一類雙參數類四次三角Bézier曲線及其擴展

喻德生，徐迎博，曾接賢

1.南昌航空大學 數學與信息科學學院，南昌 330063

2.南昌航空大學 軟件學院，南昌 330063

一類雙參數類四次三角Bézier曲線及其擴展

喻德生1，徐迎博1，曾接賢2

1.南昌航空大學 數學與信息科學學院，南昌 330063

2.南昌航空大學 軟件學院，南昌 330063

曲線曲面的表示是計算機輔助幾何設計中的一個重要的研究課題。Bézier曲線和B樣條曲線[1]因其結構簡單、直觀而被廣泛應用于曲線造型中。但它們也有一定的局限性：（1）曲線形狀調整不方便；（2）不能精確地表示圓弧等二次曲線。雖然NURBS曲線解決了這些問題，但其求導和求積分的過程復雜，并且權因子的選擇問題至今并未解決。為了克服它們在造型方面的不足，人們對帶形狀參數的多項式曲線和三角多項式曲線進行了研究。文獻[2]用基函數sint，cost，t，1構造了C曲線，它具有許多與Bézier曲線類似的性質，還可以精確地表示圓弧和圓柱。文獻[3-5]用不同方法對Bézier曲線進行了擴展，擴展曲線保留了Bézier曲線的優良性質，具有更靈活的形狀可調性和更好的逼近性，并且參數的幾何意義明顯。文獻[6-9]分別對帶形狀參數的三角多項式曲線和雙曲多項式曲線進行了研究。該類曲線除了具有簡單的表示形式、靈活的可調性外，在一定條件下可以精確地表示某種二次曲線。文獻[10]是對文獻[8]在次數上的推廣，由帶形狀參數的類三次曲線推廣到帶形狀參數的類四次三角多項式曲線。文獻[11-15]對各類樣條曲線的性質和應用進行了研究。文獻[16]用基函數1，sint，cost，sin2t構造了可調的類三次參數曲線。該類曲線與三次Bézier曲線相比，更簡單更具表現力，可以精確表示橢圓和拋物線等曲線。文獻[17]利用一個對稱的調配函數，結合NURBS曲線中權的思想，在曲線控制頂點處引入調配參數，對一類有理樣條曲線進行了擴展，擴展曲線比原曲線描述能力更好，并且包含了原曲線的形式。

本文給出帶兩個形狀參數的類四次三角Bézier曲線及其擴展曲線的定義，得到了該類曲線及其擴展曲線的性質，給出了兩段帶兩個形狀參數的類四次三角Bézier曲線G1(C1)，G2(C2)及兩段擴展曲線G1(C1)，G2(C2)光滑拼接的充要條件，并結合實例分別說明該曲線及其擴展曲線在曲線造型，特別是在非對稱圖形的造型中的應用。

1 帶兩個形狀參數的類四次三角Bézier曲線

1.1 曲線的定義

定義1設實數λ，μ∈[-1，1]，t∈[0，π/2]，則稱關于t的三角多項式：

為帶參數λ，μ的類四次三角多項式基函數。

特別地，當λ=μ時，式（1）即為文獻[10]中的基函數。

由式（1）可知基函數具有如下性質：

（1）非負性，即bi，4(t)≥0，t∈[0，π/2]。

（3）對稱性，即bi，4(t;λ，μ)=b4-i，4(π/2-t;μ，λ)。

（4）端點性質

（5）最大值，即每個基函數在[0，π/2]上有一個最大值。b0，4(t)的最大值在t=0處，b1，4(t)的最大值在(0，π/4)內，b2，4(t)的最大值在t=π/4處，b3，4(t)的最大值在(π/4，π/2)內，b4，4(t)的最大值在t=π/2處。

圖1為當λ=0.5，μ=1時5個基函數的圖形。

圖1 基函數的圖形(λ=0.5，μ=1)

定義2給定5個控制頂點Pi∈Rd(d=2，3，i=0，1，2，3，4)。設t∈[0，π/2]，則稱：

所定義的曲線為帶兩個形狀參數的類四次三角Bézier曲線（下面簡稱推廣曲線）。

1.2 曲線的性質

（1）端點性質。由基函數的端點性質得：

即曲線具有與四次Bézier曲線完全相同的端點性質：插值于首末端點并且在首末端點處與控制多邊形相切（如圖2）。

圖2 擴展的類四次三角Bézier曲線

（2）對稱性。保持控制頂點的位置不變，只是把它們的次序完全顛倒，那么曲線在下列意義上是對稱的：

（3）幾何不變性和仿射不變性。曲線形狀僅與控制頂點有關而與坐標系的位置和方向無關，即曲線的形狀在坐標平移和旋轉后不變。

（4）凸包性。由基函數的非負性知，曲線是落在由控制頂點生成的凸包之內的。

（5）平面類四次三角Bézier曲線的變差縮減的性質。這里采用文獻[8]所提供的證法。首先證明基函數組{b0，4，b1，4，b2，4，b3，4，b4，4}在 (0，π/2)上滿足笛卡爾符號法制，即對任意一組常數序列{c0，c1，c2，c3，c4}，有：

不妨設c0＞0，SA(c0，c1，c2，c3，c4)的可能取值為 4，3，2，1，0。

①當SA(c0，c1，c2，c3，c4)=4時，則c4＞0。另一方面，假設f(t)在 (0，π/2)上有5個根，則由f(0)=c0，f(π/2)=c4且f(t)在[0，π/2]上連續，必有f(π/2)=c4＜0，這與c4＞0矛盾，故式（3）成立。

②當SA(c0，c1，c2，c3，c4)=3，2，1時，同理可證式（3）成立。

顯然SA(c0，c1，c2，c3，c4)=0時式（3）成立。故結論成立。

下面證明變差縮減性質成立。

設一直線L與控制多邊形的PkPk+1邊交于點Q，其中PkPk+1邊的法向量為v。則Pk，Pk+1分別位于直線L的兩側，即v·(Pk-Q)和v·(Pk+1-Q)符號相反。因此與L交點的個數，而B(t)與L交點個數為所以由基函數組的笛卡爾符號法則B(t)與L交點的個數 ≤SA{v· (P0-Q)，v·(P1-Q)，v·(P2-Q)，v·(P3-Q)，v·(P4-Q)}，從而結論得證。

（6）保凸性。由性質（5）知，當控制多邊形是為凸時，平面類四次三角Bézier曲線為凸曲線。

（7）形狀參數對曲線形狀的影響。給定控制頂點P0，P1，P2，P3，P4，由定義2即定義了帶有兩個形狀參數的類四次三角Bézier曲線。由基函數的定義及性質可知，則當λ(μ)固定且μ(λ)不斷增大時，曲線逐步靠近控制多邊形的P2P3(P1P2)邊；當λ和μ的值同時增大（減小）時，曲線整體的靠近控制多邊形（整體靠近線段P0P4）（如圖3）；當λ增大μ減小（λ減小μ增大）時，曲線被拉向P1P2(P2P3)邊，且拉伸的效果顯著。特別地，當λ=μ=-1時，三角多項式曲線退化為連接P0P4的線段。由此可見，與帶一個形狀參數的類四次三角Bézier曲線相比，帶兩個形狀參數的類四次Bézier曲線對曲線有更好的局部調整能力。

圖3 參數對曲線形狀影響

圖3中實線從上往下參數(λ，μ)取值依次為：(1，1)，(1，0.5)，(1，0)，(1，-0.8)；虛線從上往下參數(λ，μ)的取值依次為：(0.5，1)，(0，1)，(-0.8，1)。

1.3 曲線的拼接

本節考慮兩段推廣曲線的拼接問題，設：

分別為由控制頂點Pi，Qi(i=0，1，2，3，4)定義的帶兩個形狀參數的類四次三角 Bézier曲線，其中λ1，μ1，λ2，μ2∈[-1，1]。

定理1帶兩個形狀參數的類四次三角Bézier曲線B1(t;λ1，μ1)，B2(t;λ2，μ2)在連接點P4=Q0處達到G1光滑拼接（C1光滑拼接）的充要條件是：

其中δ1＞0(δ1=(1+μ1)/(1+λ2))。

事實上，要使兩曲線B1(t;λ1，μ1)，B2(t;λ2，μ2)在連接點P4=Q0處達到G1光滑拼接，則在連接點處有公共的切矢方向，即存在常數δ1＞0，使：

將Q0=P4代入化簡即得式（4）。

特別，當δ1=(1+μ1)/(1+λ2)時，有下式成立：

即兩曲線在連接點處有公共的切矢，因此兩曲線連接點P4=Q0處達到C1光滑拼接。

由定理1知，兩段推廣曲線C1光滑拼接僅與其中的μ1和λ2有關，與λ1，μ2無關。故調整參數λ1，μ2可以在不改變拼接曲線連續性的情況下對曲線的形狀進行微調，這是帶一個形狀參數的類四次三角Bézier曲線無法做到的，如圖4。

圖4 兩段曲線的C1拼接及形狀調整

下面給出兩段曲線G2(C2)光滑拼接的條件。記P3P4與(1-λ1)P0+(2+λ1+μ1)P2-(3+μ1)P3及P3P4與(1-μ2)Q4+ (2+λ2+μ2)Q2-(3+λ2)Q1組成的平行四邊形的面積分別為S1，S2。

定理2兩段帶兩個形狀參數的平面類四次三角Bézier曲線B1(t;λ1，μ1)，B2(t;λ2，μ2)在連接點P4=Q0處達到G2光滑拼接的充要條件是除定理1中G1光滑拼接條件外，還滿足：

其中τ=(1+λ2)δ1/(1+μ1)，且P2，Q2在公切線的同一側。

證明兩曲線B1(t;λ1，μ1)，B2(t;λ2，μ2)在連接點處要達到G2光滑拼接，首先必須達到G1光滑拼接，因此要滿足定理1中相應條件；其次在連接點處要有相等的曲率矢。由于兩曲線在公共點的曲率為：

經計算有：

根據曲線的端點性質，并將式（7）、式（8）代入式（6）化簡即得式（5）。

定理3兩段帶兩個形狀參數的平面類四次三角Bézier曲線B1(t;λ1，μ1)，B2(t;λ2，μ2)在連接點P4=Q0處達到C2光滑拼接的充要條件是除C1光滑拼接條件外，還滿足下式：

其中τ1=1-μ2，τ2=2+λ2+μ2，σ1=1-λ1，σ2=2+λ1+μ1，σ3= 6(1+μ1)，σ4=6+5μ1+λ2。

證明兩曲線B1(t;λ1，μ1)，B2(t;λ2，μ2)要在連接點處達到C2光滑拼接，首先必須達到C1光滑拼接，因此要滿足定理1中相應條件；其次要求二階導矢相等，即

將C1光滑拼接條件及式（7）、式（8）代入上式化簡即得式（9）。

1.4 曲線的應用

當μ=λ時，推廣曲線即為文獻[10]中曲線，此時曲線可以精確表示橢圓（圓）、拋物線和心臟線。下面用例子來說明在不改變控制多邊形的情況下，兩個形狀參數在曲線形狀微調上的應用。

例1圖5和圖6是用推廣曲線生成的開花瓣和閉花瓣圖形，這種功能與帶一個形狀參數的的類四次三角Bézier曲線類似。但推廣曲線不需要通過修改控制頂點，只要改變λ，μ的值就可以生成局部對稱(λ=μ)和非局部對稱(λ≠μ)的花瓣圖形（如圖7和圖8），這種功能是帶一個形狀參數的的類四次三角Bézier曲線不具備的。

圖5 曲線所生成的對稱開花瓣圖形

圖6 曲線所生成的對稱閉花瓣圖形

圖7 當λ≠μ時調整形狀參數生成的花瓣圖形

圖8 對于每段的λ和μ分別調整生成的花瓣圖形

可見，在曲線造型中使用帶兩個形狀參數的類四次三角Bézier曲線比較方便，形狀修改十分簡單，特別是在生成不對稱圖形方面具有獨特功能，而且靈活、多樣。

例2推廣曲線具有更強的靈活性和微調能力。如圖9（a）為λ=μ時，推廣曲線（即文獻[10]中的曲線）的實物花瓣造型及形狀調整，不改變控制多邊形，調整參數值得到的是一系列同心的花瓣圖形，此時實際上只有一個參數可以調整，靈活性和調整效果較弱；圖9（b）為λ≠μ時，推廣曲線的造型及形狀調整，不改變控制多邊形，可任意調整λ，μ值(λ≠μ)得到不同心的圖形，靈活性和調整效果較好。

2 擴展曲線的定義、性質及應用

2.1 擴展曲線的定義

為了引出擴展曲線的定義，首先引進一個調配函數f(t)=cos2t，以及由它產生的另外一個函數

設Pj(j=0，1，2，3，4)為帶兩個形狀參數的類四次三角Bézier曲線的五個控制頂點。記：

則稱L(t)為局部調控函數。

定義3設Pi∈Rd(d=2，3，i=0，1，2，3，4)為給定的五個控制頂點，0≤α≤1，t∈[0，π/2]，則稱：

為帶兩個形狀參數的類四次三角Bézier曲線的擴展曲線，簡稱擴展曲線。

圖9 （a） μ=λ時曲線的形狀調整

圖9 （b） μ≠λ時曲線的形狀調整

由于擴展曲線在控制頂點P1和P3處引進調配函數和參數α，因而曲線形狀的調整自由度更大，且當α≠0時，曲線與控制多邊形的首末邊相切，曲線可以插值于首末邊的任意點（如圖10）。

圖10 擴展的類四次三角Bézier曲線

注1在式（10）中，當α=1時，即為式（1）定義的帶兩個形狀參數的類四次三角Bézier曲線；當α=0時，為連接P1P3的直線。

2.2 擴展曲線的性質

（1）端點性質

（2）對稱性。保持控制頂點的位置不變，只是把它們的次序完全顛倒，那么曲線在下列意義上是對稱的：

事實上，由調配函數的定義可知：

即調配函數具有對稱性。于是：

再由帶兩個形狀參數的類四次三角Bézier曲線的對稱性，

即知式（11）成立。

下面將Q(t)寫成如下形式：

由基函數的性質可得擴展曲線Q(t)的性質：

（3）幾何不變性和仿射不變性。曲線形狀僅與控制頂點有關而與坐標系的位置和方向無關，即曲線的形狀在坐標平移和旋轉后不變。

（4）凸包性。由基函數的非負性及權性知，曲線是落在由控制頂點生成的凸包之內的。

（5）局部可調性。曲線具有良好的局部可調性。其中改變α的值可以調整曲線首末點在首末邊上的位置。而B(t)的基函數中的兩個形狀參數λ，μ和α一起，起到對曲線形狀調整的作用。

不需改變控制多邊形，改變α，λ，μ的取值就可以改變曲線的形狀。當α≠0時，其值越小曲線在首末邊的切點越接近P1，P3；其值越大曲線在首末邊的切點越接近P0，P4。因此曲線與首末邊的切點可以由α來控制、調節。如圖11（a），λ=1，μ=1，實線的α取值為0.2，“*”線α取值為0.7。

固定α值，調整λ，μ的值，擴展曲線與控制多邊形首末邊的切點不變，而曲線的形狀有所改變。如圖11（b），α=0.5，實線λ，μ的取值分別為0.2，0.8，“*”線λ，μ的取值分別為0.7，-0.2。

2.3 擴展曲線的拼接

本節討論兩段擴展曲線的拼接問題。設分別為由控制頂點Pi，Qi(i=0，1，2，3，4)定義的兩條擴展曲線，其中λi，μi∈[-1，1](i=1，2)，0≤α，β≤1。

圖11 （a） 固定λ，μ值，改變α值對曲線形狀的調整效果

圖11 （b） 固定α值，改變λ，μ值對曲線形狀的調整效果

定理4擴展曲線Q1(t)，Q2(t)達到G1(C1)光滑拼接的充要條件是：

其中ω0=α+βδ2-δ2，ω1=α+βδ2，δ2＞0(δ2=α(1+μ1)/β(1+λ2))。

證明要使擴展曲線Q1(t)，Q2(t)達到G1光滑拼接，必須滿足如下條件：

即滿足如下方程組：

解方程組即得式（13）。

特別，當δ2=α(1+μ1)/β(1+λ2)時，有下式成立：

即兩曲線在連接點處有公共的切矢，因此兩曲線達到C1光滑拼接。

如圖12是兩段擴展曲線C1光滑拼接的實例。

圖12 兩段擴展曲線的C1光滑拼接

注2當α=β=1時，δ2=δ1，即得定理1的結論。

下面給出兩段曲線G2光滑拼接的條件。記P3P4與α[(1-λ1)P0+(2+λ1+μ1)P2-(3+μ1)P3]-2(1-α)(P3-P1)及P3P4與β[(1-μ2)Q4+(2+λ2+μ2)Q2-(3+λ2)Q1]+2(1-β)(Q3-Q1)組成的平行四邊形的面積分別為

定理5擴展曲線Q1(t)，Q2(t)達到G2光滑拼接的充要條件是除定理4中G1光滑拼接條件外，還必須滿足：

其中ρ=β(1+λ2)δ2/α(1+μ1)，且P2，Q2在公切線的同一側。

證明兩曲線Q1(t;λ1，μ1)，Q2(t;λ2，μ2)在連接點處要達到G2光滑拼接，首先必須達到G1光滑拼接，因此要滿足定理4中相應條件；其次在連接點處要有相等的曲率矢。由于兩曲線在公共點的曲率為：

經計算有：

根據擴展曲線的端點性質，并將式（16）、式（17）代入式（15）化簡即得式（14）。

注3當α=β=1時，即得定理2的結論。

定理6擴展曲線Q1(t)，Q2(t)達到C2光滑拼接的充要條件是除定理4中C1光滑拼接條件外，還必須滿足：

其中κ1=β(2+λ2+μ2)，κ2=2(1-β)，κ3=β(1-μ2)，ε0=α(1-λ1)，ε1=2(1-α)，ε2=α(2+λ1+μ1)，ε3=3β(1+λ2)(1-ω1)+2(1-β)· (1-ω1)-2(1-α)-2βλ2(1-ω0)-3α(1+μ1)，ε4=2αμ1-2βλ2ω0+ 3β(1+λ2)ω1+2(1-β)ω1，且ω0，ω1，δ2與定理4中C1光滑條件的要求相同。

圖13 （a）僅修改α值得到的開花瓣

圖13 （b）同時修改α，λi，μi得到的不對稱開花瓣

證明兩曲線Q1(t;λ1，μ1)，Q2(t;λ2，μ2)要在連接點處達到C2光滑拼接，首先必須達到C1光滑拼接，因此要滿足定理4中相應條件；其次要求二階導矢相等，即

將C1光滑拼接條件及式（16）、式（17）代入上式化簡即得式（18）。

注4當α=β=1時，即得定理3的結論。

2.4 擴展曲線的應用

當α=1時，Q(t)即為帶兩個形狀參數的類四次三角Bézier曲線，所以擴展曲線具有該曲線的一切的優點。下面主要討論擴展曲線在切點修改方面的作用，如圖13所示。

由圖13可以看出，擴展曲線在不改變控制頂點的情況下，就可以在生成閉花瓣的控制多邊形中方便地生成開花瓣。同時還可以通過控制參數α，λ，μ的值來修改開花瓣與控制多邊形的切點和形狀，生成各種不對稱的圖形。造型自由靈活。

3 結束語

綜上所述，帶兩個形狀參數的類四次三角Bézier曲線不僅保留了原曲線的優良性質，而且其形狀可以通過兩個形狀參數進行調節，因此具有更好的形狀可調性和更靈活的逼近方式。該類曲線可以在不改變控制多邊形的情況下，生成各種對稱和不對稱的圖形，形狀調整簡單、靈活，微調能力強；其形狀參數幾何意義明顯：即在給定范圍內，λ，μ以不同的方式增大，曲線則以不同的方式逼近控制多邊形。該類曲線的擴展曲線不僅具有許多類似于原曲線的優良性質，還可插值于控制多邊形的首末邊上的任意點：當α=0時，擴展曲線為連接P1P3的直線；當α≠0時，擴展曲線與控制多邊形的首末邊相切，且通過調整α值可以調整切點在首末邊上的位置，因此參數α和λ，μ一起起到對曲線形狀調節的作用，曲線形狀的調節更加靈活。實例表明，該類曲線及其擴展曲線在非對稱圖形的造型中具有獨特的效果。

[1]施法中.計算機輔助幾何設計與非均勻有理B樣條[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]Zhang Jiwen.C-curves：an extension of cubic curves[J].Computer Aided Geometric Design，1996，13（3）：199-217.

[3]胡鋼，秦新強.Bézier曲線的新擴展[J].計算機工程，2008，34（12）：64-66.

[4]吳曉勤，韓旭里.三次Bézier曲線的擴展[J].工程圖形學學報，2005（6）：98-102.

[5]吳曉勤.帶形狀參數的Bézier曲線[J].中國圖象圖形學報，2006，11（2）：269-274.

[6]Han Xuli.Cubic trigonometric polynomial curves with a shap parameter[J].Computer AidedGeometricDesign，2004，21：535-548.

[7]Han Xian.The cubic trigonometric Bézier curve with two shape parameters[J].Applied Mathematics Letters，2009，22：226-231.

[8]吳曉勤，韓旭里.帶形狀參數的二次三角Bézier曲線[J].工程圖形學學報，2008（1）：82-87.

[9]陳素根，黃有度.帶多形狀參數的雙曲Bézier曲線[J].工程圖形學學報，2009（1）：75-79.

[10]楊煉，李軍成.一類帶形狀參數的類四次三角Bézier曲線[J].計算機工程與科學，2011，33（3）：77-81.

[11]劉旭敏，黃厚寬.帶形狀參數樣條曲線的研究[J].計算機研究與發展，2007，44（3）：487-496.

[12]王文濤，汪國昭.帶形狀參數的三角多項式均勻B樣條[J].計算機學報，2005，28（7）：1192-1198.

[13]王文濤，汪國昭.帶形狀參數的均勻B樣條[J].計算機輔助設計與圖形圖像學學報，2004，16（6）：783-788.

[14]左傳桂，汪國昭.具有兩個獨立形狀參數的四階均勻B樣條[J].浙江大學學報：理學版，2007，34（6）：622-632.

[15]王文濤，汪國昭.帶形狀參數的雙曲多項式均勻B樣條[J].軟件學報，2005，16（4）：625-633.

[16]李軍成，陳國華，楊篤慶.可調的類三次Bézier曲線[J].計算機工程與科學，2010，32（3）：69-71.

[17]王成偉.帶有切線多邊形的一類有理樣條的擴展曲線[J].北京服裝學院學報，2011，31（1）：5-12.

YU Desheng1,XU Yingbo1,ZENG Jiexian2

1.School of Mathematics and Information Sciences,Nanchang Hangkong University,Nanchang 330063,China
2.School of Software,Nanchang Hangkong University,Nanchang 330063,China

A class of quasi-quartic trigonometric polynomial Bézier curves with double parameters and its extension are defined. The properties of the class of the curves and its extension are obtained,and the necessary and sufficient conditions forG1(C1)，G2(C2)continuously joining with two segments of quasi-quartic trigonometric polynomial Bézier curves and two extensions are given.The applications of them are discussed.Experimental examples show that the class of the curves and its extensions have stronger abilities in curve designing,especially in designing of non-symmetry figures.

quasi-quartic trigonometric polynomial Bézier curves;shape parameter;extension;continuously joining

給出了一類雙參數的類四次三角Bézier曲線及其擴展曲線的定義，得到了該類曲線及其擴展曲線的性質，給出了兩段雙參數的類四次三角Bézier曲線G1(C1)，G2(C2)及兩段擴展曲線G1(C1)，G2(C2)光滑拼接的充要條件，并討論了這兩類曲線的應用。算例表明，該類曲線及其擴展曲線在曲線造型，特別是在非對稱圖形的造型中，具有很強的描述能力。

類四次三角Bézier曲線；形狀參數；擴展；光滑拼接

A

TP391

10.3778/j.issn.1002-8331.1112-0347

YU Desheng,XU Yingbo,ZENG Jiexian.A class of quasi-quartic trigonometric polynomial Bézier curves with double parameters and its extension.Computer Engineering and Applications,2013,49（18）：180-186.

國家自然科學基金（No.61165011）。

喻德生（1959—），男，教授，碩士生導師，研究方向：計算機輔助幾何設計；徐迎博（1986—），女，碩士研究生，研究方向：計算機輔助幾何設計；曾接賢（1958—），男，教授，主要研究方向為工程圖學、圖像處理和計算機視覺。

2011-12-19

2012-04-18

1002-8331（2013）18-0180-07

CNKI出版日期：2012-05-22 http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20120522.1108.009.html