基于差別矩陣的雙射軟決策系統(tǒng)的約簡(jiǎn)

吉晨莉，楊 勇

西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，蘭州 730070

基于差別矩陣的雙射軟決策系統(tǒng)的約簡(jiǎn)

吉晨莉，楊 勇

西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，蘭州 730070

1 引言

為了解決經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)、環(huán)境學(xué)及社會(huì)科學(xué)等各門學(xué)科中遇到的不確定的問(wèn)題，一些數(shù)學(xué)理論和工具相繼被提出，如概率論、模糊集、粗糙集等等。1999年，俄羅斯學(xué)者M(jìn)olodtsov為更好地研究不確定現(xiàn)象，對(duì)現(xiàn)有的處理不確定性的工具進(jìn)行了深入的分析，指出這些理論和結(jié)果都有其內(nèi)在缺陷，比如可能性理論只可用于隨機(jī)且穩(wěn)定的問(wèn)題，設(shè)定隸屬度函數(shù)值是模糊集中存在的最大問(wèn)題，而且這些方法都缺少參數(shù)化工具，由此提出了軟集的概念[1]。目前，軟集作為可以克服上述困難的唯一理論得到了廣泛的應(yīng)用。Maji P K等人[2]給出詳細(xì)的軟集理論后，在文獻(xiàn)[3]中給出軟集在決策中的應(yīng)用，在文獻(xiàn)[4-5]中給出了模糊軟集的相關(guān)定義、結(jié)論和應(yīng)用。Feng F等人在文獻(xiàn)[6-7]中給出了軟粗集、粗軟集和模糊粗軟集等的相關(guān)定義。基于軟集理論，Gong K等人給出了雙射軟集和雙射軟決策系統(tǒng)的概念以及相關(guān)操作[8]。

屬性約簡(jiǎn)是粗集研究的基本問(wèn)題，同樣也是軟集理論中最為關(guān)鍵和棘手的問(wèn)題。目前已有較多關(guān)于軟集信息系統(tǒng)屬性約簡(jiǎn)的方法[9-11]。在文獻(xiàn)[8]中，Gong K等人利用依賴度不變的原則求雙射軟決策系統(tǒng)的約簡(jiǎn)，該方法比較復(fù)雜。本文將粗集理論中基于差別矩陣的屬性約簡(jiǎn)方法[12]應(yīng)用到雙射軟決策系統(tǒng)中，提出基于差別矩陣的雙射軟決策系統(tǒng)的約簡(jiǎn)方法，不僅簡(jiǎn)化了求約簡(jiǎn)的過(guò)程，又推廣了粗集理論中的約簡(jiǎn)方法。

2 基本概念

2.1 軟集基礎(chǔ)

定義1（軟集）設(shè)U是有限非空的對(duì)象集合，E是屬性集合，P(U)表示U的冪集，A?E，設(shè)F:A→P(U)是一個(gè)A到P(U)的映射，則稱(F，A)為U上的一個(gè)軟集。

定義2（軟子集）對(duì)于U上的兩個(gè)軟集 (F，A)和(G，B)，如果 B?A且 ?b∈B，G(b)?F(b)，則稱 (G，B)為(F，A)的軟子集，記作(G，B)?～(F，A)。

定義3（軟相等）對(duì)于U上的兩個(gè)軟集 (F，A)和(G，B)，如果(G，B)?～(F，A)且(G，B)?～(F，A)，則稱這兩個(gè)軟集相等，記作(F，A)=(G，B)。

定義4（軟集的交） U上的兩個(gè)軟集(F，A)和(G，B)的交集為(H，C)，其中C=A∩B，且?e∈C，H(e)=F(e)∩G(e)，記作(F，A)(G，B)=(H，C)。

定義5（軟集的并） U上的兩個(gè)軟集(F，A)和(G，B)的并集為(H，C)，其中C=A∪B，且?e∈C

定義6（軟集的與）U上的兩個(gè)軟集(F，A)和(G，B)，操作“(F，A)AND(G，B)”記作(F，A)∧(G，B)，且定義為(F，A)∧(G，B)=(H，A×B)，其中H(x，y)=F(x)∩G(y)，?(x，y)∈A×B。

2.2 雙射軟集

定義7（雙射軟集）設(shè)(F，A)是U上的一個(gè)軟集，其中F:A→P(U)是一個(gè) A到P(U)的映射，A是非空屬性集合。如果(F，A)滿足以下兩個(gè)條件：

則稱(F，A)為一個(gè)雙射軟集。

定理1如果(F，E)和(G，B)是U上的兩個(gè)雙射軟集，則(H，C)=(F，E)∧(G，B)也是U上的雙射軟集。

3 基于差別矩陣的雙射軟決策系統(tǒng)的約簡(jiǎn)

類似于粗集決策表，雙射軟決策系統(tǒng)分條件軟集和決策軟集。在文獻(xiàn)[8]中，Gong K等人利用依賴度不變的原則刪除多余的條件軟集，從而獲得雙射軟決策系統(tǒng)的一個(gè)約簡(jiǎn)。本文基于差別矩陣，得到雙射軟決策系統(tǒng)的一種更簡(jiǎn)單迅速的約簡(jiǎn)方法，且能得到該系統(tǒng)的所有約簡(jiǎn)。

3.1 差別矩陣與差別函數(shù)

定義14（軟集劃分類）如果(F，A)是U上的一個(gè)雙射軟集，則(F，A)形成一個(gè)對(duì)U的劃分，稱(F，A)中的每個(gè)元素集合為軟集劃分類。

由定義7可知，在雙射軟決策系統(tǒng)中，條件軟集形成條件劃分類，決策軟集形成決策劃分類。

定義15（差別矩陣）設(shè)BSDS=((F，E)，(G，B)，U)是一個(gè)雙射軟決策系統(tǒng)，其中(Fi，Ei)是雙射軟集，則定義矩陣：

為雙射軟決策系統(tǒng)BSDS的差別矩陣，其中p，q=1，2，…，m，

根據(jù)對(duì)稱性，Mm×m(BSDS)可表示成下三角矩陣或上三角矩陣，即

3.2 約簡(jiǎn)算法

輸入 雙射軟決策系統(tǒng)BSDS=((F，E)，(G，B)，U)

輸出 條件軟集(F，E)相對(duì)于決策軟集(G，B)的所有相對(duì)約簡(jiǎn)RED(G，B)((F，E))

步驟1計(jì)算雙射軟決策系統(tǒng) BSDS的差別矩陣Mm×m(BSDS)。

步驟2對(duì)于差別矩陣 Mm×m(BSDS)中所有取值為非空集合的元素cpq(cpq≠?∧cpq≠-)，建立相應(yīng)的析取邏輯表達(dá)式Lpq如下：

步驟3對(duì)所有析取邏輯表達(dá)式Lpq進(jìn)行合取運(yùn)算，得到一個(gè)合取范式L∧(∨)(BSDS)如下：

步驟4將合取范式 L∧(∨)(BSDS)轉(zhuǎn)換為析取范式形式，得L∨(∧)(BSDS)=∨kLk。

步驟5輸出

算法結(jié)束。

注 析取范式中的每個(gè)合取項(xiàng)Lk對(duì)應(yīng)雙射軟決策系統(tǒng)的一個(gè)相對(duì)約簡(jiǎn)。

4 實(shí)例

設(shè)U={x1，x2，…，x6}是6個(gè)商店的集合，(F，E)和(G，B)分別是U上的條件雙射軟集和決策雙射軟集，其中E= E1∪E2∪E3，E1描述銷售人員，取值為{high，med.，low}，E2描述商品質(zhì)量，取值為{good，avg.}，E3描述交通阻塞情況，取值為{no，yes}，B描述盈利情況，取值為{profit，loss}。((F，E)，(G，B)，U)構(gòu)成U上的雙射軟決策系統(tǒng)，其中(F，E)=且每個(gè)雙射軟集的映射定義如下：

首先需要求出雙射軟決策系統(tǒng)的差別矩陣M6×6。根據(jù)定義 14，先取x2∈U，對(duì)于決策軟集 (G，B)，x1∈G(profit)={x1，x3，x6}，而 x2∈G(loss)={x2，x4，x5}，故 x1，x2屬于不同的決策劃分類。對(duì)于條件軟集(F1，E1)，x1∈F1(high)= {x1，x6}，而 x2∈F1(med.)={x2，x3，x5}，x1，x2屬于不同的條件劃分類，故(F1，E1)可以用來(lái)區(qū)分x1和x2，但(F2，E2)和(F3，E3)都不能用來(lái)區(qū)分 x1和 x2。所以c21=c12={(F1，E1)}。同理可以求出其余矩陣元素。為方便起見(jiàn)，將雙射軟集(Fi，Ei)簡(jiǎn)寫為Fi，再根據(jù)對(duì)稱性，最終得到一個(gè)下三角矩陣如下：

由差別矩陣可以求出差別函數(shù)Δ如下：

5 結(jié)語(yǔ)

在決策分析的應(yīng)用中，類似于粗集屬性約簡(jiǎn)，軟集的約簡(jiǎn)也是一個(gè)重要的研究?jī)?nèi)容。選擇一個(gè)好的約簡(jiǎn)方法有利于提高決策規(guī)則的提取效率。Gong K等人在文獻(xiàn)[8]中利用依賴度不變的原則實(shí)現(xiàn)軟集的約簡(jiǎn)，計(jì)算量比較大，而本文提出的基于差別矩陣的約簡(jiǎn)算法相對(duì)比較簡(jiǎn)單，且能到雙射軟決策系統(tǒng)的所有約簡(jiǎn)。在今后的工作中，將進(jìn)一步研究雙射軟決策系統(tǒng)的約簡(jiǎn)方法。

[1]Molodtsov D.Soft set theory-first results[J].Computers and Mathematics with Applications，1999，37：19-31.

[2]Maji P K，Biswas R，Roy A R.Soft set theory[J].Computers and Mathematics with Applications，2003，45：555-562.

[3]Maji P K，Roy A R.An application of Soft sets in a decision making problem[J].Computersand Mathematicswith Applications，2002，44：1077-1083.

[4]Maji P K，Biswas R，Roy A R.Fuzzy soft sets[J].The Journal of Fuzzy Mathematics，2001，9（3）：589-602.

[5]Roy A R，Maji P K.A fuzzy soft set theoretic approach to decision making problems[J].The Journal of Fuzzy Mathematics，2007，203（3）：412-418.

[6]Feng F，Jun Y B，Zhao X Z.Soft semirings[J].Computers and Mathematics with Applications，2008，56（10）：2621-2628.

[7]Feng F，Li C X，Davvaz B，et al.Soft sets combined with fuzzy sets and rough sets：a tentative approach[J].Soft Computing，2010，14（9）：899-911.

[8]Gong K，Xiao Z，Zhang X.The bijective soft set with its operations[J].Computers and Mathematics with Applications，2010，60：2270-2278.

[9]Chen D G，Tsang E C C，Yeung D S，et al.The parametrization reduction of soft sets and its applications[J].Computers and Mathematics with Applications，2005，49：757-763.

[10]Kong Z，Cao L Q，Wang L F，et al.The normal parameter reduction algorithm[J].Computers and Mathematics with Applications，2008，56（12）：3029-3037.

[11]Ma X Q，Sulaiman N，Qin H W，et al.A new efficient normal parameter reduction algorithm of soft sets[J].Computers and Mathematics with Applications，2011，62：588-598.

[12]苗奪謙，李道國(guó).粗糙集理論、算法與應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2008：186-192.

JI Chenli,YANG Yong

College of Mathematics and Information Science,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,China

Based on the notions of bijective soft set and bijective soft decision system proposed by Gong K and so on,this article puts forward the method based on discernibility matrix to find the reductions of bijective soft decision systems.Using some natures of the discernibility matrix,this paper applies the method of finding reductions in rough set theory to the bijective soft decision system,which not only simplifies the process of finding reductions,but also generalizes the method in rough set theory. Key words：bijective soft set;bijective soft decision system;discernibility matrix;reduction

在Gong K等人給出雙射軟集和雙射軟決策系統(tǒng)概念的基礎(chǔ)上，提出基于差別矩陣的求雙射軟決策系統(tǒng)約簡(jiǎn)的方法。利用差別矩陣的一些性質(zhì)，把粗糙集理論中的約簡(jiǎn)方法應(yīng)用到雙射軟決策系統(tǒng)中，既簡(jiǎn)化了求約簡(jiǎn)的過(guò)程，又推廣了粗糙集理論中的約簡(jiǎn)方法。

雙射軟集；雙射軟決策系統(tǒng)；差別矩陣；約簡(jiǎn)

A

TP18

10.3778/j.issn.1002-8331.1202-0534

JI Chenli,YANG Yong.Reduction of bijective soft decision system based on discernibility matrix.Computer Engineering and Applications,2013,49（23）：103-105.

國(guó)家自然科學(xué)基金地區(qū)科學(xué)基金資助項(xiàng)目（No.61163036）。

吉晨莉（1988—），女，碩士研究生，主要研究領(lǐng)域?yàn)閿?shù)據(jù)挖掘與粗糙集理論；楊勇（1967—），男，博士，教授，主要研究領(lǐng)域?yàn)榇植诩碚摷捌鋺?yīng)用。E-mail：jcl_1128@163.com

2012-02-27

2012-05-08

1002-8331（2013）23-0103-03

CNKI出版日期：2012-06-21 http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20120621.1127.001.html