數項級數求和方法探討

景慧麗，趙偉舟，屈 娜，劉 華

（第二炮兵工程大學 理學院，陜西 西安710025）

數項級數求和方法探討

景慧麗，趙偉舟，屈 娜，劉 華

（第二炮兵工程大學 理學院，陜西 西安710025）

為了幫助學員更熟練地掌握數項級數求和的方法，本文對數項級數求和的方法進行了探討，提出可以利用定義、利用冪級數的和函數等四種常用方法來求數項級數的和.

數項級數；求和；方法

1 利用定義

定義[1]如果級數的部分和數列{sn}有極限s，即則稱無窮級數收斂，這時極限s叫做這級數的和，并寫成

如果{sn}沒有極限，則稱級數發散.

所以

2 利用冪級數的和函數

所以收斂半徑R=2，收斂區間為(-2,2).

當x=2時，級數為，顯然該級數發散；

注2 該數項級數的和是無法用定義求的，但利用冪級數的和函數是很容易求出的.

注3 利用冪級數的和函數求數項級數的和是一種非常常用的方法，該方法的關鍵是求冪級數的和函數，當然冪級數的和函數我們可以利用定義，即來求，但這種方法我們基本不用，因為它又歸屬于求“數列的前n項和”.

注4 我們常用冪級數和函數的分析性質，即在收斂域內冪級數的和函數可以逐項微分和逐項積分來求冪級數的和函數.一般方法是把冪級數化成常見函數的冪級數，且最常用的方法是把冪級數化成等比級數.

注5 一般地如果冪級數是的形式，我們常用先逐項微分再積分的方法來求和函數，即就是把分母中的n消去，再利用等比級數求和公式；如果冪級數是的形式，則我們是先逐項積分再微分的方法來求和函數，即就是把分子中的n消去，再利用等比級數求和公式.

3 利用函數的冪級數展開式

定義[1]冪級數稱為函數f(x)在點x0處的泰勒級數.

注6 該數項級數的和是無法用定義求的，但利用函數的冪級數展開式是很容易求出的，當然該數項級數的和也可以通過構造冪級數，利用冪級數的和函數來求.

注7 利用函數的冪級數展開式求數項級數的和是一種常用的方法，該方法的關鍵是求函數的冪級數展開式，常用的求函數的冪級數的展開式的方法就是間接法.且這類題目一般是先求某個函數的冪級數展開式，然后借助該冪級數展開式再求數項級數的和.

4 利用傅里葉級數

定理[1]設周期為2l的周期函數f(x)滿足收斂定理的條件，則它的傅里葉級數展開式為

例4[2]將函數f(x)=x2在(0,π)上展為余弦級數，并求級數的和.

解 將函數f(x)進行偶延拓，則有

在x=π處，級數收斂于π2，所以

注8 對于初學者來說，利用傅里葉級數求數項級數的和是比較困難的，因為初學者很難想到可以利用哪個函數的傅里葉展開式.但是，這類題目一般是先求某個函數的傅里葉級數，然后再借助該傅里葉級數求數項級數的和，那么學員只需明確該數項級數是函數在哪一點的傅里葉級數即可.

總之，求數項級數的和是一個重點也是一個難點問題，除了上述四種方法外，還有微分方程法等其它方法，但最常用的就是利用冪級數的和函數來求，學員一定要明確可以把數項級數看成是哪個冪級數在哪一點的值.另外，學員一定靈活運用上述四種計算方法，注意不同解法的適用范圍．

〔1〕同濟大學應用數學系.高等數學(下)[M].北京：高等教育出版社,2007.249～316.

〔2〕張天德，蔣曉蕓.吉米多維奇高等數學習題精選精解[M].山東：山東科學技術出版社,2010.428.

O13

A

1673-260X（2013）10-0007-02在高等數學課程中，數項級數求和問題是一個重點也是一個難點問題，但是，眾多高等數學教材中關于求數項級數的和的方法講得比較簡略.在教學過程中發現相當一部分學員往往對求數項級數的和這一問題感到束手無策、無從下手.筆者認為對于求數項級數的和可以主要利用下列四種方法.