6－UPS并聯機床位姿空間圖譜

陳小崗 孫 宇 劉遠偉 吳海兵

1.南京理工大學，南京，210094 2.淮陰工學院，淮安，223003

0 引言

與傳統結構形式的數控機床相比，采用Stewart平臺結構形式的六自由度純并聯機床被認為存在工作空間與機床體積之比較小，工作空間內各點的姿態能力、誤差、剛度等特性不一致的缺點［1-3］。但該類型機床的工作空間與體積之比小至何種程度，工作空間內各點的姿態能力不一致到何種程度，具有什么樣的分布特性，目前鮮有具體而詳盡的數據佐證。

吳海兵等［4］對Stewart型并聯機床的工作空間進行了分析計算，獲得了可達空間呈陀螺狀的結論，并給出了圓柱體的推薦工作空間，但未給出兩者相對于機床體積的比值，且未對姿態能力進行研究。趙迎祥等［5］對6－SPS并聯機床工作空間進行分析時，考慮了動平臺的姿態問題，并研究了工作空間隨自轉角的變化情況。張曙等［1］對姿態角對工作空間的形狀、大小、位置等特性的影響進行了研究，此外文獻［6-12］對Stewart型并聯機構進行了運動學正解、位置奇異、姿態奇異、自運動等問題的研究，但它們均未給出工作空間內姿態能力的具體分布特性。

綜合目前的研究現狀，本文從桿長約束、轉角約束、干涉約束出發，首先對交叉桿式Stewart型并聯機床進行了平動工作空間計算，并求取了其最大包容球、最大包容圓柱、最大包容長方體。然后重新定義了“姿態能力角”這一概念，計算了該機床平動工作空間內各點處的姿態能力角，繪制了姿態能力角分布圖譜，獲得了與刀軸偏擺能力相應的姿態空間。不但更全面地評價了工作空間與機床體積之比，而且獲得了姿態空間具體而詳細的分布特性。本文的研究結果更全面地揭示了并聯機床的加工范圍及加工能力。

1 BJ－04－02(A)并聯機床運動學模型

1.1 并聯機床結構簡圖

本文的研究對象為BJ－04－02(A)并聯機床，其進給機構采用6－UPS交叉桿式Stewart平臺變型結構，其中，U副(虎克鉸)用軸線垂直相交的2個轉動副等效替代，S副(球鉸)用軸線兩兩垂直且相交于一點的3個轉動副等效替代。機床的三維模型及實際結構如圖1所示。

圖1 BJ－04－02(A)并聯機床

在該機床上定義2個坐標系:①慣性坐標系OA XYZ，其原點在定平臺上鉸點分布平面的中心，其X軸平行于鉸點A4指向A3的方向，Z軸豎直向上;②隨動坐標系OB X'Y'Z'，其原點在刀具平臺幾何中心，X'軸平行于鉸點B5指向B3的方向，Z'軸垂直于刀具平臺表面向上，如圖2所示。

圖2 機床結構簡圖

鉸點Ai(i=1，2，…，6)在慣性系中的位置矢量記作ai，鉸點Bi在隨動系中的位置矢量記作bi。隨動系的原點OB在慣性系中的位置矢量記作rB。隨動系在慣性系中的方向余弦矩陣為R。由Ai指向Bi的桿矢量記作Li。上述各矢量間的關系為

1.2 工作空間的約束條件

在求解并聯機床工作空間時，主要考慮桿長約束、鉸鏈轉角約束、驅動桿之間的干涉約束［4-5］。

(1)桿長約束。機床的6根驅動桿均有各自的伸縮范圍(極小值與極大值分別為Lmin、Lmax)。當刀具平臺在工作空間內運動時，6根桿的長度|Li|必須滿足

(2)轉角約束。該機床的每條支鏈均有5個轉動副，按從定平臺到刀具平臺的順序，第2、第4轉動副有轉角范圍限制，即驅動桿中心軸線與第1、第5轉動軸線之間的夾角φ有范圍限制，記其下限值為φmin。當刀具平臺在工作空間內運動時，φ必須滿足

(3)干涉約束。6根桿均為圓柱體，其半徑記為R。當刀具平臺在工作空間內運動時，6根桿的中心軸線之間的距離Dij(i，j=1，2，…，6，且i≠j)必須滿足

2 位置空間

并聯機床的工作空間有最大空間、定向空間、完全空間之分。最大空間是指刀具平臺以任意姿態可達點的集合。定向空間是指刀具平臺以指定姿態可達點的集合。完全空間是指刀具平臺以所有姿態均可達點的集合。定向空間和完全空間都是最大空間的一個子集。

2.1 位置空間

使固結于刀具平臺的隨動系的X'、Y'、Z'軸始終分別平行于慣性系的X、Y、Z軸，在該參考姿態下，刀具平臺作平動可達點的范圍即為本文所稱的位置空間。此時矩陣 R=I3×3，則式(1)簡化為

其中，矢量ai和bi可從表1、表2獲得。

表1 定平臺鉸點位置參數表 mm

表2 動平臺鉸點位置參數表 mm

經初步計算后，判定工作空間在x∈［－500，500］mm，y∈ ［－500，500］mm，z∈ ［－1400，－400］mm范圍內。對該長方體形空間，按照X向間隔10mm、Y向間隔10mm、Z向間隔20mm進行采樣取點。

對每一個采樣點，將其位置坐標賦予矢量rB，然后根據式(5)計算各驅動桿的軸線方向及桿長，并根據式(2)～式(4)分別判斷是否滿足桿長、轉角、干涉約束。

在對所有采樣點進行計算、判斷后，獲得平動可達位置空間，如圖3所示。該位置空間由Z方向上的一系列片層組成，為直觀地體現其立體形狀，按照Z坐標“由小到大”的順序繪制Z向各層的位置點。

圖3 位置空間

圖3所示的位置空間包含點數為67 434，占據的體積約為 0.135m3。機床外圍體積約為5.86m3，因此該空間與機床體積之比約為2.30%。

Stewart型并聯機床不僅工作空間的絕對體積小，而且其與機床體積之比，較之傳統機床，也是較小的。相關研究均證實了這一定性結論，但給出定量數據的很少，且不夠全面。本文基于上述計算結果，給出并聯機床位置空間的相關數據，并將其與串聯式五軸加工機床進行對比。

2.2 包容球、包容圓柱、包容長方體

圖3所示的位置空間上闊下尖，雖然其在XY平面內的投影具有一定的三角對稱性，但并不是嚴格的規則形體。在利用該機床進行加工的過程中，圖3所示的空間并不能完全得到利用，一般取其所能包容的最大球、最大圓柱或最大長方體作為常用工作空間，這三類包容體的中心點位置、幾何尺寸、體積及與機床體積(5.86m3)之比如表3所示。具體工作空間如圖4所示。

表3 三類包容體參數表

Mikron五軸加工中心UCP800是傳統串聯結構形式的機床，其五軸為X、Y、Z、A、C，具有曲面加工能力，其外圍體積約為7.73m3，由X、Y、Z三個方向的行程獲得其常用工作空間為0.26m3，與機床體積之比為3.36%。

圖4 三種規則形狀的常用工作空間

與表3對比可見，BJ－04－02(A)并聯機床的常用平動位置空間與機床體積之比僅為傳統結構形式機床的1/7～1/4。

3 姿態能力角及相應的方向余弦矩陣

式(1)中的方向余弦矩陣含有9個參數，用于描述物體的空間方向和姿態時直觀性較差，因此常用3個角度來描述物體的空間方向和姿態，如起源于航船姿態描述的“滾動、俯仰、偏航”RPY角以及廣泛應用于航海天文的“進動、章動、自旋”歐拉角等［13-14］。

3.1 姿態能力角

“進動、章動、自旋”歐拉角可描述物體的空間任意姿態，尤其適于描述陀螺的運動，但在機床控制中，由于需約束刀具平臺發生繞刀軸的自旋，因此需約束自旋角使其始終等于進動角的負值。

本文采用繞基礎坐標系XY平面內與X軸成角度ψ的軸線旋轉θ角來描述機床刀具平臺的姿態，這種姿態描述方法直觀性更強，也更簡便，如圖5所示。

圖5 刀軸偏擺示意圖

在保持刀尖點不動，利用刀具平臺的姿態能力實現刀軸偏擺時，刀軸的偏擺范圍是以基礎坐標系的Z軸為軸線的倒錐形(錐尖在下，錐底面在上)。該倒立圓錐的半錐頂角(θ角)表征了刀軸的偏擺能力。

姿態能力角:在以Z軸為軸線的360°范圍內各方向上，刀軸可達最大偏擺角的最小值。換言之，即在以Z軸為軸線的360°范圍內，刀軸向各個方向偏擺均可達的角度的最大值。

3.2 方向余弦矩陣

根據上述(ψ，θ)姿態描述方法，式(1)中的方向余弦矩陣形式如下［15］:

其中，α、β、γ 為旋轉軸線與基礎坐標系X、Y、Z軸的夾角，且α=ψ，β=π/2－ψ，γ=π/2。

4 姿態空間圖譜

對于圖3所示的位置空間內每一點，假設刀具平臺中心處于該點，在桿長、轉角、干涉約束下，計算刀具平臺的姿態能力角，并利用MATLAB繪制其在工作空間內的分布，如圖6所示。

圖6 姿態能力角分布圖

圖6中，按照位置空間內各點的Z坐標“由小到大”的順序繪制Z向各層的姿態能力角分布。

依據圖6所示的計算結果，在X、Y、Z方向分別取離散片層，可獲得各層內姿態能力角的分布情況。圖7所示分別為3個離散層(x=－100mm，y= －60mm，z= －880mm)的姿態能力角等值圖。

圖7 三個離散層上的姿態能力角等值圖

依據圖6所示的計算結果，可獲得任意給定的姿態能力角所對應的工作空間。分別取姿態能力角為 5°、15°、25°，相應的可達工作空間及其最大包容球如圖8所示。

姿態能力角分別取為 5°、10°、15°、20°、25°時，對應工作空間最大包容球、最大包容圓柱及最大包容長方體的相關參數如表4所示(機床體積為5.86m3)。

圖8 三個姿態能力角對應的工作空間

表4 5°～25°工作空間包容體參數表

與UCP800相比，5°姿態能力角對應的常用工作空間與機床體積之比約為UCP800的1/8～1/6，20°姿態能力角對應工作空間與機床體積之比約為 UCP800的1/28～1/22，25°時則僅為1/56～1/48。

5 結論

(1)該機床的工作空間呈陀螺形，上闊下尖，不是嚴格的規則體，但其在XY平面內的投影有一定的三角對稱性。

(2)參考姿態下，該機床的可達位置空間與機床體積之比約為2.30%。但對于規則形狀(球、圓柱、長方體)的位置空間，該比值僅為UCP800的1/7～1/4。5°姿態能力角對應的常用工作空間與機床體積之比僅為UCP800的1/8～1/6，20°姿態能力角時該比值僅為UCP800的1/28～1/22。

(3)在可達位置空間內，各點處姿態能力角的分布具有如下特性:在中心區域，刀具平臺的可達偏角較大，越接近邊緣區域，可達偏角越小。

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