模糊動態聯盟收益分配改進算法

張艷菊，趙寶福

遼寧工程技術大學 工商管理學院，遼寧 葫蘆島 125105

模糊動態聯盟收益分配改進算法

張艷菊，趙寶福

遼寧工程技術大學 工商管理學院，遼寧 葫蘆島 125105

考慮到實際生活中動態聯盟收益具有模糊性，則聯盟的收益分配問題實質是模糊合作博弈解的求解問題。

對模糊合作博弈的研究主要集中在兩方面：（1）僅參與度模糊的模糊合作博弈（也稱為聯盟模糊的模糊合作博弈）。Aubin[1-3]提出了局中人可以用[0，1]之間的模糊數表示參與度參加某個或某幾個聯盟，繼而正式提出了模糊合作博弈的概念；Butnariu[4-7]對模糊Shapley值給出了定義，但是該定義未能很好地滿足現實的應用需求。Tsurumi[8]在前人研究的基礎上構造了一個具有Choquet積分的模糊Shapley值，該構造既單調非減又連續。逄金輝[9]等考慮了局中人的聯盟隸屬度的動態變化，將隸屬度表示為介于[0，l]區間的三角模糊數，該研究回避了模糊被測函數下的Choquet積分計算過程中一個重要的問題，即不同置信水平下模糊隸屬度截集的排序問題。（2）僅具有模糊支付的模糊合作博弈。主要成果：Mares[10-12]指出帶有模糊支付的合作博弈也是模糊合作博弈的一種形式。按照傳統的Shapley值定義了模糊Shapley值。但是，他定義的模糊Shapley值無法滿足Shapley提出的三條公理。Arts[13]等1997年從集合論的角度，研究了合作博弈的Shapley值，使模糊Shapley值得到了拓展和延伸。孟凡永，張強[14]定義了模糊支付下具有Choquet積分形式的模糊合作博弈，提出了該模糊合作博弈下具有Choquet形式的Shapley值。該研究本質上是帶模糊支付的合作博弈。于曉輝，張強[15]拓展了傳統Shapley函數滿足的三條公理，提出了聯盟支付為區間數的Shapley函數形式。該研究為本文的研究起到一定的啟發作用。

在模糊環境下研究動態聯盟收益分配問題，將動態聯盟的預期收益視為模糊數，采用模糊合作博弈來研究該問題非常必要。這就對模糊合作博弈提出了更高的要求。由于以往基于擴張原理的模糊數的運算存在遍歷性，模糊Shapley值的隸屬函數表達非常復雜，以上研究方法未能準確地描述出模糊合作博弈的Shapley值的隸屬函數及給出合理的動態聯盟收益分配方案。本文應用模糊結構元理論[16-20]，改進模糊Shapley值的算法，使模糊Shapley值的隸屬函數得到解析表達。采用新算法來研究動態聯盟收益分配問題，與其他研究方法相比，該算法體現決策者行為偏好對收益分配的影響，更加準確、易操作、易推廣。具有良好的理論價值和應用價值。

1 傳統合作博弈的Shapley值

合作博弈是局中人在競爭中為取得自己的最大利益而進行決策分析的模型。在合作博弈的過程中，局中人需要考慮如何結成聯盟及如何分配合作所取得的收益。

二元組(I，v)稱為局中人集合I={1，2，…，n} 上的合作對策，如果v是I的所有子集形成的集合2I上的映射，即v:2I→R滿足：

（1）v(Φ)=0；

（2）對于K，L?I且K∩L=Φ，則有v(K∪L)≥v(K)+v(L)。

映射v稱為支付函數，I的任意子集K稱為聯盟。從測度論的觀點看，v是集合2I上的一個超可加集函數。

合作博弈有多個解的定義，Shapley值是其中之一，也是最常用的一種解概念。1953年，Shapley提出了一種求解多人合作博弈問題的公理化方法[21-22]，其提出了三個人們普遍接受的公理。

公理1（對稱性）如果局中人i，j∈I，對于任意的聯盟K?I{i，j}總有v(K∪{i})=v(K∪{j})，那么φi(v)=φj(v)。

公理3（可加性）對于任意兩個合作對策(I,v1)和(I,v2)，如果存在一個合作對策(I，v1+v2)，對于任意的聯盟K?I總有(v1+v2)×(K)=v1(K)+v2(K)，則φi(v1+v2)=φi(v1)+φi(v2)，i∈I。

然后，求出唯一滿足這三個公理的各局中人的支付值φi(v)→R，

其中，k為聯盟K中的人數，n為局中人的個數。φ(v)= (φi(v))i∈I為Shapley值向量，簡稱Shapley值，它是支付函數v的單調非減函數，在滿足超可加性的合作博弈中表示某一確定的分配。

2 模糊數的模糊結構元表示

設E為實數域R上的模糊集，隸屬函數記為E(x)，x∈R。如果E(x)滿足下述性質：（1）E(0)=1；（2）在區間[-1，0)上E(x)是單增右連續函數，在區間(0，1]上是單降左連續函數；（3）當x＜-1或者x＞1時，E(x)=0，則稱E為R上的模糊結構元。

若模糊結構元E滿足：（1）?x∈(-1，1)，E(x)＞0；（2）E(x)連續，且在[-1，0)上嚴格單增，在(0，1]上嚴格單降，則稱E為正則的；若E(-x)=E(x)，稱E為對稱的。

定理1[19]設E是R上的任意模糊結構元，具有隸屬函數E(x)，f(x)是[-1，1]上單調有界函數，則f(E)是R上有界閉模糊數。反之，對于給定的正則模糊結構元E和任意的有界閉模糊數，總存在一個[-1，1]上的單調有界函數f，使得，稱模糊數是由模糊結構元E生成的。

定理2[19]若模糊數，則的隸屬函數為E(f-1(x))，這里f-1(x)是f(x)關于變量x和y的輪換對稱函數（若f(x)是連續嚴格單調的，則f-1(x)是f(x)的反函數）。

上述定理的證明可參見文獻[16-20]。

只要取：

用D[-1，1]表示區間[-1，1]上的同序單調有界函數全體，定義D[-1，1]上的幾個同序單調變換τi:D[-1,1]→D[-1，1]，i=0，1，2，3，?f∈D[-1，1]，定義：

定理3[19]設E是對稱模糊結構元，如果f和g是[-1，1]上兩個同序單調函數（不妨假定都是單調增函數），模糊數A=f(E)，B=g(E)，是f的同序變換，則有如下結論：

（1）若A和B是任意有界模糊數，則A+B=(f+g)(E)，具有隸屬函數：

（2）若A和B是任意有界模糊數，具有隸屬函數：

（3）若A和B都是正模糊數，則AB=f(E)·g(E)= [f·g](E)，具有隸屬函數：

（4）若A和B都是負模糊數，則，具有隸屬函數：

（5）若A是負模糊數，B是正模糊數，則，具有隸屬函數：

（6）若A和B都是正模糊數，且B的承集不包含0，則

具有隸屬函數：

（7）若A和B都是負模糊數，且B的承集不包含0，則

具有隸屬函數：

（8）若A是負模糊數，B是正模糊數，且B的承集不包含0，則

具有隸屬函數：

3 具有模糊支付動態聯盟合作博弈的模糊Shapley值的結構元表示

3.1 具有模糊支付的模糊合作博弈及其模糊Shapley值

記局中人集合為N，N中的所有清晰聯盟和模糊聯盟分別記為P(N)和L(N)。對P(N)中的清晰聯盟記為S0，T0，…，它們的基數分別表示為s，t，…，L(N)中的模糊聯盟記為S，T，…對任意的i∈N和S∈L(N)，記S(i)為局中人i在模糊聯盟S中的隸屬度。將S0∪{i}，S∪{U(i)}分別簡記為S0∪i，S∪U(i)，其中S∪U(i)表示局中人i以參與水平U(i)加入模糊聯盟S0任意的模糊聯盟S∈L(N)，其支集記為supp S={i∈N|S(i)＞0} 。對任意h∈[0，1]，記[S]h={i∈N|S(i)≥h}為模糊聯盟S的h水平集。若函數滿足：，則稱上的具有模糊支付的合作博弈，其全體記為

證明詳見參考文獻[14]。

3.2 模糊Shapley值的結構元表示

本文設E是對稱模糊結構元，如果f是[-1，1]上同序單調函數（不妨假定都是單調增函數），模糊數是f的同序變換，則有如下定理：

定理5模糊合作博弈中局中人所得支付的Shapley值是一個模糊數，求出唯一滿足這三個公理的各局中人的支付值n其隸屬函數為：

3.3 結構元線性生成的模糊Shapley值表達式

結論1求出唯一滿足這三個公理的各局中人的支付值

其隸屬函數為：

證明因為

根據定理3得到：

所以

又根據定理3得：

4 動態聯盟收益分配運算示例

在動態聯盟企業中，各盟友充分利用自身的核心能力進行優化整合，以追求整體經濟利益的最大化。這樣聯盟伙伴的優化組合過程可以看做是n人合作博弈過程，聯盟伙伴的收益分配可以看做是n人合作博弈的收益分配問題。

假設局中人a1，a2，a3三家企業欲合作汽車零部件聯合研發項目，如果局中人獨立研發，則均可獲利約為5億元，如果a1，a2合作研發可獲利約為35億元，如果a1，a3合作研發可獲利約為25億元，如果a2，a3合作研發可獲利約為20億元，如果a1，a2，a3合作研發可獲利約為50億元，上述預期收益用三角模糊數表示為：

解：這里取E為三角結構元，其隸屬函數為：

根據定理5，計算局中人a1的模糊合作博弈的Shapley值，計算過程如下：

同理可求得局中人a2，a3的Shapley值，分別為：

其隸屬函數為：

其隸屬函數為：

以局中人a1為例，可以計算得到不同聯盟組合下的a1收益分配，a1單干時，a1可獲利，其隸屬函數為：

a1，a2聯合時，a1可獲利：

其隸屬函數為：

a1，a3聯合時，a1可獲利：

其隸屬函數為：

a1，a2，a3聯合時，a1的獲利前面計算已求得。

則局中人a1選取的合作策略是與局中人a2，a3共同結成聯盟。同理，局中人a2，a3通過類似的方法得到聯盟{a1，a2，a3}是他們的最優策略。這樣，聯盟{a1，a2，a3}就組建了。

現討論聯盟收益如何分配。若聯盟{a1，a2，a3}實際收益51億元，代入聯盟的隸屬函數可知，隸屬度為0.8。再將0.8代入三家企業各自的收益隸屬函數（將0.8代入核心右側）可得三家企業偏好程度為0.8時的Shapley值分別為：21.03，18.43，12.87。按照這個比例去分配收益51億元，可得三家企業分別收益20.495 51億元、17.961 59億元，12.542 90億元。

該方法比文獻[23]的結果精確，比文獻[24]的計算方法簡單，該改進算法更加形象、準確、易操作、易推廣。

5 結論

本文在前人對具有模糊支付的合作博弈研究基礎上，應用模糊結構元理論，改進模糊Shapley值算法，使模糊Shapley值的隸屬函數得到解析表達。考慮到現實生活中，動態聯盟的預期收益具有模糊性，采用改進算法來研究動態聯盟收益分配問題，與其他研究方法相比，該算法清晰地體現出決策者行為偏好對收益分配的影響，更加準確、易操作、易推廣。具有良好的理論價值和應用價值，可以為管理者提供更精確的信息。

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ZHANG Yanju,ZHAO Baofu

School of Business Administration,Liaoning Technical University,Huludao,Liaoning 125105,China

Dynamic coalition focuses on cooperation between the Leaguers,and the profit allocation is the result of cooperation rational participation.Taking into account the fuzziness of the profit allocation,this paper applies fuzzy cooperative games to solving the dynamics coalition.The key problem is to solve the Shapley value of fuzzy cooperative game.The fuzzy structured element theory is applied to analyzing fuzzy cooperative games.Then membership function of the fuzzy Shapley value can get analytic expression.The method can embody different dynamic profit distribution under different behavior preference,and the results of application verify the effectiveness of the improved algorithm.

fuzzy mathematics;structured element;cooperative games;dynamics coalition

動態聯盟注重盟員間的合作，在參與人合作過程中，收益分配是其理性選擇的結果。實際生活中收益又具有模糊性，所以應用模糊合作博弈來研究該問題非常必要。這里的關鍵問題是模糊合作博弈Shapley值的求解問題。將模糊合作博弈中的模糊支付用模糊結構元表示，給出基于結構元理論的各局中人Shapley值求解方法，使其得到解析表達。求解該方法可以體現出決策者不同行為偏好下動態收益的不同分配，應用結果驗證了改進算法的有效性。

模糊數學；結構元；合作博弈；動態聯盟

A

O159

10.3778/j.issn.1002-8331.1305-0089

ZHANG Yanju,ZHAO Baofu.Improved algorithm of fuzzy dynamic alliance profit distribution.Computer Engineering and Applications,2013,49（18）：6-10.

葫蘆島市科技局研究項目；深圳市世貿組織事務中心研究項目。

張艷菊（1983—），女，博士研究生，研究方向：模糊決策理論與應用，區域經濟學等；趙寶福（1957—），通訊作者，男，教授，博士生導師，研究方向：模糊決策理論與應用，區域經濟學股份制經濟等。E-mail：juzi2002@126.com

2013-05-13

2013-06-14

1002-8331（2013）18-0006-05