望目特性連續型參數穩健設計遺傳優化方法

沈 玲，曾 強，宋紅娜，吳立云

1.河南理工大學 安全科學與工程學院，河南 焦作 454000

2.河南理工大學 能源科學與工程學院，河南 焦作 454000

望目特性連續型參數穩健設計遺傳優化方法

沈 玲1，曾 強2，宋紅娜2，吳立云2

1.河南理工大學 安全科學與工程學院，河南 焦作 454000

2.河南理工大學 能源科學與工程學院，河南 焦作 454000

參數穩健設計對于提高系統輸出特性的穩定性具有重要意義。參數穩健設計的實質是通過合理確定系統輸入參數的取值使系統輸出特性達到理想值。系統輸入參數按是否可控分為可控參數和不可控參數兩種，其中，不可控參數是定值，設計者不能改變，可控參數則允許設計者進行優化決策以提高輸出特性的質量。按可控參數是否連續可分為如下三類，全部參數連續（A類）、全部參數離散（B類）、部分參數連續部分參數離散（C類）。離散型參數具有有限個水平，連續型參數則相當于具有無窮多個水平。系統輸出特性按性質可分為望目特性（a類）、望小特性（b類）和望大特性（c類）三類，其中，望目特性是指希望輸出特性值y達到或接近目標值m而波動越小越好的質量特性[1]。若按輸出特性值y的獲取方式來劃分可將系統參數穩健設計分為如下兩類：通過試驗方法獲取（I類）、直接通過理論公式計算得到（II類）[2]。望目特性參數穩健設計是指通過合理確定可控參數的取值，使輸出特性值y達到或接近目標值m且波動最小。望目特性連續型參數穩健設計是一個復雜的多目標組合優化問題，傳統的數學方法無法對其求解，有必要研究并提出有效的求解方法。本文研究A-a-II問題（可通過理論公式計算得到輸出特性值的望目特性連續型參數設計問題）的有效求解方法。

近年來，國內外學者對參數穩健設計進行了大量研究。日本統計學家田口玄一率先提出了一種基于“內表”、“外表”正交試驗的田口方法[1-2]。田口方法可實現用盡可能少的試驗找到滿意解，在國內外工程實踐中得到了廣泛的應用[3-6]。然而，隨著人類的不斷進步，對A-a-II類問題田口方法逐漸暴露其不足。首先，田口方法計算量大、計算過程繁瑣，短期內難以被工程人員掌握[7]。其次，田口方法對于望目特性參數設計試驗方案采用信噪比η作為衡量指標本身存在缺陷，因為η是 μ2與σ2的比值，不能單從η的大小來衡量試驗方案的優劣，比如 μ＞＞m，σ很小時η卻很大，即由指標η得到的最優解無法控制輸出特性的偏移量。文獻[8]針對這一缺陷提出了改進措施，將η=μ2/σ2轉換為從而既控制了輸出特性的偏移量又控制了波動量。但改進后的η未考慮最優解對應的輸出特性值y與目標值m的接近程度，需要進一步改進。再次，對可控參數進行離散化處理從而劃分水平從理論上說有可能排除了最優解，得到的解僅屬于局優解。對于第II類問題，由于其輸出特性可直接通過理論公式計算得到，因此為改進解的質量，應當采用“密集抽樣”取代“離散化處理”。密集抽樣主要有兩種措施，其一是大量增加可控參數水平數，其二是取消水平劃分，代之以隨機產生。前者屬于近似密集抽樣，隨著水平數的增多和參數數目的增多，其內表試驗次數大大增加，導致外表也大大增多，計算量巨增。后者才是真正意義上的密集抽樣，但無疑也會大大增加計算量。近年來，部分學者提出采用遺傳算法來解決參數穩健設計問題[7，9]，其基本思路是增加可控參數水平數，然后采用遺傳算法從各種組合中選優，究其本質仍是建立在對可控參數的離散化處理的基礎上，屬于近似密集抽樣。對于多目標的處理方法主要有兩種，一種是多目標單一化法，另一種是基于Pareto尋優的方法。前者通過某種轉換過程（如加權平均）將多個目標轉化為單一目標[10-11]，然后采用單目標優化方法求解。相對于基于Pareto尋優的方法來說，前者較為簡單，可直接獲得最優解以供設計者決策，故本文選用多目標單一化法。遺傳算法模擬生物進化原理，通過種群的選擇、交叉、變異等措施實現逐步迭代優化，具有較強的魯棒性、并行性和全局搜索性[12-13]，對求解大規模組合優化問題具有優勢，在工程實踐中得到廣泛的應用。本文研究的問題屬于大規模組合優化問題，可考慮采用遺傳算法求解。

基于以上分析，針對一類可通過理論計算得到輸出值的望目特性連續型參數穩健設計問題（A-a-II問題），提出了一種基于遺傳進化的望目特性連續型參數穩健設計方法：以密集抽樣取代離散化處理，以個體取代試驗方案，以變化的種群取代固定的內表，通過遺傳進化得到最優設計方案。在此基礎上，提出并設計了一種遺傳進化算法對該類問題進行求解。最后，通過案例分析驗證了本文所提方法的有效性。

1 變量定義

為便于本文的描述，定義了如表1所示的變量。

2 問題描述

若y是望目型輸出特性值，其目標值為m，E和L是影響輸出特性值y的因素取值，即 y=f(E，L)，E為可控參數取值，其中各因素為連續型量，L為不可控參數取值。設y～N(μ，σ2)（因正交試驗的參數組合具有均勻性、正交性特點，其輸出特性值y在試驗次數n較大時近似服從正態分布），其概率密度函數如圖1所示。按文獻[1]對穩健性的定義可得，穩健性參數設計的目標是合理確定E，使得式（1）、（2）在滿足式（3）、（4）的約束條件下成立。

表1 變量定義

圖1 y的概率密度圖

式（1）保證了解E，L輸出特性值y等于或接近目標值m（滿足一般優化設計的任務），式（2）保證了解E，L中各分量波動時輸出特性等于或接近目標值m（滿足穩定性設計任務），即反映了解的“抗干擾”能力。式（2）中ΔE、ΔL是變值，導致該式不確定，故直接用其作為優化目標不現實，需從另外的角度進行轉化處理。從統計學角度看，式（2）反映了解E，L輸出特性值y的統計特性，可用|u-m|、σ2來綜合衡量。如圖1所示，|μ-m|反映了E，L對應輸出特性值總體均值μ偏離目標值m的程度，σ2反映了E，L對應輸出特性值總體波動程度，只有當二者均很小時，解E，L輸出特性值y才具有很強的穩定性。基于以上分析，同時為便于后文用遺傳算法求解，將式（1）、（2）轉化為式（5）所示的單一優化目標。式（5）中，調節系數c1、c2、c3可根據三者之間的比例關系及設計者的期望（期望哪個小，則將其系數取大些，從而起到一種導向的作用）進行人工確定。

式（3）為可控參數范圍約束，式（4）為技術約束，由系統設計結果確定。顯然，這類優化問題是一復雜的組合優化問題，一般的數學方法無法對其求解，基于此，本文提出一種望目特性連續型參數穩健設計遺傳優化方法。

3 望目特性連續型參數穩健設計遺傳優化方法

基于遺傳進化的望目特性連續參數穩健設計優化方法基本技術思路如下：

首先，對可控參數取值E進行改進。取消可控參數的水平劃分（離散化處理過程），代之以密集抽樣，即 E(j)，j=1，2，…，v在B(j)～U(j)之間隨機取值。

其次，采用如下的方法實現遺傳優化。圖2代表規模為ps的種群，相當于田口方法的內表，其中每一行代表一個個體，每個個體相當于一個試驗方案，對應于一個“外表”。圖2中，每個個體i，i=1，2，…，ps，是由v個可控參數取值 Ei(1)，Ei(2)，…，Ei(j)，…，Ei(v)和w個不可控參數值L(1)，L(2)，…，L(w)組成。分別將 Ei(1)，Ei(2)，…，Ei(j)，…，Ei(v)，L(1)，L(2)，…，L(w)減去和加上對應的容差，各得3個水平：Ei(j)的1、2、3水平分別為Ei(j)-T1(j)、Ei(j)、Ei(j)+ T1(j)，同理 L(j)的1、2、3水平分別為 L(j)-T2(j)、L(j)、L(j)+T2(j)。根據v+w個因素3個水平選用合適的正交表，即所謂的“外表”，由于輸出特性值 yi，i=1，2，…，n可直接由理論公式計算得到，故容易用 excel求得yk，k=1，2，…，n及|yˉ-m|，Ve，y，|y-m|，根據式（5）可求得對應的，i=1，2，…，ps。模仿生物進化原理，讓種群中的個體進行交叉、變異，重新計算，i=1，2，…，ps，每代進化結束將最優個體保留到子代種群，并用變量將最優個體記錄下來，經過若干代進化后即得到最優個體，輸出最優解，L。

圖2 種群示意圖

最后，提出并設計相應的遺傳算法對A-a-II問題進行求解。

4 望目特性連續型參數穩健設計遺傳算法

根據A-a-II問題，提出并設計了相應的遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）。

4.1 算法流程

算法總體流程如圖3所示。圖中虛線框為保優策略，采用保優策略可使得最優個體始終保留在當前種群中。

4.2 適應度

由于式（5）是求最小化，而單目標遺傳算法適用于求解最大化問題，為使適應度不至于過小或過大，再乘以一個正系數d，從而得到適應度f如式（6）所示。

4.3 個體編碼

針對本文優化問題特點，僅對可控參數E進行編碼，為此設計了如圖4所示的實數編碼方式，其編碼長度為v，基因座1～v的基因值依次代表各可控參數的可行取值。

4.4 解碼操作

解碼操作的關鍵是確定正交試驗表，一旦正交試驗表確定，則可根據理論公式計算得到適應度。正交試驗表取決于誤差因素水平表和正交表。因是變量，L是定值，將v+w個因素分別減去和加上其對應的容差，將得到v+w個因素3個水平的誤差因素水平表，如表2所示。根據誤差因素水平表選定合適的正交表，如表3所示。正交試驗表（表4）與正交表（表3）各單元格存在一一對應關系。對于正交試驗表的某個單元格（如B3），根據正交表的對應單元格B2之值（水平號）采用excel的vlookup函數從誤差因素水平表中查出該水平號對應的參數值，依次類推。例如，表4中單元格B3的取值通過式（7）所示的vlookup函數查詢得到。然后，依次為正交試驗表中單元格M3∶M(n+2)，B1，N3∶N(n+2)，D1，F1，H1寫入相應的公式計算正交試驗表的輸出參數，其中單元格H1（1行，8列）為適應度對應的單元格。于是，通過VBA編寫解碼函數jm將個體的編碼值存入單元格B4∶()4，()代表從B列往后第v列的列號，正交試驗表自動更新且各輸出參數自動計算，通過函數名jm返回單元格H1的值作為該個體的適應度。解碼函數jm具體內容如下：

圖3 算法流程圖

表2 誤差因素水平表（工作表）

圖4 個體編碼

表3 正交表（工作表）

4.5 種群初始化

種群初始化過程如下：對每個個體i(i=1，2，…，ps)，根據可控參數 j(j=1，2，…，v)，隨機產生 B(j)～U(j)之間的實數，賦給E(j)，通過解碼操作計算其適應度f，將E賦給OP的末行前v列，將f賦給末行第v+1列。可見，采用這種方式產生的初始種群個體全部為可行個體。

表4 正交試驗表（工作表）

4 .6 遺傳操作

（1）遺傳操作流程

遺傳操作包括交叉操作和變異操作，本文設計的遺傳操作流程如圖5所示。

圖5 遺傳操作流程

（2）交叉操作

交叉操作目的是由兩個父體P1和P2進行基因段的交叉，產生兩個可行的子代個體。本算法采用兩點之間對換的交叉方式，具體的交叉操作如下：

①隨機產生0～1的實數r。

②若r≤pc則進行③～④，返回P1'，P2'，否則返回P1，P2，交叉操作結束。

③隨機產生兩個1～v的整數k1，k2并使k1≤k2。

④對換P1，P2的k1～k2之間的基因值得到P1'，P2'。

（3）變異操作

變異操作目的是隨機改變父體P某個或某些基因值，產生一個可行的子代個體。本算法采用了“一點”變異的變異方式，具體的變異操作如下：

①隨機產生0～1的實數r。

②若r≤pm則進行③～⑥，返回P'，否則直接返回P，變異操作結束。

③隨機產生一個1～v的整數k代表要變異的基因位。

④隨機產生一個B(k)～U(k)的實數s。

⑤令P(k)=s。

⑥對P重新解碼得P'。

5 案例分析

圖6 某氣動轉向裝置示意圖

表5 正交表L18(21×37)

圖7 進化過程圖

以Excel 2007及其VBA為編程工具實現了上述算法，通過案例對本文所提方法進行有效性驗證。某氣動轉向裝置的系統結構如圖6所示[1]，可控參數依次為X、D、F，不可控參數依次為P、N，系統的輸出特性值y為望目特性，其目標值m=960 mm/s，現要對該系統進行參數優化設計，使得輸出特性值y穩定性最高。正交表[1]，如表5所示，取n=18，采用本文提出的方法進行優化，得到的進化過程圖如圖7所示，最優解對應的正交試驗結果如表6所示。文獻[1]對應的最優解可見，本文得到的最優解從ˉ-m|、Ve、-m|三個指標看均明顯優于文獻[1]的最優解。再取c1=10.0，c2=1.0，c3= 10.0，其他條件不變，得到最優解E*=[ ] 52.35 25.72 0.3，對應的ˉ=959.53 mm/s，ˉ-m|=0.47 mm/s，Ve=3 360.91，y*= 960.17 mm/s，|y*-m|=0.17 mm/s，可見，由于增大了c1、c3使得最優解的ˉ-m|、|y*-m|明顯減小，但Ve較c1=1.0，c2=1.0，c3=1.0的情況有所增大，但相較于文獻[1]的最優解對應的Ve來說幾乎相等，由此可見調節系數c1、c2、c3對最優解對應的ˉ-m|、Ve、|y*-m|有一定的導向作用。另外，經研究得知，不論c1、c2、c3如何變化，最優解對應的Ve均較大，這是因為容差T1、T2偏大的原因，為了進一步減小Ve以增強穩定性，可適當將容差減小。在此，假設將容差值縮小為原來的1/2，其他條件不變，得到的最優解可見，通過縮小容差，Ve明顯減小，進一步增強了輸出特性值y的穩定性，但是必須注意到，縮小容差畢竟會在一定程度上增加成本和加工難度，決策者應當在二者之間適當權衡。

式中，y為換向體速度，目標值m=960 mm/s；X為換向行程（mm）；F為換向阻力（kgf）；N為系統重量（kg）；P為汽缸內氣壓（kgf/mm2）；g為重力加速度（9 800 mm/s2）。

表6 E*對應的正交試驗及解碼結果

6 結論

本文針對一類可通過理論計算得到輸出特性值的望目特性連續型參數穩健設計問題（A-a-II問題），提出了一種基于遺傳進化的望目特性連續型參數穩健設計方法，基于該方法，提出并設計了一種遺傳進化算法。通過本文的研究，得出以下主要結論：

（1）對可控參數的取值采用密集抽樣，從理論上能找到比田口方法中離散化處理更好的解，案例分析也驗證了這一結論。

（2）將田口方法中的信噪比η(η=μ2/σ2)用η′(η′=1/(c1× |μ-m|+c2×σ2+c3×|y-m|))更合理，后者能同時保證解E*，L輸出特性值總體對目標值m的偏移程度小、波動程度小、y對目標值m的偏移程度小，從而能達到綜合優化的目的。

（3）遺傳算法中采用一種特殊的解碼方式即借助正交試驗表和excel公式自動計算得到適應度從而實現解碼，免去了復雜的計算過程，使得計算效率高。

（4）本文方法便于為工程設計人員掌握，設計者只需根據可控參數和不可控參數個數選擇合適的正交表，并通過excel對ˉ-m|、Ve、|y-m|、f及相關參數進行設置即可通過遺傳算法快速找到最優解。

（5）本文方法適用范圍具有可擴展性，不僅適用于望目特性，而且適用于望小特性和望大特性，但需要做適當修正才能適用。對于望小特性可令m=0，對于望大特性需將y進行倒數變換并令m=0。

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SHEN Ling1,ZENG Qiang2,SONG Hongna2,WU Liyun2

1.School of Safety Science and Engineering,Henan Polytechnic University,Jiaozuo,Henan 454000,China
2.School of Energy Science and Engineering,Henan Polytechnic University,Jiaozuo,Henan 454000,China

Aiming at the problem of robust continuous parameter design in the target being best,in which the output value can be got by theoretical calculation,an optimization method based on genetic evolution is proposed.The researched problem in this paper is described.The technical idea of the optimization method based on genetic evolution for the researched problem is presented.In the proposed method,the discretization is replaced by dense sampling,the experiment scheme is replaced by individual, the fixed internal table is replaced by transformable population,and the optimal design scheme is got through genetic evolution process.The genetic algorithm for robust continuous parameter design in the target being best is presented and designed.The calculation flow,the individual coding,the individual fitness,the population initialization,decoding operation and genetic operation are described.The effectiveness of the proposed method is validated by case study.

robust parameter design;target being best;continuous parameter;optimization method;genetic algorithm

針對一類可通過理論計算得到輸出特性值的望目特性連續型參數穩健設計問題，提出了一種遺傳進化方法。描述了研究的問題；提出了望目特性連續型參數穩健設計遺傳進化方法的技術思路：以密集抽樣取代離散化處理，以個體取代試驗方案，以變化的種群取代固定的內表，通過遺傳進化得到最優設計方案。提出并設計了一種望目特性連續型參數穩健設計遺傳算法，闡述了算法的計算流程、個體編碼、適應度、種群初始化、解碼操作及遺傳操作。通過案例分析驗證了所提方法的有效性。

參數穩健設計；望目特性；連續型參數；優化方法；遺傳算法

A

C93-03；TP391

10.3778/j.issn.1002-8331.1304-0394

SHEN Ling,ZENG Qiang,SONG Hongna,et al.Optimization method based on genetic evolution for robust continuous parameter design in target being best.Computer Engineering and Applications,2013,49（23）：215-220.

國家自然科學基金（No.51104056）；河南省教育廳科學技術研究項目（No.12B120005）。

沈玲（1980—），女，講師，研究領域：可靠度工程、安全工程；曾強（1975—），男，博士，副教授，研究領域：工業工程；宋紅娜（1978—），女，講師，研究領域：工業工程；吳立云（1972—），女，副教授，研究領域：工業工程。E-mail：shenling@hpu.edu.cn

2013-04-26

2013-07-16

1002-8331（2013）23-0215-06

CNKI出版日期：2013-08-27 http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130827.1602.009.html