機(jī)械工程，2008，19(7):804-807.

Yu Dong，Hu Shaohua，Gai Rongli，et al.Research on Acceleration and Deceleration for CNCMachine Tools Based on Filtering［J］.China Mechanical Engineering，2008，19(7):804-807.

［11］劉可照，彭芳瑜，吳昊，等.基于機(jī)床動力學(xué)特性的NURBS曲線直接插補(bǔ)［J］.機(jī)床與液壓，2004(11):26-31.

Liu Kezhao，Peng Fangyu，Wu Hao，et al.An Interpolator for NURBS Curve Machining Based on Dynamical Characteristic of Machine［J］.Machine Tool＆ Hydraulics，2004(11):26-31.