軸向受載高速角接觸球軸承的動態特性求解方法

于曉凱，劉凱歌 ，趙春江，孫北奇，謝鵬飛

(1．洛陽軸研科技股份有限公司，河南 洛陽 471039；2．太原科技大學，太原 030024)

高速電動機等高速旋轉機械主軸中常采用的高速角接觸球軸承承受的徑向力與軸向力相比很小，因此，軸承受力模型可以簡化為純軸向受載模型。高速角接觸球軸承的動態特性如接觸角、軸向變形量和剛度會影響高速旋轉機械的性能；因此計算不同軸向力下高速角接觸球軸承的實際接觸角、軸向變形量和軸向剛度意義重大。其計算方法通常采用Harris方法，但這種方法需要求解非常復雜的非線性方程，直接求解很困難[1]，計算精度也很難達到要求。文中將實際接觸角設定為迭代基本變量，分析高速角接觸球軸承軸向受力工況下的動態方程組，將非線性方程組的參數由原來的7個減少為2個，簡化了計算。

1 求解方程的簡化

求解角接觸球軸承的動態特性需要從接觸變形入手，建立軸承的幾何方程、變形方程、球平衡方程、套圈平衡方程，包括6Z+2(Z為球數)個方程，再建立包括離心力、陀螺力矩、接觸角等在內的輔助方程組，應用Newton-Raphson 方法求解[2]。

由于純軸向載荷下高速角接觸球軸承只發生軸向變形，基于此建立變形方程。由于軸承承受純軸向載荷時，各個球的受力情況相同，因此力平衡方程個數比較少，可對力平衡方程進行歸一化處理。

僅軸向受載時，球心和溝道曲率中心位置變化關系如圖1所示。根據承載前、后內、外溝道曲率中心距的徑向分量不變，可得變形協調方程為

圖1 球中心和溝道曲率中心位置

[(fe-0.5)Dw+δe]cosαe+[(fi-0.5)Dw+δi]cosαi=(fi+fe-1)Dwcosα0，

(1)

式中：fi，fe分別為內、外溝曲率半徑系數；Dw為球直徑，mm；δi,δe為球與內、外圈間的彈性變形量，mm，αi，αe為球與內、外圈間的實際接觸角，(°)；α0為原始接觸角，(°)。

因為陀螺力矩對實際內、外接觸角的影響很小，所以以實際內、外接觸角為迭代基本變量的求解方法中，可以忽略陀螺力矩的影響。故球所受到的載荷可以僅考慮與內、外圈間的接觸載荷以及自身的離心力，如圖2所示。

圖2 離心力作用下球的受力圖

根據球的受力關系，可知

(2)

式中：Fa為軸承受到的軸向力，N；Z為球數；Qia，Qea為球與內、外圈間接觸載荷的軸向分量。

球與內、外圈的接觸載荷為

(3)

(4)

球與內、外圈間接觸載荷的徑向分量為

(5)

(6)

由于球徑向受力平衡，則

Qir+Fc=Qer，

(7)

式中:Fc為球所受的離心力，N。

將(5)～(6)式代入(7)式，得力平衡方程為

(8)

球軸承的接觸載荷與接觸變形間的關系為

(9)

(10)

式中：Ki，Ke為球與內、外圈間的載荷-變形常數，N/mm1.5。

將(3)～(4)式分別代入(9)～(10)式，可得

(11)

(12)

將(11)和(12)式代入(1)式，可得

(13)

聯立(8)式和(13)式即得實際接觸角的求解方程組。通過求解方程組，可得高速角接觸球軸承的實際接觸角αi,αe，從而通過圖1所示的球中心和溝道曲率中心位置關系得到軸承的軸向位移量δa為

δa=[(fe-0.5)Dw+δe]sinαe+[(fi-

0.5)Dw+δi]sinαi-(fi+fe-1)·

Dwsinα0。

(14)

2 求解方程的基本變量分析

根據軸承的動態求解方程組，分析其中的基本變量[3]。離心力方程為

(15)

式中：Dpw為球組節圓直徑，mm；nm為球公轉速度,r/min。球的公轉速度nm為

(16)

根據外溝道控制理論假設

(17)

(18)

式中：內、外圈旋轉方向相反時取“-”，相同時取“+”；Ω為套圈角速度,rad/s；β為球姿態角,(°)；γ為幾何參數。

接觸變形常數K為

K=2.15×105(∑ρ)-1/2nδ-3/2，

(19)

式中：nδ為接觸變形系數，可以根據主曲率差函數F(ρ)查表求得；∑ρ為主曲率和函數，mm-1。

根據(15)～(19)式，依次尋找離心力、接觸載荷變形常數與內、外接觸角的關系，如圖3所示，圖中箭頭左邊是箭頭右邊的函數。

圖3 變量傳遞關系

3 求解步驟及算例

純軸向載荷下高速角接觸球軸承上述方程組的求解流程如圖4所示。求解過程中，采用全局收斂算法(Broyden算法)。

圖4 計算流程圖

利用文中給出的計算方法對7218B角接觸球軸承在給定的受力和轉速情況下進行編程計算，得到表1所示的計算結果。7218B角接觸球軸承的幾何參數為Dw=22.23 mm,Dpw=125.26 mm，fi=fe=0.523 2，Z=16,α0=40°。由表1可知，采用文中的方法與Harris的方法得到的結果相差不大，充分說明了基于接觸角迭代方法求解純軸向受力的高速角接觸球軸承動態特性的可行性[3]。

表1 不同工況下的計算結果

4 結束語

依據純軸向受力的高速角接觸球軸承的特點，建立了軸承的變形協調方程和力平衡方程，基于實際接觸角對方程組進行迭代求解，求解結果與Harris方法的計算結果比較吻合，說明了該計算方法的有效性，同時，新計算方法中求解參數比Harris方法減少了一半，計算量較小。