基于進化策略有頻率禁區(qū)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法

程沙沙，蘇國韶，燕柳斌

廣西大學土木建筑工程學院工程防災與結(jié)構(gòu)安全教育部重點實驗室，南寧 530004

基于進化策略有頻率禁區(qū)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法

程沙沙，蘇國韶，燕柳斌

廣西大學土木建筑工程學院工程防災與結(jié)構(gòu)安全教育部重點實驗室，南寧 530004

1 引言

結(jié)構(gòu)動力特性是結(jié)構(gòu)設(shè)計中的重要指標。為了使結(jié)構(gòu)的固有頻率遠離激振頻率帶寬，通過結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計，可有效地避免諧振現(xiàn)象的發(fā)生，避免結(jié)構(gòu)破壞。對于復雜結(jié)構(gòu)，其動力結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題本質(zhì)上是一種高度非線形的全局優(yōu)化問題，傳統(tǒng)的優(yōu)化算法在求解的過程中往往容易陷入局部最優(yōu)，而且優(yōu)化結(jié)果往往依賴于尋優(yōu)出發(fā)點，出發(fā)點選擇不當，就不能得到最優(yōu)解[1～4]。針對傳統(tǒng)優(yōu)化方法的局限性，近年來國內(nèi)外的一些學者將仿生全局優(yōu)化算法，如遺傳算法（GA）、進化策略（ES）、粒子群優(yōu)化算法（PSO）、人工蜂群算法（ABC）等，應用于工程結(jié)構(gòu)設(shè)計中，取得了良好的效果[5～8]。但是，大型復雜工程結(jié)構(gòu)分析通常需要借助有限元分析來獲得結(jié)構(gòu)響應，采用上述仿生隨機優(yōu)化算法進行結(jié)構(gòu)分析時，往往需要大量的有限元分析次數(shù)。對于大型復雜結(jié)構(gòu)而言，一次有限元分析的時間較長，大量的有限元分析令人難以忍受，使上述仿生全局優(yōu)化算法在實際的工程應用中受到很大的限制。因此，尋找一種效率更高的全局優(yōu)化方法勢在必行。

自適應協(xié)方差矩陣進化策略（Covariance Matrix Adaptation Evolution Strategy，CMA-ES）是Nikolaus Hansen等人在進化策略的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種新型全局優(yōu)化算法[9]。與原來的進化策略算法相同，也是從一組初始的種群出發(fā)，通過突變、競爭和選擇、重組等，根據(jù)其適應性的大小來選擇個體，適應度最優(yōu)的個體來形成下一代種群，如此反復循環(huán)，直至最后接近最優(yōu)解。研究表明，與其他仿生全局優(yōu)化算法相比較，CMA-ES算法的主要特點是全局尋優(yōu)性能好且尋優(yōu)效率高[10]。

本文擬將CMA-ES算法引入到有頻率禁區(qū)的桁架結(jié)構(gòu)截面和形狀優(yōu)化領(lǐng)域中去，為高效快速地解決此類結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題提供一種新的途徑。

2 考慮頻率禁區(qū)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化數(shù)學模型

2.1 目標函數(shù)

有頻率禁區(qū)的桁架結(jié)構(gòu)截面優(yōu)化或形狀優(yōu)化的目標就是在滿足頻率要求，同時滿足靜態(tài)強度（如幾何約束、應力約束等）的情況下使桁架的重量最輕，故選取重量的大小來評價桁架的優(yōu)劣。其目標函數(shù)為：

式中，X=[A1，A2，…，AM，O1，O2，…，ONj]為結(jié)構(gòu)的設(shè)計變量；ρe、Ae、Le分別為桿件e的材料密度、截面面積和長度；Oi為節(jié)點i的坐標，M為桿件截面的設(shè)計變量總數(shù)，Nj為節(jié)點的設(shè)計變量總數(shù)。

2.2 約束條件

（1）頻率約束條件：

（2）幾何約束條件：

（3）應力約束條件：

式中，σe和[σe]分別為桿件的實際應力值和極限應力值。

3 基于進化策略的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法

3.1 進化策略算法的基本原理

CMA-ES算法是從給定的或是隨機產(chǎn)生的一個初始搜索點出發(fā)，以該初始點為搜索中心，按照一定的概率密度隨機生成第一代種群（λ個），并評價該種群中所有個體的適應度。選擇適應度較好的μ個個體組成新的種群來更新進化策略參數(shù)，利用進化策略參數(shù)調(diào)整下一代種群的進化方向，從而進行突變生成下一代種群，如此反復，直至逼近最優(yōu)解，見圖1。

圖1 二維空間下種群進化示意圖（圖中斜線表示目標函數(shù)的等高線）

CMA-ES算法通過動態(tài)的步長參數(shù)σ和動態(tài)的正定協(xié)方差矩陣C來引導種群的突變進化方向，其基本方程如下：

CMA-ES算法在隨機搜索的過程中引入進化路徑的概念，充分利用了種群的尋優(yōu)歷史信息，并用動態(tài)參數(shù)控制歷史信息的學習程度和方向，有效地避免了種群退化。同時在進化過程中只需要很小的種群，從而大大減少了函數(shù)評價次數(shù)。受篇幅限制，CMA-ES算法基本原理詳見文獻[9]。

3.2 基于CMA-ES算法與有限元的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法

本文采用MATLAB平臺編制CMA-ES算法程序，然后將CMA-ES算法融入有限元結(jié)構(gòu)分析軟件ANSYS中，建立了有頻率禁區(qū)的結(jié)構(gòu)截面和形狀優(yōu)化的CMA-ES方法。優(yōu)化方法實現(xiàn)步驟如下（參見圖2）：

步驟1在MATLAB軟件中運行CMA-ES算法，隨機產(chǎn)生初始設(shè)計變量，并保存到文件A中。

步驟2利用MATLAB軟件啟動ANSYS有限元分析軟件，在ANSYS環(huán)境中利用APDL語言讀文件A，獲得初始設(shè)計變量，然后進行有限元建模和求解，再把重量、頻率、應力、節(jié)點坐標等計算結(jié)果寫入文件B，之后關(guān)閉ANSYS，返回到MATLAB環(huán)境中。

步驟3利用MATLAB程序讀取結(jié)果文件B，代入適應度函數(shù)，獲得所有個體的適應度，CMA-ES算法評價并選出當前代最小的適應度。

步驟4對當前代的最小適應度做精度判斷，如果滿足收斂條件，則計算終止，保存當前最優(yōu)解；否則，根據(jù)適應度更新CMA-ES算法的策略參數(shù)σ和C，獲得下一代種群的均值點和突變方向，生成下一代種群（多個設(shè)計變量），并把設(shè)計變量保存到文件A中，轉(zhuǎn)回步驟2。

圖2 CMA-ES優(yōu)化方法的實現(xiàn)步驟

在本文方法中，通過動態(tài)加權(quán)罰函數(shù)法將有約束的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)為無約束優(yōu)化問題，當頻率ω或應力σ超過限值時，懲罰值為差值的p1或p2倍，通過改變p1和p2值可以控制目標變量F的懲罰程度。對于以結(jié)構(gòu)重量W作為優(yōu)化目標的問題，適應度函數(shù)的通式如下：

下面采用兩個經(jīng)典的桁架優(yōu)化算例進行方法的可行性驗證，各算例的優(yōu)化目標均為桁架重量最小，并滿足一定的頻率、幾何和應力約束。優(yōu)化計算采用的PC機配置為Intel 2.40 GHz處理器和2 GB內(nèi)存。

4 工程算例

4.1 桁架截面優(yōu)化

一個10桿桁架結(jié)構(gòu)如圖3所示，a=9.144 m(360 in)，彈性模量為6.89×1010Pa(107psi)，密度為2 770 kg/m3(0.11 b/in3)，頻率界限為不小于21 Hz，初始截面面積都為40 cm2（6.2 in2），泊松比為0.3，求最優(yōu)桁架截面設(shè)計。

圖3 平面10桿桁架結(jié)構(gòu)圖

優(yōu)化數(shù)學模型如下所示。

約束條件：ω1(xi)≥21 Hz，0.6 cm2＜xi＜130 cm2。其中，xi為設(shè)計變量，代表桿件橫截面積，i表示桿件編號；Li為桿件i長度；ω1(xi)代表桿件一階固有頻率。

CMA-ES算法的參數(shù)設(shè)置：初始步長0.004；種群數(shù)為10。

PSO算法的參數(shù)設(shè)置：種群數(shù)為30；學習因子C1=C2=2.0。

分別采用PSO與本文方法進行優(yōu)化，各算例均設(shè)置相同的目標函數(shù)和搜索區(qū)間，每種算法運行20次，取每種算法最好的結(jié)果作為優(yōu)化結(jié)果，見表1。

從表1可以看出，對于10桿結(jié)構(gòu)，通過本文進行截面優(yōu)化可以得到比較理想的結(jié)果。與初始狀態(tài)相比，在滿足頻率和橫截面積等約束條件下用本文方法進行500次的函數(shù)評價時，結(jié)構(gòu)重量優(yōu)于改進信賴域法[11]，由原方案的1 181.02 kg減少到703.86 kg，下降了40.4%，頻率由原來的15.179 Hz提高到21.622 Hz。用本文方法對桁架結(jié)構(gòu)進行850次函數(shù)評價，在滿足橫截面積和頻率等約束條件下，結(jié)構(gòu)重量又有大幅度的下降，與原方案相比，重量由1 181.02 kg減少到497.17 kg，比初始值下降了57.9%，同時，在相同有限元分析次數(shù)的前提下，本文方法明顯優(yōu)于PSO的優(yōu)化結(jié)果，說明其尋優(yōu)能力遠高于PSO算法。

表1 平面10桿桁架的優(yōu)化結(jié)果

4.2 桁架形狀優(yōu)化

平面40桿桁架橋，結(jié)構(gòu)幾何初始尺寸如圖4所示。材料的彈性模量均為2×107t/m2，比重均為7.8 t/m3，許用拉壓應力為±16 000 t/m2。結(jié)構(gòu)要求其自振基頻不大于100 s-1，而二階頻率不小于200 s-1。桿件分類見表2，除支撐桿以外，各類桿件截面允許值均應在0.002 5 m2和0.050 0 m2之間，支承桿截面均為0.050 0 m2不變。橋的外形變化僅允許上弦的8個節(jié)點在鉛直方向移動，下限是3 m，上限是1 m。橋下弦跨中6個節(jié)點分別作用有鉛直向下的集中力P=10 t。

圖4 平面40桿桁架橋初始示意圖（單位：m）

表2 平面40桿桁架橋桿件分類

優(yōu)化數(shù)學模型如下所示。

23維設(shè)計變量：

其中，xi為設(shè)計變量，代表桿件的橫截面積，i表示對桿件的編號；Li為桿件i長度；ω1(xi)和ω2(xi)代表桿件的一階和二階固有頻率。除了支撐桿截面均為0.050 0 m2不變外，其他給定初始各桿件橫截面積都相同，都為0.005 0 m2。節(jié)點坐標根據(jù)對稱性進行分類：y16=y9，y15=y10，y14=y11，y13=y12。

CMA-ES算法的參數(shù)設(shè)置：初始步長取0.014；種群數(shù)為13。

PSO算法的參數(shù)設(shè)置：種群數(shù)為30；學習因子C1=C2=2.0。

分別采用PSO與本文方法進行優(yōu)化，各算例均設(shè)置相同的目標函數(shù)和搜索區(qū)間，每種算法運行20次，取每種算法最好的結(jié)果作為優(yōu)化結(jié)果，見表3，桁架形狀優(yōu)化結(jié)果見圖5。

表3 平面40桿桁架橋優(yōu)化結(jié)果

圖5 平面40桿桁架優(yōu)化結(jié)果（單位：m）

從表3可看出，在滿足應力和幾何約束條件下，用PSO算法進行15 000次函數(shù)評價，能夠得到比較理想的優(yōu)化結(jié)果，結(jié)構(gòu)重量由原方案的5.621 t減少到2.556 t，下降了54.5%。而用本文方法進行相同的有限元分析次數(shù)時，優(yōu)化結(jié)果為2.487 t，明顯優(yōu)于優(yōu)化準則法[12]、復合形法[13]與PSO的優(yōu)化結(jié)果，再次表明了本文方法的高效性。

5 結(jié)語

（1）研究結(jié)果表明，本文方法是可行性的，具有全局性能好，效率高等優(yōu)點，為桁架結(jié)構(gòu)動力優(yōu)化設(shè)計提供了新的途徑。

（2）本文方法采用MATLAB平臺調(diào)用ANSYS有限元大型通用軟件的技術(shù)手段來實現(xiàn)，無需編制復雜的有限元程序，具有容易實現(xiàn)的特點，方便結(jié)構(gòu)工程師們的應用。

（3）當前工程結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)日益多樣化和復雜化的趨勢，本文方法針對高維度復雜工程動力結(jié)構(gòu)優(yōu)化的適應性問題，尚需今后進一步研究。

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CHENG Shasha,SU Guoshao,YAN Liubin

Key Laboratory of Disaster Prevention and Structural Safety,School of Civil Engineering and Architecture,Guangxi University, Nanning 530004,China

For depart frequency bandwidth,the method is to adjust component sections or nodes’coordinates to change the dynamic characteristics on premise of static intensity being satisfied,so called optimization design of truss structure with frequency forbidden zone.Covariance Matrix Adaptation Evolution Strategy（CMA-ES）,which is a global optimization algorithm with the advantages of high efficiency and robustness,has become a powerful tool for solving highly nonlinear multidimensional optimization problems.Combining finite element method,an optimal method of truss structure with frequency forbidden zone based on CMA-ES algorithm is proposed.The results of examples show that the method is feasible and has the merits of excellent global optimization performance and efficiency compared with traditional and Particle Swarm Optimization（PSO）method.

frequency forbidden zone;structural optimization;truss;Covariance Matrix Adaptation Evolution Strategy（CMA-ES）algorithm

有頻率禁區(qū)的桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計是在結(jié)構(gòu)保證靜態(tài)強度的前提下，通過調(diào)整構(gòu)件的截面或節(jié)點坐標來改變結(jié)構(gòu)的動力特性，從而避開激振頻率帶寬。自適應協(xié)方差矩陣進化策略（CMA-ES）算法是一種尋優(yōu)效率高、魯棒性好的全局優(yōu)化算法，對處理復雜的非線性多維度的優(yōu)化問題有很好的適應性。在考慮工藝可行性的基礎(chǔ)上，結(jié)合有限元分析軟件，提出了基于CMA-ES算法的有頻率禁區(qū)的桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法。算例研究表明，該方法是可行的，與傳統(tǒng)優(yōu)化方法、粒子群優(yōu)化方法相比較，具有全局尋優(yōu)性能好、效率高的優(yōu)點。

頻率禁區(qū)；結(jié)構(gòu)優(yōu)化；桁架；自適應協(xié)方差矩陣進化策略算法（CMA-ES）

A

TU323.4

10.3778/j.issn.1002-8331.1201-0156

CHENG Shasha,SU Guoshao,YAN Liubin.Structural optimization design method with frequency forbidden zone using evolution strategy.Computer Engineering and Applications,2013,49（19）：250-253.

廣西理工科學實驗中心重點項目（No.LGZX201001）。

程沙沙（1986—），女，碩士研究生，研究方向為智能方法及其土木工程應用。E-mail：sha345678@163.com

2012-01-10

2012-03-06

1002-8331（2013）19-0250-04

CNKI出版日期：2012-06-01http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20120601.1457.034.html