效應(yīng)代數(shù)成為布爾代數(shù)的充要條件

李海洋

西安工程大學(xué) 理學(xué)院，西安 710048

效應(yīng)代數(shù)成為布爾代數(shù)的充要條件

李海洋

西安工程大學(xué) 理學(xué)院，西安 710048

1 引言

計算機硬件以驚人的速度增長，以致1965年Moore把這種增長概括為Moore律，即計算機的能力以固定的速率成長，大約每兩年增加一倍。從20世紀(jì)60年代開始Moore律在幾十年時間里都近似成立，然而，大多數(shù)觀察家預(yù)期這將在21世紀(jì)的前20年內(nèi)結(jié)束。當(dāng)電子器件越做越小時，它的功能開始受到量子效應(yīng)的干擾。

眾所周知，量子邏輯是量子計算和量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。效應(yīng)代數(shù)作為量子邏輯的數(shù)學(xué)模型由Foulis和Bennett在1994引入[1]。與此同時，Kopka和Chovanec獨立地引入了一種稱之為D-偏序集的代數(shù)結(jié)構(gòu)[2]。實際上，這兩種代數(shù)結(jié)構(gòu)是等價的。自1994年以來，文獻[3-10]分別研究了效應(yīng)代數(shù)中的sharp元、中心元、理想以及同余等代數(shù)性質(zhì)。作為這些研究的繼續(xù)，本文首先通過效應(yīng)代數(shù)的中心元引入效應(yīng)代數(shù)中的Well Inside關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上給出了一個效應(yīng)代數(shù)成為布爾代數(shù)的充要條件。

2 預(yù)備知識

本章給出一些需要的主要定義，其他的請參考文獻[11]。

定義1設(shè)E是一個含有特殊元0，1(0≠1)的集合，分別稱為零元和單位元，⊕是E上的一個部分二元運算，并滿足如下公理，其中a，b，c∈E。

（E1）（交換律）如果a⊕b有定義，則b⊕a有定義且a⊕b=b⊕a；

（E2）（結(jié)合律）如果b⊕c有定義且a⊕(b⊕c)有定義，則a⊕b有定義，(a⊕b)⊕c有定義，且a⊕(b⊕c)=(a⊕b)⊕c；

（E3）（正交補律）對任意a∈E，存在唯一b∈E使得a⊕b有定義且a⊕b=1；

（E4）（0-1律）如果1⊕a有定義，則a=0，那么稱代數(shù)系統(tǒng)(E，⊕，0，1)為效應(yīng)代數(shù)。

通常將效應(yīng)代數(shù)(E，⊕，0，1)簡記為E。設(shè)E為效應(yīng)代數(shù)，a，b∈E。若a⊕b有定義，則稱a垂直于b，并記做a⊥b。條件（E3）中唯一的b∈E稱為a的正交補，記作a′。

在E中定義a≤b，當(dāng)且僅當(dāng)存在c∈E，使得b=a⊕c。則對任意效應(yīng)代數(shù)E，容易證明（見文獻[1]）：

（3）(E,⊕,0,1)是偏序集且滿足所謂的正交模律：

若偏序集(E，⊕，0，1)還是一個格，則稱E為格序效應(yīng)代數(shù)。此外，若a，b∈E，且a⊕b和a∨b存在，則a∧b也存在且a⊕b=(a∨b)⊕(a∧b)。反之，若a⊕b和a∧b存在，則a∨b不一定存在（見文獻[7]例2.14）。

定義2（1）設(shè)E是效應(yīng)代數(shù)，子集Q?E被稱為E的子-效應(yīng)代數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)0，1∈Q，且Q對p?p′(?p∈Q)封閉，以及對任意p，q∈Q，p⊥q?p⊕q∈Q。

（2）E的子-效應(yīng)代數(shù)Q被稱為正規(guī)子-效應(yīng)代數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)對任意a，b，c∈E，若a⊕b⊕c∈E，a⊕b∈Q，且b⊕c∈Q，則b∈Q。

定義3設(shè)E是效應(yīng)代數(shù)，且a∈E，a≠0，在區(qū)間F=[0，a]={b∈E|b≤a}上定義二元關(guān)系⊕F如下：?b，c∈F，b⊕Fc有定義，當(dāng)且僅當(dāng)b⊥c且b⊕c≤a，則(F，⊕F，0，a)是效應(yīng)代數(shù)。盡管F中的偏序與E中的偏序一致（事實上，F(xiàn)中的偏序是E中的偏序在F是上的限制），但F和E中的正交關(guān)系并不相同，它們具有如下的關(guān)系：

其中，*為F中的正交補。

E中的元素p稱為主元，當(dāng)且僅當(dāng)⊥F是⊥在F=[0，a]上的限制。因此，p是主元當(dāng)且僅當(dāng)x⊥y蘊含x⊥Fy (?x，y∈F)。再或者，p是主元當(dāng)且僅當(dāng)x⊥y，x，y≤p蘊含x⊕y≤p。

定義4設(shè)E、F是效應(yīng)代數(shù)，映射f:E→F稱為效應(yīng)代數(shù)態(tài)射，如果它滿足下面的條件：

（1）f(1E)=1F；（2）若a,b∈E,a⊥b，則f(a)⊥f(b)且f(a⊕b)=f(a)⊕f(b)。若效應(yīng)代數(shù)態(tài)射f是一一映射，且f-1也是效應(yīng)代數(shù)態(tài)射，則稱f是效應(yīng)代數(shù)同構(gòu)。

易知效應(yīng)代數(shù)的笛卡爾積按照點式序仍舊構(gòu)成效應(yīng)代數(shù)。因此若c∈E，則[0，c]×[0，c′]是效應(yīng)代數(shù)，從而存在映射：

具體為φc(x，y)=x⊕y(?x∈[0，c]，y∈[0，c′])。

若φc是效應(yīng)代數(shù)同構(gòu)，則稱c為E的中心元。E中的所有的中心元組成的集合稱為E的中心，并記為C(E)。

關(guān)于效應(yīng)代數(shù)的中心元和中心，有以下結(jié)論：

引理1[4]效應(yīng)代數(shù)E中的元素c是中心元當(dāng)且僅當(dāng)下面條件成立：

（1）c和c′都是主元；

（2）對每個a∈E，有a=a1⊕a2且a1≤c，a2≤c′。

此外，可以證明（2）中的a1和a2是唯一的，并且a1=a∧c，a2=a∧c′。

引理2[8]若效應(yīng)代數(shù)E是格序的，則c∈C(E)，當(dāng)且僅當(dāng)a=(a∧c)∨(a∧c′)(?a∈E)。

引理3[4]效應(yīng)代數(shù)E的中心C(E)是E的Boolean子代數(shù)，且若c，d∈C(E)，則c，d在C(E)中的交、并與在E中的交、并一致。

引理4[4]若c∈C(E)且a∈E，則x=a∧c，y=a∧c′都在E中存在，且x∧y=0，x⊕y=x∨y=a。特別地，若c∈C(E)，a∈E則c⊥a，當(dāng)且僅當(dāng)a∧c=0。

定義5設(shè)E是效應(yīng)代數(shù)。

（1）E的子集I稱為理想，若I滿足以下條件：

（i）對任意a∈E，r∈I，a≤r?a∈I；

（ii）對任意r，s∈I，若r⊕s有定義，則r⊕s∈I。

（2）E中的理想I稱為是Riesz理想，若對任意a，b∈E，r∈I滿足r≤a⊕b，則存在ra，rb∈I使得ra≤a，rb≤b且r≤ra⊕rb。

3 效應(yīng)代數(shù)中的Well Inside關(guān)系

本章首先引入效應(yīng)代數(shù)中的Well Inside關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上給出了一個效應(yīng)代數(shù)成為布爾代數(shù)的充要條件。

定義6設(shè)E為效應(yīng)代數(shù)，a，b∈E。如果存在c∈C(E)使得a∧c=0且b∨c=1，則稱aWell Insideb，并記為a?b。

定理1設(shè)E為效應(yīng)代數(shù)，則：

（1）對任意a∈E，0?a，a?1；

（2）對任意a∈E，a?a，當(dāng)且僅當(dāng)a∈C(E)；

（3）若a?b，則a≤b；

（4）對任意a，b，c，d∈E，若a≤b?c≤d，則a?d；

（5）若a?b，c?d且，則a⊕c?b⊕d；

（6）若a?b，c?b且a⊥c，則a⊕c?b；

（7）令I(lǐng)a={x∈E|x?a}，則Ia是E的Riesz理想。

證明（1）顯然成立。

（2）設(shè)a?a，則由定義6可知，存在c∈C(E)使得a∧c=0且a∨c=1。再由引理1，a=(a∧c)⊕(a∧c′)=a∧c′，從而a≤c′，因此a⊕c有定義，所以有a⊕c≥a∨c=1，即a是c的補元，再由引理3可知a∈C(E)；反之，若a∈C(E)，取c=a′∈C(E)，則可證結(jié)論成立。

（3）若a?b，則由定義6，存在c∈C(E)使得a∧c=0且b∨c=1，從而b′∧c′=0，因此由引理4，a⊥c，b′⊥c′，所以a≤c′，c′≤b，即a≤b。

（4）由b?c可知存在x∈C(E)使得b∧x=0且c∨x=1；又a≤b，c≤d，所以a∧x≤b∧x=0且d∨x≥c∨x=1，從而a?d。

（5）若a?b，c?d，則存在x,y∈C(E)使得a∧x=0且b∨x=1，c∧y=0且d∨y=1，從而b′∧x′=0，d′∧y′=0，因此由引理4，a⊥x，b′⊥x′，c⊥y，d′⊥y′，所以a≤x′≤b，c≤y′≤d；又d⊥b，所以a⊕c，x′⊕y′有定義，且a⊕c≤x′⊕y′≤b⊕d。取z=(x′⊕y′)′，則z∈C(E)，且(a⊕c)∧z=0，(b⊕d)∨z=1，因此a⊕c?b⊕d。

（6）若a?b，c?b，則存在x，y∈C(E)使得a∧x=0且b∨x=1，c∧y=0且b∨y=1，從而b′∧x′=0，b′∧y′=0，因此由引理4，a⊥x，b′⊥x′，c⊥y，b′⊥y′，所以a≤x′≤b，c≤y′≤b；再由引理3，x′∨y′∈C(E)，則a⊕c≤x′∨y′≤b。取z=(x′∨y′)′=x∧y，則z∈C(E)，且(a⊕c)∧z=0，b∨z=1，因此a⊕c?b。

（7）由上面（4）和（6），則有Ia是E中的理想。下面證Ia是E的Riesz理想。

若e∈Ia，b，c∈E滿足b⊥c且e≤b⊕c，則存在d∈C(E)使得e∧d=0且a∨d=1，從而a′∧d′=0，因此由引理4，e⊥d，a′⊥d′，所以e≤d′≤a，從而e≤(b⊕c)∧d′=(b∧d′)⊕(c⊕d′)。又b∧d′，c∧d′∈Ia，所以Ia是E的Riesz理想。

定理2設(shè)E是完備的效應(yīng)代數(shù)，則以下各條等價：（1）E是布爾代數(shù)；

（2）對任意x∈E，Ix={y∈E|y?x}=↓x={y∈E|y≤x}；（3）對任意x∈E，x=∨Ix=∨{y∈E|y?x}。

證明（1）?（2）?（3）顯然成立。下面證（3）蘊含（1）。

[1]Foulis D J，Bennett M K.Effect algebra and unsharp quantum logics[J].Found Phys，1994，24：1331-1352.

[2]Kopka F，Chovanec F.D-posets[J].Mathematical Slovaca，1994， 44：21-34.

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[4]Greechie R，F(xiàn)oulis D，Pulmannova S.The center of an effect algebra[J].Order，1995，12：91-106.

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[12]Avallone A，Vitolo P.Congruences and ideals of effect algebras[J].Order，2003，20（1）：67-77.

LI Haiyang

School of Science,Xi’an Polytechnic University,Xi’an 710048,China

The relationship of Well Inside in effect algebra is introduced by the center elements of effect algebra,and the properties of the relationship of Well Inside are studied.Based on the relationship of Well Inside,a necessary and sufficient condition which effect algebra becomes Boole algebra has been obtained.

effect algebra;Boole algebra;relationship of Well Inside

通過效應(yīng)代數(shù)中的中心元引入效應(yīng)代數(shù)中的Well Inside關(guān)系，研究了效應(yīng)代數(shù)中的Well Inside關(guān)系的性質(zhì)；在此基礎(chǔ)上得出了效應(yīng)代數(shù)成為布爾代數(shù)的一個充要條件。

效應(yīng)代數(shù)；布爾代數(shù)；Well Inside關(guān)系

A

O153.1

10.3778/j.issn.1002-8331.1301-0271

LI Haiyang.Necessary and sufficient condition which effect algebra becomes Boole algebra.Computer Engineering and Applications,2013,49（13）：5-7.

國家自然科學(xué)基金（No.11271297）；陜西省教育廳專項基金（No.12JK853）。

李海洋（1975—），男，博士，副教授，主要研究領(lǐng)域為格上拓?fù)鋵W(xué)，量子邏輯。E-mail：fplihaiyang@126.com

2013-01-24

2013-03-19

1002-8331（2013）13-0005-03

CNKI出版日期：2013-03-29http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130329.1701.022.html