剩余格上的模糊軟濾子

張雄偉

榆林學院 數學系，陜西 榆林 719000

剩余格上的模糊軟濾子

張雄偉

榆林學院 數學系，陜西 榆林 719000

模糊集、粗糙集、Vague集等理論，在處理不確定性問題時，都具有相同的不足之處，即參數工具理論的不充[1]。為此，在1999年，Molodtsov提出了基于參數集的軟集的概念[1]。此后，許多學者先后將軟集應用到決策分析[2-4]、模糊軟集[5-6]、區間值模糊軟集[7]、模糊軟群[8]上。本文給出了剩余格上的模糊軟濾子，然后對它們的性質進行了研究，此外，定義了剩余格上的模糊軟濾子間的模糊軟同態和模糊軟同構，給出了剩余格上的模糊軟濾子的同構像定理和同態逆像定理。

1 預備知識

下面給出一些關于模糊軟集和剩余格的有關知識。

定義1.1[5]設X是一個論域，X上的一個模糊軟集是一個偶對(f，A)（這里A?E且E是一個非空參數集），且f:A→IX是一個映射，即對于每一個e∈A，f(e)=fe:X→I是X上的模糊集合。

定義1.2[5]設X上的兩個模糊軟集(f，A)和(g，B)，(f，A)是(g，B)的模糊軟子集，是指：

（1）A?B；（2）?e∈A，fe≤ge，即fe是ge的模糊子集。記為：(f，A)?(g，B)。

定義1.3[5]設X上的兩個模糊軟集(f，A)和(g，B)，(f，A) 和(g，B)是相等的模糊軟集，是指(f，A)?(g，B)且(g，B)?(f，A)。

定義1.4[5]設X上的兩個模糊軟集(f，A)和(g，B)，(f，A) 和(g，B)的并是一個模糊軟集(h，C)，這里的C=A∪B且

記為(f，A) ∪(g，B)=(h，C)。

定義1.5[5]設X上的兩個模糊軟集(f，A)和(g，B)，(f,A)和(g,B)的交是一個模糊軟集(h，C)，這里的C=A∩B且he=fe∧ge(?e∈C)。記為(f，A)∩(g，B)=(h，C)。

定義1.6[5]設X上的兩個模糊軟集(f，A)和(g，B)，(f,A)AND(g，B)記為(f,A)∧(g,B)，具體定義為(h，A×B)，這里的h(a，b)=ha，b=fa∧gb(? (a，b)∈A×B)。

定義1.7[8]設(f，A)和(g，B)分別是X和Y上的模糊軟集，Ξ是X到Y的函數，Θ是從參數A到參數B的函數，定義(Ξ，Θ)如下：(Ξ，Θ)(f，A)=(Ξ(f)，Θ(A))，這里Ξ(f)a滿足：對于任意的a∈Θ(A)，?y∈Y：

定義 (Ξ，Θ)-1(g，B)=(Ξ-1(g)，Θ-1(B))，這里的 Ξ-1(g)e(x)=gΘ(e)(Ξ(x)) (?e∈Θ-1(B)，?x∈X)這時稱偶對(Ξ，Θ)是從X到Y上的模糊軟函數，并稱(Ξ，Θ)(f，A)是(f，A)在模糊軟函數(Ξ，Θ)下的像，(Ξ，Θ)-1(g，B)是(g，B)在模糊軟函數(Ξ，Θ)下的原像。

設{(fk，Ak)|k∈K，Ak?E}是X上的一族非空模糊軟集合，即，對于每一個e∈Ak，fk(e)=fke:X→I是X上的模糊集，記做(f，A)k=(fk，Ak)(?k∈K)。

定義1.8[9]設(f，A)k是X上的一族非空模糊軟集合，定義并∪k∈K(f，A)k和交∩k∈K(f，A)k是X的兩個模糊軟集合(h，C)和(g，B)如下：

定義1.9[10-15]一個剩余格是一個（2，2，2，2，0，0）型代數L=(L，∧，∨，?，→，0，1)，滿足：（1）(L，∧，∨，0，1)是一個有界格，并分別以0，1為最小元和最大元；（2）(L，?，1)是一個交換幺半群，且運算?保序；（3）a?b≤c當且僅當a≤b→c(?a，b，c∈L)。

性質1.10[10-15]設L是一個剩余格，則

(R1)a?b≤a∧b

(R2)a→(b∧c)=(a→b)∧(a→c)

(R3)(a∨b)→c=(a→c)∧(b→c)

(R4)a?(b∨c)=(a?b)∨(a?c)

(R5)b→c≤(a→b)→(a→c)

(R6)a=1→a

(R7)a≤b當且僅當a→b=1

(R8)a≤b→c當且僅當b≤a→c

(R9)a→(b→c)=b→(a→c)=(a?b)→c

(R10)a→b≤(a?c)→(b?c)

(R11)a→b≥b

(R12)b≥a?(a→b)

(R13)b≤a→(a?b)

(R14)a→(a?b)≤a→b

(R15)a≤(a→b)→b

(R16)(a→b)?(b→c)≤a→c

定義1.11[10-15]剩余格上L的非空子集F稱為一個濾子，如果（F1）F是一個上集，即若x≤y，則x∈F蘊含y∈F；（F2）F對?關閉，即若x，y∈F，則x?y∈F。

命題1.12[10-15]設F是L的非空子集。則下面三條等價：

（1）F是一個濾子；

（2）1∈F且?x，y∈L，x，x→y∈F蘊含y∈F；

（3）F對?關閉且?x∈F，y∈L，有x∨y∈F。

2 剩余格上的模糊軟濾子

定義2.1設L是一個剩余格，(f，A)是L上的一個模糊軟集合，如果滿足?x，y∈L，e∈A，（1）fe(1)=1；（2）fe(y)≥fe(x)∧fe(x→y)。則稱(f，A)是L上的一個模糊軟濾子，即每一個e∈A，fe是L上的模糊濾子（文獻[10]意義下的）。L上所有模糊軟濾子的全體記為：FSF(L)，顯然(FSF(L),?)是偏序集。

例2.2設L={0，a，b，1}，0≤a≤b≤1，?是所有自然數集的集合，定義?和→如下（圖1）：可以驗證L是一個剩余格，定義f:?→IX如下：fn(x)=1(?n∈?)，則偶對(f,?)是X上的一個模糊軟集，顯然(f，?)是L上的一個模糊軟濾子。

圖1 剩余格上的兩種運算?和→

定理2.3設(f，A)和(g，B)是L上的兩個模糊軟濾子，則(f，A)∩(g，B)是L上的一個模糊軟濾子。

證明設(f，A)∩(g，B)=(h，C)，這里的C=A∩B且he=fe∧ge(?e∈C)，

（1）?x∈L，he(1)=(fe∧ge)(1)=fe(1)∧ge(1)=1

（2）?x，y∈L，he(y)=(fe∧ge)(y)=fe(y)∧ge(y)≥fe(x)∧fe(x→y)∧ge(x)∧ge(x→y)=he(x)∧he(x→y)

所以(f，A) ∩(g，B)是L上的一個模糊軟理想。

定理2.4設(f，A)和(g，B)是L上的兩個模糊軟濾子，則(f，A)AND(g，B)是L上的一個模糊軟濾子。

證明設(f,A)AND(g，B)=(h,A×B)，這里的h(a,b)=ha，b=fa∧gb(? (a，b)∈A×B)。對每一個(a，b)∈A×B，由于(f，A)和(g，B)是L上的兩個模糊軟濾子，有：

（1）?x∈L，ha，b(1)=(fa∧gb)(1)=fa(1)∧gb(1)=1

（2）?x,y∈L，ha,b(y)=(fa∧gb)(y)=fa(y)∧gb(y)≥fa(x)∧fa(x→y)∧gb(x)∧gb(x→y)=ha，b(x)∧ha，b(x→y)

所以(f，A)AND(g，B)是L上的一個模糊軟濾子。

定理2.5設(f，A)和(g，B)是L上的兩個模糊軟濾子，則(f，A)∪(g，B)是L上的一個模糊軟濾子。

證明設(f，A)∪(g，B)=(h，C)，若e∈A-B，則he=fe，由定義2.1知(f，A)是L上的模糊濾子；若e∈B-A，則he=ge，由定義2.1知(g，B)是L上的模糊濾子；若e∈A∩B，則he=fe∨ge，有：

（1）?x∈L，he(1)=(fe∨ge)(1)=fe(1)∨ge(1)=1

（2）?x,y∈L,he(y)=(fe∨ge)(y)=fe(y)∨ge(y)=max{fe(y)，ge(y)}，不失一般性，設fe(y)≤ge(y)，則he=ge，所以he(y)=ge(y)≥ge(x)∧ge(x→y)=he(x)∧he(x→y)，因此(f,A)∪(g,B)是L上的一個模糊軟濾子。

類似定理2.3和定理2.5，可以證明的定理：

3 剩余格上的模糊軟濾子間的同態

定義3.1設(Ξ，Θ)是從剩余格X到剩余格Y上的模糊軟函數，若Ξ滿足Ξ(x→y)=Ξ(x)→Ξ(y)，(?x，y∈X)，則稱(Ξ，Θ)是剩余格X到剩余格Y上的模糊軟濾子間的同態；若(Ξ，Θ)是剩余格X到剩余格Y上的模糊軟濾子間的同態，Ξ是從X到Y的一一映射且Θ是從A到B的一一映射，則稱(Ξ，Θ)是剩余格X到剩余格Y上的模糊軟濾子間的同構。

定理3.2設(g，B)是剩余格Y上的模糊軟濾子，(Ξ，Θ)是剩余格X到剩余格Y上的模糊軟濾子間的同態，則(Ξ，Θ)-1(g，B)是剩余格Y上的模糊軟濾子。

證明注意到(Ξ，Θ)-1(g，B)=(Ξ-1(g)，Θ-1(B))，所以對于任意的e∈Θ-1(B)，有：

所以(Ξ，Θ)-1(g，B)是剩余格Y上的模糊軟濾子。

定理3.3設(f，A)是剩余格X上的模糊軟濾子，(Ξ，Θ)是剩余格X到剩余格Y上的模糊軟濾子間的同構，則(Ξ，Θ)(f，A)是剩余格Y上的模糊軟濾子。

證明注意到(Ξ，Θ)(f，A)=(Ξ(f)，Θ(A))，設a∈Θ(A)且y，x∈Y，由于(Ξ,Θ)是剩余格X到剩余格Y上的模糊軟濾子間的同構，則存在唯一的y1，x1∈X使得Ξ(y1)=y，Ξ(x1)=x，和唯一的e∈A使得Θ(e)=a，這時有，因此Ξ(f)a(1)=1，同時也有：

因此(Ξ，Θ)(f，A)是剩余格Y上的模糊軟濾子。

問題3.4定理3.3中如果只要求(Ξ，Θ)是剩余格X到剩余格Y上的模糊軟濾子間的同態，那么(Ξ，Θ)(f，A)是剩余格Y上的模糊軟濾子嗎？

4 結束語

關于軟集理論的研究與應用受到了眾多學者越來越多的關注。本文提出了剩余格上的模糊軟濾子的概念，并研究了它的一些性質，根據文獻的結果，也可以定義剩余格上的模糊軟理想和模糊軟同余，研究其性質，由于方法類似不再這里贅述。

[1]Molodtsov D.Soft set theory—first results[J].Computers and Mathematics with Applications，1999，37（4/5）：19-31.

[2]Maji P K，Biswas R，Roy A R.Soft set theory[J].Computers and Mathematics with Applications，2003，45（4/5）：555-562.

[3]Feng feng，Jun Y B，Liu Xiaoyan，et al.An adjustable approach to fuzzy soft set based decision making[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2010，234（1）：10-20.

[4]Kong Z，Gao Liqun，Wang Lifu.Comment on“A fuzzy soft set theoretic approach to decision making problems”[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2009，223（2）：540-542.

[5]Maji P K，Biswas R，Roy A R.Fuzzy soft sets[J].Journal of Fuzzy Mathematics，2001，9（3）：589-602.

[6]Majumdar P，Samanta S K.Generalised fuzzy soft sets[J]. Computers&Mathematics with Applications，2010，59（4）：1425-1432.

[7]Yang Xibei.Combination of interval valued fuzzy set and soft set[J].Computers and Mathematics with Applications，2009，58（3）：521-527.

[8]Aygu¨nog?luA，Aygu¨n H.Introduction to fuzzy soft groups[J]. Computers&Mathematics with Applications，2009，58（6）：1279-1286.

[9]Tanay B，Kandemir M B.Topological structure of fuzzy soft sets[J].Computers and Mathematics with Applications，2011，61：2952-2957.

[10]H?hle U.Commutative residuated monoid[M]//H?hle U，Klement E P.Non-classical Logics and Their Applications to Fuzzy Subsets.Dordrecht：Kluwer Academic Publishers，1995：53-106.

[11]Ward M，Dilworth R P.Residuated lattices[J].Trans on Amer Math Soc，1939，45：335-354.

[12]Hájek P.Mathematics of fuzzy logic[M].Dordrecht：Kluwer Academic Publishers，1998.

[13]Zhu Y Q，Xu Y.On filter theory of residuated lattices[J].Information Science，2010，180：3614-3632.

[14]劉春輝，徐羅山.關于剩余格的理想[J].山東大學學報：理學版，2010，45（4）：66-71.

[15]裴道武.剩余格與正則剩余格的特征定理[J].數學學報，2002，45（2）：271-278.

ZHANG Xiongwei

Department of Mathematics,Yulin University,Yulin,Shaanxi 719000,China

Molodtsov introduces the concept of soft set theory which can be used as generic mathematical tool for dealing with uncertainty.The notions of a fuzzy soft filters in residuated lattices are given.Some of their properties are studied.Furthermore, definitions of fuzzy soft homomorphism and fuzzy soft isomomorphism of fuzzy soft ideals in residuated lattices are defined and the theorems of isomomorphic image and homomorphic pre-image of fuzzy soft ideals in residuated lattices are given.

fuzzy set;fuzzy soft set;residuated lattices;fuzzy soft filters

Molodtsov引入的軟集理論，可作為通用的數學工具去處理不確定性問題。給出了剩余格上的模糊軟濾子，對它們的性質進行了研究，此外，定義了剩余格上的模糊軟濾子間的模糊軟同態和模糊軟同構，給出了剩余格上的模糊軟濾子的同構像定理和同態逆像定理。

模糊集；模糊軟集；剩余格；模糊軟理想

A

TP18

10.3778/j.issn.1002-8331.1304-0380

ZHANG Xiongwei.Fuzzy soft ideals on residuated lattices.Computer Engineering and Applications,2013,49（18）：45-47.

國家自然科學基金（No.11071151）；陜西省教育廳科學研究計劃項目（No.12Jk0890）。

張雄偉（1979—），男，碩士，主要從事格上拓撲學的研究。E-mail：zhangxw1019@163.com

2013-04-26

2013-05-30

1002-8331（2013）18-0045-03