SAR圖像統計模型綜述

李永晨，劉瀏

上海交通大學 自動化系系統控制與信息處理教育部重點實驗室，上海 200240

SAR圖像統計模型綜述

李永晨，劉瀏

上海交通大學 自動化系系統控制與信息處理教育部重點實驗室，上海 200240

1 引言

合成孔徑雷達（SAR）圖像統計建模研究是對圖像信息從統計學的角度進行分析，它在SAR圖像相干斑噪聲濾波、圖像分割及分類、目標檢測與識別等處理中發揮著重要作用[1]。

SAR圖像統計分布模型的研究與成像雷達的發展緊密相關。早期的成像雷達采用真實孔徑的天線進行成像，由于天線尺寸的限制，圖像的分辨率比較低，在獲取的雷達復圖像實部與虛部分量服從高斯分布的假設下，圖像幅度服從瑞利分布，強度服從負指數分布。隨著雷達分辨率的提高，瑞利分布的應用受到了一定的限制，尤其是對于高分辨率海雜波，通過實驗數據驗證，對數正態分布[2]和韋布爾分布[3]能夠更好地實現雷達圖像統計的描述。雷達技術的發展促進了成像雷達從真實孔徑向合成孔徑方向發展，SAR的出現開創了雷達成像發展的一個新領域。SAR由于電磁波的相干作用而在獲取的圖像中出現大量的類似于噪聲的相干斑，相干斑構成了SAR圖像的基本特征，相干斑模型基礎上的SAR圖像統計建模研究形成了一類基于先驗假設的統計模型。

結合成像雷達的發展，SAR圖像統計分布模型可以分為兩大類：基于相干斑的先驗假設統計模型和基于實驗數據的經驗分布模型。基于相干斑的先驗假設統計模型從相干斑的統計特性出發，建立了相干斑幅度服從瑞利分布和強度服從負指數分布的模型[4-5]，在此基礎上多視相干斑強度服從伽馬分布，幅度服從Nakagami分布[1]。對于高分辨率SAR圖像，圖像中不僅存在著相干斑，還表現出大量的紋理特征，在相干斑和紋理信息乘積模型的框架內，形成了多種適于描述均勻與非均勻區域SAR圖像的統計分布模型，包括K-分布[1，6-9]、廣義逆高斯分布[10]、皮爾遜系統分布[11-12]。在原有相干斑統計假設的基礎上，采用廣義中心極限定理可以推出SAR圖像幅度服從拖尾瑞利分布[13]。在SAR復圖像實部與虛部服從廣義高斯分布的假設下，可以推出圖像幅度服從廣義高斯瑞利分布[14]。基于實驗數據的經驗分布模型是通過對真實SAR圖像數據統計建模實驗的驗證而獲得的模型，主要包括對數正態分布[1-2]、韋布爾分布[1，3]、Fisher分布[15]、廣義伽馬分布[16-17]模型。

2 SAR圖像統計模型

2.1 先驗假設統計模型

SAR圖像的顯著特點是圖像中存在大量的相干斑噪聲，它是由于目標散射電磁波的相干作用而在圖像中表現出的顆粒狀的噪聲模式[1]。Goodman從統計學的角度對激光斑的統計特性進行了深入的研究，建立了斑特性的統計分布模型，這些分布模型對于雷達圖像和聲納圖像中的斑噪聲同樣適用[4]。在斑噪聲統計分布模型的基礎上，形成了一類SAR圖像統計分布模型。

2.1.1 瑞利分布

在SAR復圖像相干斑噪聲實部與虛部分量服從零均值等方差的高斯分布，且相互獨立的假設下，SAR圖像幅度服從瑞利分布[1，4]：

強度服從負指數分布：

其中，σ2為實部與虛部分量高斯分布的方差。

2.1.2 伽馬分布

在單視SAR圖像強度服從負指數分布的基礎上，可以推出多視SAR圖像強度服從伽馬分布[1]：

幅度服從Nakagami分布，又稱為“平方根伽馬分布”：

其中，Γ(·)為伽馬函數[18]，L為多視視數，μ等于式（1）、（2）中方差σ2的兩倍。

2.1.3 K-分布

K-分布是在SAR圖像乘積模型框架下發展的一種復合概率分布模型[6-9]。乘積模型將SAR圖像表示為紋理分量和相干斑相乘的形式[9]：

其中，τ表示紋理分量，n表示相干斑噪聲分量。

假設紋理分量τ和相干斑噪聲n均服從于伽馬分布，可以推出SAR圖像強度統計服從K-分布，其概率密度函數如下[1]：

其中Kv-L為v-L階第二類修正的貝塞爾函數[18]，v為階次參數，μ為形狀參數，L為視數。

根據強度與幅度的關系，I=r2，可以推出SAR圖像幅度統計服從平方根K-分布[19]：

2.1.4 逆高斯分布

乘積模型為SAR圖像統計建模提供了一個框架。Frery等在乘積模型的基礎上，用廣義逆高斯分布對紋理相關的目標后向散射統計進行建模，將其與服從伽馬分布的相干斑統計相乘，形成了一類能夠描述均勻、不均勻和極不均勻區域SAR圖像統計的?模型[10]。由于?模型中包含3個未知參數α、γ、λ，參數估計非常困難。為了使?模型能夠應用，Frery等考慮了?模型的兩種特殊情形：

K(α，λ，L)即為K-分布模型，?0(α，γ，L)為目標后向散射統計服從逆高斯分布時的乘積模型，為了方便這里簡稱為“逆高斯分布”。SAR圖像幅度和強度統計逆高斯分布的概率密度函數如下[10]：

其中，α、γ為模型參數，L為視數。

文獻[10]還提到逆高斯分布特別適于對城市、森林等非均勻區域SAR圖像的統計建模，通過后面的實驗結果，也可以進一步驗證逆高斯分布的統計建模能力。

2.1.5 皮爾遜系統分布

皮爾遜系統分布是在SAR圖像乘積模型框架內的進一步發展，它通過求解皮爾遜系統的4種分布：第一類Beta分布、伽馬分布、逆伽馬分布和第二類Beta分布，對紋理相關的目標散射統計進行建模，與服從伽馬分布的相干斑統計相乘而形成的統計模型[11-12]。此時，K-分布、逆高斯分布分別對應于皮爾遜系統伽馬和逆伽馬分布基礎上的乘積模型，因此這里只給出第一類Beta分布和第二類Beta分布基礎上的SAR圖像統計模型，分別稱為W-分布和U-分布，二者的概率密度函數如下[11-12]：

雖然建立了乘積模型框架內的W-分布、U-分布模型，但是二者的模型參數估計都難于實現，從式（10）、（11）也可以直接看出。因此，在實際中很少用到以上兩種統計建模方法。

2.1.6 拖尾瑞利分布

在均勻區域SAR圖像一個分辨率單元內，當存在大量隨機散射子時，應用中心極限定理可以得出SAR復圖像實部與虛部分量服高斯分布[5]。在同樣的條件下，Kuruoglu等提出對大量同分布的散射子應用廣義中心極限定理時，其整體統計特性滿足α穩態準則[13]。由此，用α穩態分布對SAR復圖像實部和虛部分量進行統計建模，可以推出SAR幅度圖像服從拖尾瑞利分布[13]：

其中，α、γ為大于零的模型參數，J0(·)為零階第一類修正的貝塞爾函數[18]。該概率密度函數無法求出嚴格的解析式，概率密度值只能采用數字積分法進行求解。實驗表明數字積分區間選取的大小對概率密度函數有嚴重的影響，有時甚至出現概率密度函數嚴重振蕩的情況，因此這些因素導致拖尾瑞利分布在應用中受到了一定的限制。

2.1.7 廣義高斯瑞利分布

Moser等提出對SAR復圖像實部與虛部分量采用廣義高斯分布進行建模，可以推出了SAR圖像幅度統計服從廣義高斯瑞利分布[14]：

其中，θ為復圖像相位，γ為尺度參數，c為形狀參數，且有γ，c＞0。與拖尾瑞利分布相似，該概率密度函數也求不出嚴格的解析式，均值和方差不易求解，積分項只能采用數字積分法進行求解。

2.2 經驗分布模型

2.2.1 對數正態分布

在高分辨率觀測下，瑞利分布不再適于描述目標雷達散射截面積起伏引起的目標雜波統計特性的變化。通過實驗數據表明，對數正態分布可以實現高分辨條件下場景雜波統計的幅度描述[2]。同樣，對于SAR圖像統計，對數正態分布也表現出較好的統計建模能力。

對數正態分布的概率密度函數如下：

其中，μ和σ是lnr的均值和標準差。

對于強度圖像，根據強度與幅度的變換關系，當幅度服從對數正態分布時，可以推出強度也服從對數正態分布。因此，對數正態分布不僅可以對幅度圖像進行建模，還可以對強度圖像進行建模。

對數正態分布可以實現對高分辨率海雜波和陸地非均勻區域（如城市區域）SAR圖像的統計建模，特別是圖像中存在著劇烈變化的區域，可以獲得較好的統計建模精度[1]。

2.2.2 韋布爾分布

韋布爾分布最早應用于對海雜波的統計描述。在高分辨率條件下，雷達海面觀測數據不再服從瑞利分布，根據實驗數據驗證，韋布爾分布可以獲得對雜波幅度較好的統計擬合效果[3]。

韋布爾分布的概率密度函數如下[1]：

其中，b為尺度參數，c為形狀參數。

對于韋布爾分布，當c=2時，概率密度函數與瑞利分布相同；當c=1概率密度函數與負指數分布相同。因此，韋布爾分布可以對單視SAR圖像強度和幅度統計進行建模，但是對于多視SAR圖像，韋布爾分布的建模精度會顯著下降。

2.2.3 Fisher分布

對于高分辨率城市區域的SAR圖像，由于成像區域不是均勻變化的，傳統的統計分布模型不再適用于圖像的統計描述。在不考慮SAR成像機理的條件下，基于圖像強度數據經驗分布的Fisher分布可以獲得較高的圖像建模精度[15]。

Fisher分布的概率密度函數如下：

其中，L圖像視數，M＞0，μ＞0。

雖然Fisher分布只是從數學得出的概率分布模型，但它與逆高斯分布具有相似的概率密度函數形式。由于逆高斯分布對非均勻區域具有較好的建模能力，這從另一個方面解釋了Fisher分布適合于非均勻SAR圖像統計建模的原因。

2.2.4 廣義伽馬分布

在伽馬分布的基礎上，文獻[16-17]提出SAR圖像統計的廣義伽馬分布模型，通過實驗數據表明廣義伽馬分布能夠更好地實現SAR圖像的統計建模。

廣義伽馬分布的概率密度函數如下[16]：

其中，β為尺度參數，λ為形狀參數，v為能量參數。

廣義伽馬分布有3個分布參數，文獻[16]中還進一步證明了在分布參數選取為一些特定值時，瑞利分布(v=2，λ=1)、指數分布(v=1，λ=1)、對數正態分布(v=1，λ→0，or，∞)、韋布爾分布(λ=1)）和伽馬分布(v=1)都是廣義伽馬分布的特例，因此運用廣義伽馬分布對SAR圖像統計建模更具有一般性。

3 模型參數估計

參數估計是統計學研究中一類重要的問題，它是在模型參數未知的情況下，由觀測數據實現對未知參數的估計。對于概率分布模型，經典的參數估計方法有矩估計（Method of Moments，MoM）和最大似然估計（Maximum Likelihood，ML）[19-20]，但是MoM和ML對于一些復雜的分布模型無法實現參數估計。2002年Nicolas等在概率密度函數梅林變換的基礎上，提出了一種參數估計的新方法——對數累量法（Method of Logarithmic Cumulants，MoLC）[21]。Krylov等對MoLC參數估計的一致性和實現步驟進行了詳細的介紹，而且還證明了與MoM相比，MoLC具有更高的參數估計精度[22]。MoLC已經在概率分布模型的參數估計中得到應用[14-15，17]。下面對MoLC和SAR圖像統計模型參數MoLC估計的結果進行詳細的介紹。

3.1 對數累量法（MoLC）

MoLC是建立在概率密度函數梅林變換的基礎之上的。梅林變換是一種積分變換，對于隨機變量x∈(0，+∞)的概率密度函數f(x)，其梅林變換有如下形式[22]：

對上式求s=1處的i階導數，可以得到變量x的對數矩估計：

對式（18）取對數并求其在s=1處的i階導數，可以得到變量x的對數累量：

與傳統的矩與累量之間的關系一樣[20]，對于低階的對數矩li和對數累量ki有如下關系：

因此，對于N個觀測值xj，對數累量估計為：

3.2 模型參數MoLC估計

對第2章的SAR圖像統計模型，按照上文給出的模型參數估計MoLC，計算相應的對數累量表達式，如表1所示。皮爾遜系統分布和拖尾瑞利分布對數累量不能求出解析的表達式，因此在表1中沒有給出。

表1 SAR圖像統計模型參數估計

表1中，ψ(·)表示digamma函數，ψ(i，·)表示i階polygamma函數[18]；廣義高斯瑞利分布對數累量式中λ=1/c，Gi(i=0，1，2)的定義參考文獻[14]。

4 建模精度評估

圖像統計建模的精度是區分模型優劣的重要指標，在對概率分布模型建模精度評估中已經出現了很多方法，如基于統計學的皮爾遜χ2檢驗與K-S距離[19，23]，基于信息熵的K-L距離[20，24]。下面對以上3種圖像建模精度的評估準則進行詳細的介紹。

4.1 皮爾遜χ2檢驗

皮爾遜χ2檢驗是一種基于實驗觀測數據的近似檢驗，可以用于檢驗觀測數據和假設分布模型的擬合程度，檢驗統計統計量如下[19，23]：

其中，K表示n個觀測數據劃分的統計檢驗子區間的個數，qi表示假設分布模型在第i個子區間內的概率，ni表示第i個子區間中觀測數據的個數。

檢驗統計量q近似服從于χ2(K-s-1)分布，χ2的自由度不依賴于觀測數據的個數，而是取決于K和假設分布模型中未知參數個數s，表示為K-s-1，因此觀測數據服從于假設分布的概率可以表示為：

4.2 Kolmogorov-Smirnov（K-S）距離

K-S距離是建立在觀測數據基礎上的非參數統計檢驗，通過比較觀測數據經驗分布與假設分布模型累積概率分布函數之間的偏差作為評價假設分布模型與觀測數據之間的擬合精度，當二者的偏差為零時，說明觀測數據服從于假設分布模型。

對于n個觀測數據xi，設不超過x的樣本數目為nx，則x的經驗分布函數可以表示為點估計的形式[19]：

令假設分布模型的累積概率密度函數為F(x)，則K-S檢驗統計量表示為[19，23]：

q表示F(x)和F0(x)和之間的最大偏差，從幾何角度來看它表征了兩個分布之間的距離，因此統計量q可以直接作為一個距離指標來表示觀測數據與假設分布模型之間的匹配程度。

4.3 Kullback-Leibler（K-L）距離

K-L距離（或信息）表示兩個概率分布模型之間差異的信息量，也可以表述為從一個概率分布模型預測另一個概率分布模型的信息損失量。當g(x)表示已知分布模型，f(x)表示假設分布模型，由f(x)預測g(x)時的K-L距離定義如下[20，24-25]：

對于離散的隨機變量xi，K-L距離可以表示為以下形式：

其中，g(xi)和f(xi)分別表示在xi處的概率，且滿足

K-L距離具有方向性，從g→f和f→g的K-L距離是不相等的，一般在表示兩個概率分布之間的差異度時，采用對稱K-L距離的形式[24-25]：

5 實驗與分析

前面對SAR圖像統計模型、參數估計和建模精度的評估準則進行了介紹，下面結合真實的SAR圖像數據進行統計建模實驗。

SAR圖像數據主要通過機載SAR、星載SAR傳感器獲得。由于國內的機載SAR數據較少，國外的機載SAR數據一方面是獲取比較困難，另一方面是成像的時間較早，不能很好地反映當前SAR成像系統發展的水平，因此這里選取的SAR圖像都是國外近幾年發射星載SAR系統的成像數據，包括加拿大RadarSat-2（RS2）、德國TerraSAR-X（TSX）和意大利COSMO-Skymed（CSKS）的成像數據，成像時間集中在2007年—2008年之間，成像區域包括海面、海冰、農田、森林、城區、山區和熔巖7種地表類型。如圖1所示。圖像大小均為400像素×400像素。

圖1給出了低分辨率和高分辨率7種地表類型SAR圖像數據（圖1（c）海冰和圖1（l）熔巖除外），圖像類型均為幅度圖像。對以上圖像采用第2章給出的統計分布模型進行建模實驗，模型參數采用第3章介紹的MoLC進行估計，并運用第4章中介紹的皮爾遜χ2檢驗、K-S距離和K-L距離3種評估準則進行建模精度評估，實驗結果如表2、3、4所示（表3中結果都是放大10倍后的數值，因此真實的K-S距離需要乘以10-1）。

實驗有三點需要說明：一是在實驗中沒有采用拖尾瑞利分布和皮爾遜系統分布，由于拖尾瑞利分布概率密度函數沒有解析式，應用數字積分進行計算時結果不唯一，皮爾遜系統分布族中K-分布、B-分布分別與經典K-分布與逆高斯分布相同，而W-分布、U-分布參數估計不易實現；二是在文獻[15]中Fisher分布用于強度圖像的統計建模，但是Fisher分布是一種經驗分布模型，與圖像類型是不相關的，因此也可以對幅度圖像進行統計建模，通過實驗表明其對幅度圖像建模也能取得很高的建模精度；三是廣義高斯瑞利分布在圖像統計建模時存在著局限性，當SAR圖像統計的二階累量小于0.296時，廣義高斯瑞利分布無法應用[14]。

圖1 SAR圖像數據

表2 統計建模精度皮爾遜χ2檢驗（%）

表3 統計建模精度K-S距離

表4 統計建模精度K-L距離

由于各個SAR的差異性，如成像模式、工作頻段、入射角、多視處理、極化方式等，不同的SAR傳感器獲取的圖像即使對同一種地表類型也存在很大的差異，因此對統計模型建模精度評估的結果有很大的影響，如表2、3、4，同一種地表類型SAR圖像最優的統計模型也不相同。對于這種問題有兩種可能的解決辦法：一是采用同一個SAR對所有地表類型進行成像，但是實驗數據獲取的成本比較大，而且該成像數據統計建模的結果是否具有一般性也是一個值得研究的問題；二是進行SAR圖像仿真，可以低成本大量地獲取不同地表類型的SAR圖像，然而現在SAR圖像仿真技術還不是很成熟，有效的SAR圖像仿真數據還沒有獲得。

皮爾遜χ2檢驗、K-S距離和K-L距離3種評估準則是對SAR圖像統計模型從不同方面建模精度的評估，因此即使對于同一幅SAR圖像，采用不同的評估準則進行統計模型評估時，最優的統計模型可能也不相同。如對于圖1（a）海雜波SAR圖像，建模精度結果對應于表2、3、4的第1行，采用皮爾遜χ2檢驗和K-S距離進行評估時，最優的統計模型是廣義伽馬分布，而采用K-L距離進行評估時，最優的統計模型是Nakagami分布。

對于表2、3、4中的實驗結果，可以分別從統計模型和SAR圖像地表類型兩個方面進行分析。從統計模型的角度進行分析，在3種建模精度評估準則下，計算每個統計模型適宜的地表類型個數。對于圖1中不同分辨率下的7種地表類型，分別對照表2、3、4實驗結果的每一行尋找3種最優的統計模型，如表2中第1行中最優的3種統計模型為Nakagami分布、Fisher分布和廣義伽馬分布；然后分別按照皮爾遜χ2檢驗、K-S距離和K-L距離評估準則統計每個統計模型適宜的地表類型個數，從而可以得出每一種統計分布模型適宜的地表類型總數，如圖2所示。

從圖2中可以直觀看出，在3種建模精度評估準則下，逆高斯分布、Fisher分布和廣義伽馬分布適宜的SAR圖像地表類型個數均在3個或3個以上，尤其是廣義伽馬分布，與其他分布模型相比，該模型表現最好的建模能力，這也可以理解的，是由于廣義伽馬分布有3個模型參數。雖然K-分布作為一種重要的SAR圖像統計模型，但是對于SAR幅度圖像而言，平方根K-分布的建模精度沒有達到期望效果。從圖2還可以看出，瑞利分布、Nakagami分布、對數正態分布和韋布爾分布只能對一種或幾種SAR圖像地表類型表現出較好的建模效果。

從SAR圖像地表類型的角度進行分析，統計每一種地表類型的3種最優的統計模型。由于對同一幅SAR圖像，采用不同的建模精度評估準則時，最優的統計模型分布不相同，因此綜合考慮表2、3、4中3種建模精度評估的結果，可以選出圖1每一幅SAR圖像最優的3種統計分布模型，如表5（表中橫軸第2行為概率分布的英語縮寫表示，見圖2標題部分）。

圖2 分布模型適宜的SAR圖像地表類型數目

表5 SAR圖像地表類型3種最優統計模型

從表5中“√”的分布再次驗證了圖2顯示的逆高斯分布、Fisher分布和廣義伽馬分布具有更出色的SAR圖像建模能力。從表5中還可以得出以下結論：Nakagami分布適于農田區域的圖像統計建模，平方根K-分布適于森林區域，逆高斯分布適于海冰、森林、城區、山區等非均勻區域，對數正態分布適于城區，Fisher分布和廣義伽馬分布適于統計建模的區域最廣泛，包括海面、農田、森林、城市、山區等。對于不同的類型的地表區域，最優的統計分布模型不一樣，但從整體的統計建模的效果來看，基于先驗假設的逆高斯分布和基于實驗數據的Fisher分布與廣義伽馬分布具有更廣泛的SAR圖像建模適用性。

6 結論

本文對SAR圖像統計分布模型進行了總結回顧，按照統計模型的起源分為先驗假設統計模型和經驗分布模型兩大類，共11種統計分布模型；根據參數估計的MoLC實現了模型的參數估計，并給出了模型建模精度評估的皮爾遜χ2檢驗、K-S距離和K-L距離3種評估準則；最后對真實的SAR圖像數據進行建模實驗，評估了每一種模型的建模精度。通過對實驗結果的分析，不僅得出了適于不同地表類型的SAR圖像統計模型，還得出逆高斯分布、Fisher分布和廣義伽馬分布具有更廣泛的SAR圖像統計建模能力。

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LI Yongchen,LIU Liu

Key Laboratory of System Control and Information Processing of Ministry of Education,Department of Automation,Shanghai Jiaotong University,Shanghai 200240,China

This paper reviews probability distribution models in the study of statistical modeling of Synthetic Aperture Radar（SAR）imagery.According to the origin of each model,all models can be divided into two categories：the statistical models of prior assumptions and the empirical distribution models.The Method of Logarithmic Cumulants（MoLC）which is a new method for parameter estimation is introduced；furthermore,the estimated expressions of logarithmic cumulants of statistical models are computed based on the MoLC.Theevaluation criterions of modeling precision are developed and then implemented in the experiment of modeling real SAR images.Finally,the suitable terrain of SAR imagery for each statistical model is concluded from experimental results.

Synthetic Aperture Radar（SAR）imagery;probability distribution model;parameter estimation;precision evaluation

綜述了合成孔徑雷達（SAR）圖像統計建模研究中的概率分布模型，按照模型起源將所有模型分為了先驗假設統計模型和經驗分布模型兩大類。介紹了一種模型參數估計的新方法——對數累量法，并根據對數累量法計算了統計模型參數估計的對數累量表達式；發展了統計模型建模精度的評估準則，并應用到了SAR圖像數據統計建模實驗中。通過實驗結果得出了每一種統計模型適宜建模的SAR圖像地表類型。

SAR圖像；概率分布模型；參數估計；精度評估

A

TN957.51

10.3778/j.issn.1002-8331.1301-0356

LI Yongchen,LIU Liu.Review of statistical models of SAR image.Computer Engineering and Applications,2013,49（13）：180-186.

李永晨（1986—），男，碩士研究生，研究領域為SAR與極化SAR圖像處理；劉瀏（1980—），男，博士，研究領域為圖像處理與機器學習。E-mail：yclkj2010@163.com

2013-01-30

2013-03-26

1002-8331（2013）13-0180-07