一種低復(fù)雜度的稀疏控制MPNLMS算法

吳斌，侯楚林

1.岳陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖南岳陽(yáng) 414000

2.中國(guó)人民解放軍91872部隊(duì)

一種低復(fù)雜度的稀疏控制MPNLMS算法

吳斌1，侯楚林2

1.岳陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖南岳陽(yáng) 414000

2.中國(guó)人民解放軍91872部隊(duì)

1 引言

在網(wǎng)絡(luò)回聲消除器中，通常回波路徑是稀疏的，即沖激響應(yīng)向量大多數(shù)元素接近零[1]，因此讓那些活躍的系數(shù)有更大的更新速度可以提高系統(tǒng)的收斂速度，而基于NLMS算法的傳統(tǒng)自適應(yīng)回聲消除器，并未利用網(wǎng)絡(luò)中回聲路徑的稀疏特性。為了克服NLMS算法的這一局限性，Duttweiler[2]引入了比例自適應(yīng)的思想，在此基礎(chǔ)上形成了比例歸一化最小均方算法（PNLMS）[2]。PNLMS算法在剛開(kāi)始時(shí)收斂速度快，但在之后會(huì)趨于平緩，如果網(wǎng)絡(luò)回聲路徑的脈沖響應(yīng)發(fā)生色散，則其收斂速度遠(yuǎn)低于NLMS算法，為此文獻(xiàn)[3]基于最速下降理論的步長(zhǎng)控制提出了一種優(yōu)化的比例步長(zhǎng)控制，來(lái)加快算法的收斂速度（MPNLMS算法）。MPNLMS算法克服了PNLMS算法收斂到最后時(shí)速度下降的缺點(diǎn)，但當(dāng)回聲路徑發(fā)生色散時(shí)，會(huì)導(dǎo)致算法收斂性能下降。針對(duì)回聲路徑變化帶來(lái)的影響，文獻(xiàn)[4]根據(jù)IPNLMS算法[5]原理，提出了稀疏控制MPNLMS算法（SCMPNLMS算法），改善了MPNLMS算法在色散回聲路徑的性能。然而，SCMPNLMS算法卻導(dǎo)致算法運(yùn)算量的增加，因此研究其簡(jiǎn)化算法，以解決快速收斂與計(jì)算復(fù)雜度之間的矛盾就變得十分必要。文獻(xiàn)[6-7]應(yīng)用集員濾波理論降低了NLMS算法和仿射投影算法（APA）的計(jì)算復(fù)雜度，在該算法中只有當(dāng)參數(shù)估計(jì)誤差大于給定的誤差門限時(shí)濾波器系數(shù)才進(jìn)行迭代更新，這樣可以在減少原算法運(yùn)算量的同時(shí)，最大程度地保留原算法的收斂性能。但是，這些方法都是針對(duì)傳統(tǒng)的NLMS算法或APA算法提出的，不能直接應(yīng)用于SCMPNLMS算法。為此本文利用最小化干擾原理，得出了基于集員濾波的SCMPNLMS算法。理論分析和仿真結(jié)果表明所提算法在降低計(jì)算復(fù)雜度的同時(shí)，保持了原算法同樣的回聲消除性能。

2 MPNLMS算法

根據(jù)文獻(xiàn)[8]可得MPNLMS算法描述如下：

其中x(k)=[χ(k)χ(k-1)…χ(k-L+1)]T，μ是整體步長(zhǎng)參數(shù)，δ是防止被零整除保證穩(wěn)定的調(diào)整參數(shù)[9]。增益矩陣Q(k)=diag{q0(k)q1(k)…qL-1(k)}是用于調(diào)整濾波器獨(dú)立步長(zhǎng)的對(duì)角矩陣[10]，Q(k)的對(duì)角元素按照如下遞歸關(guān)系式進(jìn)行計(jì)算[8]：

3 SCMPNLMS算法

在實(shí)際應(yīng)用中，可能會(huì)因環(huán)境的溫度等條件變化而使得回聲路徑的脈沖響應(yīng)發(fā)生色散[12]，此條件下MPNLMS算法以遠(yuǎn)低于NLMS的速率收斂。為此文獻(xiàn)[4]提出了SCMPNLMS算法。文獻(xiàn)[4]中用稀疏性系數(shù)δ(k)表征了各權(quán)值的大小差異，從而反映出回聲路徑的稀疏性，稀疏性系數(shù)δ(k)的值越小，表明向量的稀疏性越好。參照文獻(xiàn)[4，13]，可得到δ(k)的量度公式為：

其中λ為遺忘因子。當(dāng)回聲路徑發(fā)生色散時(shí)，稀疏性系數(shù)δ(k)減小，MPNLMS算法中ql(k)表達(dá)式分母增大，導(dǎo)致算法步長(zhǎng)減小，因此可根據(jù)IPNLMS算法原理通過(guò)調(diào)整增益矩陣中的比例控制因子減小回聲路徑變化造成的影響，同時(shí)為防止δ(k)過(guò)大帶來(lái)的噪聲放大問(wèn)題，依文獻(xiàn)[12]可令：

表1 三種算法每次迭代所需計(jì)算量比較

4 SM-SCMPNLMS算法

SCMPNLMS算法改善了MPNLMS算法回聲抵消性能，但從表1可以看出與MPNLMS算法相比，當(dāng)有大量系數(shù)需要更新時(shí)，算法的加法和乘法增加較大。為提高SCMPNLMS的實(shí)用性，可采用濾波器系數(shù)間歇更新的方法，即集員濾波策略。

在集員濾波中，令S表示所有感興趣的“輸入-期望”數(shù)據(jù)對(duì)(X，d)的集合，用可行集Θ表示(X，d)屬于S時(shí)，所有使輸出誤差幅度在門限γ內(nèi)的系數(shù)矢量w∈RN+1構(gòu)成的集合[14-15]，故Θ可表示為：

若用k個(gè)“輸入-期望”數(shù)據(jù)對(duì)(xi，來(lái)收斂濾波器系數(shù)，用H(k)表示k時(shí)刻輸出誤差幅度在門限γ內(nèi)的所有W的集合：

其中，H(k)稱為約束集，其邊緣是一個(gè)超平面。集員濾波算法中，只有當(dāng)參數(shù)估計(jì)誤差大于給定的誤差門限γ時(shí)濾波器系數(shù)才進(jìn)行更新，從而有效地減少了濾波器系數(shù)的迭代次數(shù)。依照集員濾波和最小化干擾原理，算法的目標(biāo)應(yīng)是：從一次迭代到下一次迭代中，自適應(yīng)濾波器的權(quán)向量應(yīng)當(dāng)以最小方式改變，而且受到更新的濾波器輸出所施加的約束。即求解以下約束優(yōu)化問(wèn)題：

根據(jù)集員濾波理論可知當(dāng)誤差大于給定的誤差門限γ時(shí)（即w(k)?H(k)），則濾波器系數(shù)w(k)應(yīng)演進(jìn)到H(k)的邊界，因此要求新的更新系數(shù)滿足如下約束條件：

根據(jù)約束條件式（11），使用拉格朗日乘子方法解上面的約束優(yōu)化問(wèn)題，得到：

式中，λ0為拉格朗日乘子。并令其相對(duì)于w(k+1)和λ0的梯度為零，可得到：

代入式（13），并引入防止被零整除保證穩(wěn)定的調(diào)整參數(shù)δ，可以得到基于集員濾波的SCMPNLMS算法（SM-SCMPNLMS）系數(shù)更新公式為：

可得SM-SCMPNLMS算法系數(shù)更新過(guò)程如下所示。

比較SM-SCMPNLMS算法和SCMPNLMS算法系數(shù)更新過(guò)程，可知：相對(duì)于SCMPNLMS算法，新算法每次迭代僅增加了1次比較運(yùn)算和a(k)的計(jì)算，由式（18）知計(jì)算a(k)僅需1次減法和1次除法。但該算法中只有當(dāng)參數(shù)估計(jì)誤差大于γ時(shí)，濾波器系數(shù)才進(jìn)行更新，從而減少了濾波器系數(shù)的迭代次數(shù)。令L=512，從表1可以看出，新算法減少1次迭代，相對(duì)于SCMPNLMS算法則可減少2 565次加（減）法，4 616次乘（除）法，1 023次比較運(yùn)算和512次對(duì)數(shù)運(yùn)算。在實(shí)際應(yīng)用中減少的迭代次數(shù)遠(yuǎn)大于1，因此本文算法能夠有效降低SCMPNLMS算法的計(jì)算復(fù)雜度。

5 仿真分析

為便于控制路徑的稀疏性，回波路徑采用文獻(xiàn)[4]提出的使用一隨機(jī)系列模擬生成路徑脈沖響應(yīng)。仿真中輸入信號(hào)源分別為模擬語(yǔ)音信號(hào)，模擬語(yǔ)音信號(hào)是計(jì)算機(jī)生成的一段長(zhǎng)為2.5 s，采樣頻率為8 KHz的隨機(jī)高斯信號(hào)。采用均方誤差（MSE）收斂曲線和穩(wěn)態(tài)回波返回?fù)p失強(qiáng)度ERLE（Echo Return Loss Enhancement）來(lái)評(píng)價(jià)自適應(yīng)回聲抵消算法性能，并將文獻(xiàn)[2]提出的PNLMS算法，文獻(xiàn)[3]提出的MPNLMS、SPNLMS算法和文獻(xiàn)[4]提出的SCMPNLMS算法在回聲路徑色散、稀疏和突然改變的情況下的MSE、ERLE進(jìn)行了對(duì)比。仿真中L=512，步長(zhǎng)均為μ=0.3，SMSCMPNLMS算法中取γ=0.03。圖1給出了五種算法在稀疏和色散兩種信道下的MSE性能對(duì)比；圖2給出了五種算法在稀疏和色散兩種信道下的ERLE性能對(duì)比；圖3給出了回聲路徑在1×104次迭代時(shí)由稀疏突然改變?yōu)樯r(shí)五種算法的ERLE和MSE性能對(duì)比。ERLE和MSE均以dB為單位。ERLE數(shù)值越高，MSE的數(shù)值越低，表明自適應(yīng)算法性能越優(yōu)良[16]。

圖1 兩種路徑下的均方誤差學(xué)習(xí)比較曲線

圖2 兩種路徑下的穩(wěn)態(tài)回波返回?fù)p失強(qiáng)度比較

圖3 路徑突變時(shí)性能比較

從圖1和圖2可以看出，在稀疏回聲信道下，SMSCMPNLMS算法比PNLMS、SPNLMS算法具有更快的收斂速度，其收斂速度、穩(wěn)態(tài)性能和ERLE值與MPNLMS、SCMPNLMS算法相當(dāng)；在色散回聲路徑下，SM-SCMPNLMS算法與SPNLMS、MPNLMS和SCMPNLMS算法相比，穩(wěn)態(tài)性能稍有下降，但具有更快的收斂速度，尤為重要的是其減少了迭代次數(shù)，降低了計(jì)算量。從圖3可以看出，本文算法在減少了計(jì)算量的同時(shí)，表現(xiàn)出了與SCMPNLMS算法一樣良好的回聲路徑跟蹤性能，并具有更快的初始收斂速度。

6 結(jié)論

本文提出的算法綜合了SCMPNLMS算法收斂快，穩(wěn)態(tài)失調(diào)小的特點(diǎn)，并通過(guò)采用集員濾波減少了算法的運(yùn)算量。仿真結(jié)果表明，無(wú)論是稀疏還是色散信道，該算法都較PNLMS算法和SPNLMS算法有更好的性能。同時(shí)，由于該算法的計(jì)算量較小，與SCMPNLMS算法比較，在收斂速度和收斂精度相當(dāng)?shù)那闆r下，其計(jì)算復(fù)雜度大大降低，從而具有更好的實(shí)時(shí)性。

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WU Bin1,HOU Chulin2

1.Yueyang Vocational Technical College,Yueyang,Hunan 414000,China
2.Unit 91872 of PLA,China

Sparseness-controlled adaptive algorithm estimates the sparseness of an impulse response and allocates a higher weighting to the proportionate term in the gain matrix for a relatively more sparse impulse response compared to one which is less sparse.Such that it improves the convergence speed of traditional algorithm.However,the large number of filter coefficients in echo cancellation applications diminishes the usefulness of this algorithm owing to increased complexity.To deal with this problem and improve the computational efficiency,the novel SM-SCMPNLMS algorithm is presented by combining the Sparseness-Controlled law PNLMS algorithm（SCMPNLMS）and the framework of Set-Membership Filtering（SMF）.In SM-SCMPNLMS algorithm,the filter coefficients are updated such that the magnitude of the output estimation error is less than a pre-determined threshold.As a result,the proposed algorithm reduces overall computation complexity significantly due to sparse time update.Simulation results show the new algorithm has an attractive faster converge and echo return lossless enhancement for three situations of sparse,dispersive and varying channels.Furthermore,it reduces the overall computational complexity due to the data-selective feature of the SMF approach.

Mu-Proportionate Normalized Least Mean Square（MPNLMS）;sparseness controlled;set membership filtering; echo cancellation

稀疏控制算法將稀疏性系數(shù)加入到步長(zhǎng)控制因子遞推計(jì)算過(guò)程中，加速了傳統(tǒng)回聲消除算法的收斂速度。但其快速收斂與低復(fù)雜度是一對(duì)矛盾的需求。針對(duì)這一矛盾，提出了一種基于集員濾波的稀疏控制MPNLMS算法（SM-SCMPNLMS）。該算法中只有當(dāng)參數(shù)估計(jì)誤差大于給定的誤差門限時(shí)濾波器系數(shù)才進(jìn)行迭代更新，從而有效地減少了濾波器系數(shù)的迭代次數(shù)。在稀疏、色散路徑以及路徑突變?nèi)N環(huán)境下進(jìn)行了仿真，結(jié)果表明新算法在降低計(jì)算復(fù)雜度的同時(shí)，表現(xiàn)出了與稀疏控制MPNLMS算法同樣優(yōu)良的收斂速度和穩(wěn)態(tài)回波返回?fù)p失強(qiáng)度。

Mu-比例歸一化均方誤差算法（MPNLMS）；稀疏控制；集員濾波；回波消除

A

TN911

10.3778/j.issn.1002-8331.1212-0256

WU Bin,HOU Chulin.Low complexity sparseness controlled MPNLMS algorithm.Computer Engineering and Applications,2013,49（19）：227-231.

國(guó)家自然科學(xué)基金（No.61072092）。

吳斌（1971—），男，講師，研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)應(yīng)用；侯楚林（1975—），男，博士，研究方向?yàn)橥ㄐ判盘?hào)處理。E-mail：xiaofeixia7806@163.com

2012-12-24

2013-04-11

1002-8331（2013）19-0227-05

CNKI出版日期：2013-04-26http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130426.1018.004.html

◎工程與應(yīng)用◎