Haar小波濾波器序列只有兩個(gè)非零項(xiàng)的論證

羅瑞評(píng)，張洪順，陳勇，袁譽(yù)紅

重慶通信學(xué)院 電磁頻譜管理教研室，重慶 400035

Haar小波濾波器序列只有兩個(gè)非零項(xiàng)的論證

羅瑞評(píng)，張洪順，陳勇，袁譽(yù)紅

重慶通信學(xué)院 電磁頻譜管理教研室，重慶 400035

1 引言

小波是繼傅里葉分析之后時(shí)頻分析技術(shù)的一個(gè)重大突破，近幾十年來(lái)，小波迅速發(fā)展并已成為圖像處理和語(yǔ)音分析等眾多領(lǐng)域的一種強(qiáng)有力的時(shí)頻分析工具。目前，Haar小波是唯一嚴(yán)格反對(duì)稱的實(shí)緊支撐正交小波基[1-2]，因其易于理解，計(jì)算速率快，具有較好的時(shí)（空）分辨率等優(yōu)異特性，特別是在人臉識(shí)別、特征匹配搜索等領(lǐng)域應(yīng)用更為廣泛[3-4]。現(xiàn)有的小波構(gòu)造均是在較特殊的情況下進(jìn)行的，從而得到的小波僅是滿足要求的小波族中的一部分[5]。然而，沒有文獻(xiàn)闡述小波函數(shù)和尺度函數(shù)（即尺度函數(shù)與低、高通濾波序列）之間是否具有相互唯一確定性。本文以多分辨分析為基礎(chǔ)，在時(shí)域?qū)aar尺度函數(shù)與Haar小波低、高通濾波序列之間的相互唯一確定性進(jìn)行了論證，得到了Haar濾波器序列只能含有兩項(xiàng)非零系數(shù)。

2 多分辨分析（Multi-Resolution Analysis）

多分辨分析是由Mallat提出的對(duì)能量有限信號(hào)空間進(jìn)行逼近的一般理論，其基本思想是在能量有限信號(hào)空間L2(R)的某個(gè)子空間中建立基底，然后通過(guò)伸縮和平移變換，把子空間的基底擴(kuò)充到L2(R)中，以達(dá)到對(duì)信號(hào)的無(wú)限逼近。

由多分辨分析的定義可知，多分辨分析{ Vj}j∈Z是L2(R)的一個(gè)閉子空間列，且滿足下面四個(gè)條件[5-6]。

（1）一致單調(diào)性：

（2）漸進(jìn)完全性：

（3）伸縮規(guī)則性：

（4）正交基存在性：存在?(t)∈V0，使得

是V0的標(biāo)準(zhǔn)正交基。其中?(t)稱為尺度函數(shù)（scaling function），Vj稱為逼近空間。

3 小波函數(shù)的構(gòu)造

在實(shí)際的信號(hào)處理中，信號(hào)f(t)一般會(huì)含有噪聲，且一般噪聲的頻率比有用信號(hào)的頻率高。將信號(hào)f(t)看做屬于某個(gè)空間Vj+1，并對(duì)其進(jìn)行正交分解，把f(t)中屬于Vj+1但不屬于Vj的部分（高頻部分）去掉，達(dá)到對(duì)f(t)去噪的目的，這就產(chǎn)生了小波的概念[7-8]。

由多分辨分析的定義不難得出：

（1）{?j，k(t)}k∈Z是Vj的標(biāo)準(zhǔn)正交基；

（2）{?j，k(t)}k∈Z，j∈Z不是L2(R)的標(biāo)準(zhǔn)正交基，也不是L2(R)的框架，這簇向量對(duì)低頻成分進(jìn)行了無(wú)窮次度量，造成大量的冗余[9-10]。

為消除冗余，把嵌套空間Vj+1進(jìn)行正交分解，即

對(duì)Vj+1的這種分解有以下優(yōu)點(diǎn)：

（2）Wj⊥Wk，j，k∈Z，j≠k；

（3）f(t)∈Wj? f(2t)∈Wj+1， j∈Z，即由W0的標(biāo)準(zhǔn)正交基可求得Wj的標(biāo)準(zhǔn)正交基。

從而，只要尋找到ψ(t)滿足：

（1）‖ψ(t)‖=1；

是W0的標(biāo)準(zhǔn)正交基；

則完成了小波函數(shù)的構(gòu)造。

由式（1）～（4），可得：

式（7）和式（8）合稱為雙尺度方程，這是正交小波構(gòu)造的核心[11]。在對(duì)數(shù)字信號(hào)的濾波中，關(guān)注的就是這兩個(gè)雙尺度方程的系數(shù)序列，即分別為低、高通濾波器的系數(shù)序列，hk稱為低通濾波器系數(shù)，gk稱為高通濾波器系數(shù)。

4 Haar小波只能含有兩項(xiàng)高通濾波系數(shù)的證明

Haar尺度函數(shù)（Haar scaling function）?(t)為：

在絕大多數(shù)研究中均提出Haar小波函數(shù)ψ(t)為式（9）時(shí)，滿足正交的要求，但沒有論證在如前所述的Haar尺度函數(shù)下，只有這種小波函數(shù)才滿足正交要求。

對(duì)比式（8）、（9），可以看出，Haar高通濾波器系數(shù)gk只有兩項(xiàng)非零數(shù)值，也就是k只取了0、1。以下將在時(shí)域證明Haar多分辨分析中的Haar小波函數(shù)，只能有兩項(xiàng)高通濾波器系數(shù)gk。

（1）嵌套空間的正交分解性[12]對(duì)Haar小波濾波系數(shù)的要求

由式（6）可得：

（2）Haar小波在同一尺度內(nèi)的正交性對(duì)濾波系數(shù)的要求

由式（5）可知，對(duì)?k，n∈z有：

滿足式（10）和式（11）的要求，所以Haar小波的高通濾波器系數(shù)gk能取2個(gè)非零值。

即，當(dāng)n=kl-k1時(shí)：

式（12）與式（11）的同一尺度內(nèi)的正交性要求相矛盾，因此Haar小波的高通濾波器系數(shù)gk不能有l(wèi)(l≥2，l∈Z)對(duì)偶奇相鄰的非零值。

綜上，Haar小波中只能含有兩項(xiàng)非零值的高通濾波器系數(shù)。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文中證明了Haar小波濾波器系數(shù)序列只能含有兩個(gè)非零項(xiàng)，即Haar尺度函數(shù)與Haar小波函數(shù)之間相互唯一確定，進(jìn)一步補(bǔ)充完善了Haar小波理論。本文的證明使得在小波應(yīng)用中不用再關(guān)注Haar小波高通濾波器系數(shù)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，而把研究的重點(diǎn)放在Haar小波的具體變換應(yīng)用中。

[1]陳勇，袁曉，羅麗芬，等.能量有限實(shí)序列對(duì)稱性度量[J].四川大學(xué)學(xué)報(bào)：工程科學(xué)版，2008，40（3）：161-168.

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[4]范小春，邱政權(quán).基于Haar小波的分級(jí)說(shuō)話人辨識(shí)[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2010，46（11）：122-124.

[5]Chui C K.An introduction to wavelets[M].New York：Academic Press，1992.

[6]Mallat S.A wavelet tour of signal processing[M].2nd ed.Beijing：China Machine Press，2003.

[7]李波，朱慶生.正交小波基的構(gòu)造及算法設(shè)計(jì)[J].重慶大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1998，21（1）：113-115.

[8]Daubechies I.Ten lectures on wavelets[M].Philadelphia：SIAM，1992．

[9]王小春，宋瑞霞.一類正交函數(shù)系的離散表示及快速變換[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2008，44（8）：40-42.

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[11]劉明才.小波分析及其應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2005.

[12]朱鐵穩(wěn)，陳少?gòu)?qiáng)，李琦，等.一種完全重構(gòu)雙正交小波基的構(gòu)造方法[J].電子與信息學(xué)報(bào)，2005，27（6）：900-903.

LUO Ruiping,ZHANG Hongshun,CHEN Yong,YUAN Yuhong

Radio Spectrum Management Staffroom,Chongqing Communication Institute,Chongqing 400035,China

Haar wavelet is widely used in such areas as image processing because of its short filter coefficients,which is one of Daubechies wavelets and is also the simplest compactly orthogonal wavelet.It is known that the existing orthogonal wavelets are constructed under certain conditions according to the theories of Daubechies wavelets construction；therefore,the uniqueness of Haar wavelet filter coefficients has been queried.There is only two nonzero values of Haar wavelet filter coefficients is proved by multi-resolution analysis theory in time domain,which is beneficial for theory consummation and application research of Wavelets.

Haar wavelet;filter coefficient;nonzero coefficient;uniqueness

Haar小波是最簡(jiǎn)單的緊支集正交小波（Daubechies小波），其濾波器序列較短，在圖像處理等諸多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。由Daubechies小波的構(gòu)造理論可知，現(xiàn)有的正交小波是在比較特殊的前提下得到的，則Haar小波的濾波器系數(shù)序列的唯一確定性受到質(zhì)疑。以多分辨分析為基礎(chǔ)，在時(shí)域?qū)aar小波濾波器系數(shù)序列的唯一性進(jìn)行了論證，即證明了Haar小波濾波器序列只有兩個(gè)非零項(xiàng)，這對(duì)促進(jìn)小波的理論完善與應(yīng)用研究具有十分重要的意義。

Haar小波；濾波器系數(shù)；非零項(xiàng)；唯一性

A

TN911.6

10.3778/j.issn.1002-8331.1111-0097

LUO Ruiping,ZHANG Hongshun,CHEN Yong,et al.Demonstration of only two nonzero coefficients of Haar wavelet filter.Computer Engineering and Applications,2013,49（13）：191-193.

國(guó)家自然科學(xué)基金（No.61002034）。

羅瑞評(píng)（1985—），女，碩士研究生，研究方向?yàn)樾盘?hào)處理，電磁頻譜管理；張洪順（1949—），男，教授，研究方向?yàn)閳D像處理，小波理論及應(yīng)用，無(wú)線電管理；陳勇（1975—），男，講師，研究方向?yàn)閳D像處理，小波理論及應(yīng)用。E-mail：lrp_hh@163.com

2011-11-10

2012-01-05

1002-8331（2013）13-0191-03

CNKI出版日期：2012-04-25http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20120425.1722.077.html