延性金屬漸進破壞試驗與數值研究

劉 超， 孫 秦， 劉彥杰， 范學領

（西北工業大學航空學院，西安 710072）

其中f為第一主應力不變量I1和第三偏應力不變量J3某種形式的函數;εp表示等效塑性應變;εpf表示斷裂發生時材料點的等效塑性應變。其中εp反映了第二偏應力不變量J2的影響。結合EWK和X-W兩種延性斷裂模型的各自特點，同時采用EWK模型中的損傷與塑性過程非耦合的損傷累積理論提出了一種同樣基于三應力不變量的延性斷裂模型。

改進的三應力不變量延性斷裂模型依據X-W模型的斷裂包線形式，其中綜合考慮到靜水壓力和Lode角的影響。其斷裂包線εf表達式定義為:

在表達式（7）中εf0為靜水壓力p為零時的斷裂應變 ，μp（p）為靜水壓力 p的函數，μθ（θ）為 Lode角θ的函數，其表達式為:

裂紋是引起航空航天領域中各種金屬結構、零部件失效的重要因素。因此，掌握裂紋擴展的規律及控制裂紋的擴展在工程應用上具有重要意義。金屬板材的單向拉伸試驗為結構壽命分析和剩余強度計算提供了基本數據參考。因此，模擬金屬板材在單向拉伸狀態下的裂紋形成與擴展直至完全斷裂的全過程是一個不可或缺的內容。在工程應用中，金屬薄板通常簡化為完全平面應力狀態進行力學分析。然而從嚴格意義上講，這種簡化只適用于很薄且尺寸較大的薄板。隨著薄板的厚度增加，有限厚度的金屬板材的斷裂過程比平面應力狀態下更加復雜，在三維狀態下進行有限元數值計算比二維情況下能更好地反映板材沿厚度方向上的裂紋擴展情況。

Taira和Tanaka［1］應用斷裂力學方法研究了在拉伸狀態下含初始裂紋的金屬板裂紋尖端應力分布及厚度對材料斷裂韌性地影響。Pardoen［2，3］等研究了不同厚度的鋁合金6082T0含雙邊初始裂紋的薄板試件的載荷位移曲線并與試驗曲線進行了對比分析，并研究了J積分的變化。上述文章均采用斷裂力學方法進行研究，這就決定了所選薄板試件必須含有初始裂紋。而針對無初始裂紋的光滑薄板在拉伸狀態下從裂紋萌生和擴展直至斷裂的全過程，應用斷裂力學的分析方法就顯出其局限性。因此，基于連續介質損傷力學破壞準則與有限元數值計算相結合成為預測工程結構在復雜載荷條件下漸進破壞過程的最有效技術途徑。一系列關于韌性材料構件的失效機理的研究和適用與韌性材料的斷裂準則被相繼提出，并應用于模擬和預測構件的失效行為［4～9］。但是，這些文獻中均未綜合考慮靜水壓力和Lode角在韌性材料斷裂過程中對損傷變量的作用。Kamoulakos在 E-W［10］模型的基礎上，提出了EWK［11］模型。該模型認為裂紋的萌生和擴展直至完全斷裂是材料的連續特性，并認為材料應變損傷累積到斷裂閥值時導致結構斷裂。Xue和Wierzbicki［12］在研究大量斷裂模型基礎上，提出了一種新的斷裂模型（X-W模型），該模型提出了斷裂包線的概念以及損傷與塑性過程耦合的損傷累積理論，并給出了歸一化的損傷累積模型。這兩個基于連續損傷力學理論的延性破壞模型包含了3個應力不變量對塑性破壞的影響作用，并考慮了Lode角和靜水壓力的作用，因此其適用性更強，但各自也有其局限性。

為更好地數值模擬金屬構件的靜力漸進破壞過程，本文依然保留X-W斷裂模型的斷裂包線形式，同時為了便于工程應用，采用EWK模型中的損傷與塑性過程非耦合的損傷累積理論。提出了一種改進的3應力不變量延性金屬斷裂模型。通過ABAQUS用戶材料子程序VUMAT將該改進模型嵌入有限元顯式算法（準靜態）主程序，并應用于鋁合金2A12-T4板材的靜力破壞過程的模擬，最后與試驗結果進行了對比分析。

1 基于連續損傷力學的延性斷裂模型

1.1EWK 模型

EWK延性斷裂模型認為結構中微小裂紋的萌生和擴展，直至完全斷裂是材料應變損傷不斷累積而產生的結果［13］。EWK延性斷裂模型的一般表達式如下:

其中s1＞s2＞s3，si為主偏應力，εp為等效塑性應變，εpf為斷裂時的等效塑性應變，α，β均為材料常數，p為材料點的靜水壓力，plim也是材料常數，代表了無缺陷時理想狀態的極限靜水壓力。當損傷變量D達到臨界值Dc時材料點發生斷裂。EWK模型采用損傷與塑性過程非耦合的損傷累積理論，即材料的彈塑性應力應變關系獨立于損傷變量的演化。因而較易與工程應用相結合，以決定其材料參數，但不具備斷裂包線的概念。

1.2X-W 模型

X-W延性斷裂模型由麻省理工大學的Xue和Wierzbick提出，該模型采用損傷變量與材料塑性變形過程相耦合的損傷累積理論，并建立了相應的積分型斷裂準則。該準則中提出了兩個重要的概念，其一是斷裂包線，其二是建立了相應的損傷演化規則。其表達式如下:

其中μp（p）為靜水壓力函數，μθ（θ）為關于Lode角θ的函數。plim，γ，q，m均為材料常數，εf為斷裂包線，εf0為靜水壓力為零時的斷裂應變。當損傷變量D=1時材料點失效。

X-W模型較EWK模型新穎之處在于:（1）提出了斷裂包線的概念，從理論上更加清晰的揭示了損傷產生的機理;（2）在應用中強調了損傷對塑性變形歷程中材料軟化的耦合作用。但是X-W模型也存在以下幾點不足:（1）與塑性過程耦合的損傷演化理論中涉及的無損傷狀態下塑性變形時的本構曲線不能由試驗得到，且從數學上很難準確構造，因而限制其工程應用的范圍;（2）損傷累積公式中出現的參數m是由Manson-Coffin公式和Palmgren-Mines準則確定的，然而Manson-Coffin公式和 Palmgren-Mines準則是針對疲勞斷裂提出的，所以參數m的確定不能很好地得到理論與實驗的支持。

1.3 改進的三應力不變量延性斷裂模型

上述兩種模型的損傷公式中均體現了第一主應力不變量I1、第二偏應力不變量J2和第三偏應力不變量J3對損傷變量D的影響。因而，這兩種模型的一般表達式也可寫為如下形式:

其中f為第一主應力不變量I1和第三偏應力不變量J3某種形式的函數;εp表示等效塑性應變;εpf表示斷裂發生時材料點的等效塑性應變。其中εp反映了第二偏應力不變量J2的影響。結合EWK和X-W兩種延性斷裂模型的各自特點，同時采用EWK模型中的損傷與塑性過程非耦合的損傷累積理論提出了一種同樣基于三應力不變量的延性斷裂模型。

改進的三應力不變量延性斷裂模型依據X-W模型的斷裂包線形式，其中綜合考慮到靜水壓力和Lode角的影響。其斷裂包線εf表達式定義為:

在表達式（7）中εf0為靜水壓力p為零時的斷裂應變 ，μp（p）為靜水壓力p的函數，μθ（θ）為 Lode角θ的函數，其表達式為:

式（8）中q和式（9）中γ均為材料常數，式（9）中Lode角θ一般用來判定結構中某一點的偏應力狀態，其表達式如下:

其中，S1，S2，S3為遞減順序的三個主偏應力。

改進的三應力不變量延性斷裂模型采用線性損傷演化方程如下:

式（11）相應的微分形式為:

損傷的累積就可以表達為如下的積分形式:

其中D為損傷變量，εp為等效塑性應變，εf為斷裂包線。式（13）中，當 εp=0時，D=0，材料點無損傷。當εp=εpf時，D=1，材料點失效。由式（7）至式（13）可得改進的三應力不變量延性斷裂模型的表達式如下:

D=0，材料點無損傷。D=1，材料點失效。該改進的三應力不變量延性斷裂模型的優點在于保留了X-W斷裂模型的斷裂包線的表達形式，同時采用EWK模型中的損傷與塑性過程非耦合的損傷累積理論，便于工程應用。

2 金屬板構件拉伸試驗

金屬構件單向拉伸試驗所選材料為高強度變形鋁合金2A12-T4。該合金具有良好的塑性成型能力和機械加工性能，能夠獲得各種類型的制品。因此2A12-T4在航空工業中得到了廣泛應用，其主要化學成分見表1。

四種金屬構件試驗分別為:兩種不同厚度的光滑板材拉伸試驗（試件a和b），兩種不同厚度的帶有中心孔板拉伸試驗（試件c和試件d），試驗依據為HB5143-96。四種金屬構件的拉伸試驗均在Instron8801試驗機上進行。試驗件尺寸見表2，圖1。4種試件斷裂時裂紋擴展形貌見圖2。由試驗所得兩種不同厚度光滑板材的工程應力-工程應變曲線見圖3。

表1 鋁合金2A12-T4的化學成分（質量分數/%）Table 1 Chemical compositions of 2A12-T4（mass fraction/%）

表2 四種試驗件尺寸Table 2 Geometry of four specimens

圖1 試驗件尺寸Fig.1 Geometry of specimens

由圖3所示曲線發現:不同厚度的光滑板材雖然均為標準試件，且材料相同但是由試驗得出的應力應變曲線卻并非相同。薄板材的屈服應力和屈服極限均小于較厚板材的對應值，通過查閱相關材料試驗手冊［14］也發現了同樣的現象。從工程應用的角度出發，選擇薄板材的應力-應變曲線是相對安全的。但是從科學研究和有限元仿真的角度出發，本文對光滑薄板（試件a）和厚度t=1.1mm帶有中心孔板（試件c）因其厚度相同而選擇試件a單向拉伸所得試驗結果，對厚度t=5mm光滑板材（試件b）和厚度t=6.3mm帶有中心孔板（試件d）因其厚度接近而選擇試件b單向拉伸所得的試驗結果進行數值計算。

3 金屬板構件拉伸試驗數值計算

3.1 三維有限元模型和算法流程

由于四種金屬板材試驗件及載荷在厚度方向（z方向），寬度方向（x方向）和長度方向（y方向）對稱。為了更直觀的將有限元仿真結果與試驗結果對比分析，以試件d為例，有限元模型選擇真實試件的1/4，分別沿厚度方向（z方向）取一半，寬度方向（x方向）取一半。如圖4，圖5所示，在厚度方向（其對稱面為ADFG面，z=0）和寬度方向（其對稱面為ABCD面，x=0）的對稱面上施加對稱約束，長度方向（y方向）一端施加位移約束，另一端添加位移載荷（沿y正方向垂直于面CEFD）。劃分網格時兩端稀疏，孔邊危險區域加密，最小單元尺寸選擇肉眼可直接觀測的最小裂紋長度等于0.1mm，單元類型采用縮。減積分體單元（C3D8R）。為了驗證改進的三應力不變量延性金屬斷裂模型的有效性，通過編寫用戶材料子程序VUMAT的方式將該延性金屬斷裂模型嵌入ABAQUS準靜態算法主程序來模擬金屬板材試件的整個斷裂過程［15］。有限元數值計算所選材料彈性模量E=71200MPa，密度ρ=2700kg/m3，泊松比 μ =0.33，材料常數 εf0=0.35，q=1000，γ=0.25，plim=0.55。總體算法的實現是建立在對有限單元積分點進行計算的基礎上。商業有限元軟件ABAQUS/explicit準靜態算法主程序對每個單元的每個積分點進行計算，在一個增量步之內完成計算后，VUMAT子程序將主程序得到的該斷裂模型所需參數進行提取，通過子程序計算出損傷變量D，若損傷變量D達到斷裂閥值1，通過內部變量傳遞至主程序令該單元失效。否則不做任何變化，遍歷所有單元積分點進行判斷后，程序進入下一增量步計算。整個加載過程的若干增量步中主程序與子程序之間實時進行通信。載荷施加完畢時輸出最終結果，算法流程圖如圖6所示。本算法最終斷裂在單元上發生，通過刪除單元來模擬裂紋擴展，直至構件完全斷裂。

3.2 試驗數據與有限元仿真結果對比分析

數值計算中考慮延性金屬有限變形的彈塑性效應（物理非線性）和幾何非線性效應通過編寫用戶材料子程序VUMAT將改進的三應力不變量延性斷裂模型嵌入ABAQUS非線性有限元顯式算法主程序，選用位移加載的方式單向拉伸四種高強度變形鋁合金2A12-T4板材試件直至斷裂。

圖7 4種試件裂紋擴展 （a）試樣a;（b）試樣b;（c）試樣c;（d）試樣d;Fig.7 Crack propagation of four specimens（a）speciment-a;（b）speciment-b;（c）speciment-c;（d）speciment-d;

在ABAQUS后處理中應用對稱顯示分析結果的方式對1/4幾何模型分析結果進行全尺寸模型結果顯示，改進的三應力不變量延性斷裂模型進行的數值計算所得裂紋從萌生和擴展直至完全斷裂過程見圖7。從圖7可知在寬度方向上光滑板材裂紋均從其中心處開始萌生然后向邊緣開始擴展直至斷裂，帶孔板的裂紋沿孔邊的中心處開始萌生并向邊緣擴展。在厚度方向上裂紋先從模型的厚度中心處開始萌生，然后向板的厚度和寬度邊緣擴展。將數值仿真中裂紋擴展形貌與圖2中真實試件的裂紋擴展形貌對比，數值計算結果較好地反映了真實試驗的斷裂過程，數值仿真所得裂紋擴展形貌和裂紋擴展路徑與真實實驗結果基本一致。由單向拉伸試驗所得4組載荷-位移曲線與有限元數值計算所得載荷-位移曲線對比見圖8。從圖8中4種板材試件的載荷-位移曲線對比中發現，仿真結果較好地預測了真實試驗的載荷-位移曲線。在數值計算對四種板材試件的宏觀載荷-位移曲線進行較好預測的基礎上，在ABAQUS軟件后處理分析的結果中提取了有限元模型的最先斷裂單元的真實應力-應變曲線（如圖9所示）和斷裂單元的應力三維度-等效塑性應變曲線（如圖10所示）進一步對微小單元進行了探討。從圖9所示曲線可知:兩種不同厚度的光滑無孔板材（試件a和試件b）斷裂發生時單元應變基本一致，而兩種不同厚度的帶有中心孔的板材試件（試件c和試件d）在斷裂發生時單元應變相差較大。圖10通過對斷裂單元應力三維度與等效塑性應變的關系解釋了上述差異的原因:應力三維度對斷裂發生時單元應變影響顯著，隨著應力三維度的增大，斷裂發生時單元的等效塑性應變減小，因而單元的真實應變也減小。圖10也反映出應力三維度與構件的幾何形狀具有密切相關性:兩種不同厚度的光滑無孔板材（試件a和試件b）隨著厚度的增加斷裂單元處應力三維度變化不明顯，斷裂發生時單元應變也相近。而兩種不同厚度的帶有中心孔的板材試件（試件c和試件d）隨著厚度的增加，在三向應力作用下斷裂單元處應力三維度相差明顯，因而斷裂發生時單元應變也相差明顯。

圖8 對比載荷-位移曲線的試驗數據和仿真結果Fig.8 Comparisons of load-displacement curves between experimental and simulation results:（a）specimen-a;（b）specimen-b;（c）specimen-c;（d）specimen-d

4 結論

（1）通過分析EWK和X-W兩種金屬延性斷裂模型，結合兩種斷裂模型的各自特點提出了一個改進的三應力不變量延性金屬斷裂模型，并將其應用于金屬板材的靜強度漸進破壞過程預測。

（2）使用改進的三應力不變量延性金屬斷裂模型很好地預測了4種無初始裂紋缺陷的高強度變形鋁合金2A12-T4板材試件在靜強度漸進破壞時裂紋的萌生，擴展直至完全斷裂的全過程。

（3）改進的三應力不變量延性金屬斷裂模型很好地預測了4種鋁合金板材試件的載荷-位移曲線，準確地預測了斷裂時的載荷，較好地反映了延性金屬材料的斷裂過程。

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