基于時變Copula的La—VaR測度研究

江紅莉等

摘要：目前關于流動性調整的市場風險測度研究，主要是靜態模型。針對此，文章提出經流動性風險調整的市場風險動態測度的時變Copula方法。該方法使用連接函數構建流動性風險和市場風險的聯合分布，能夠兼顧這兩種風險的非正態特征和它們之間的動態相關結構。基于該方法度量了中國股市經流動性調整的市場風險La-VaR，Kupiec檢驗表明，基于時變Copula模型預測La-VaR的效果優于基于常相關Copula模型的預測效果，并且時變T-Copula模型優于時變N-Copula模型。

關鍵詞：市場風險；流動性風險；經流動性調整的市場風險；時變Copula；極值理論；La-VaR

中圖分類號：F84032 文獻標志碼：A 文章編號：10085831（2013）03002706

市場風險是指由資產價格波動導致投資者收益的不確定性。流動性風險源于流動性的不足，是指資產不能按照市場價格立即變現而使變現價格產生的不確定性[1]。投資者尤其是機構投資者變現資產的過程不可避免地將影響資產價格，產生流動性風險。在指令驅動市場中，如A股市場，如果投資者投資理念趨同、持股集中或者發生羊群效應，有可能進一步加大流動性風險[2]。因此，在測度市場風險時，有必要考慮流動性風險因子。20世紀90年代以來，隨著VaR技術在風險管理方面的廣泛應用，一些學者對傳統的VaR方法進行擴展，提出了經流動性調整的VaR模型（Liquidityadjusted VaR，簡稱La-VaR）。Bangia等[3]提出了著名的BDSS模型，創造性地在傳統VaR的基礎上加上可觀測的買賣價差作為流動性風險。此后，Le Saout[4]，Francois-Heude和Wynendaele[5]使用這種方法進行了研究，胡經生等[6]、陳劍利等[7]也借鑒Bangia等[3]的方法研究中國市場。宋逢明、譚惠[8]建立了一個對流動性風險進行調整的VaR模型，用以度量中國股票的價格風險和流動性風險。胡小平和李超杰[9]、謝福座和左柏云[10]基于Copula方法測度了經流動性調整的市場風險。張金清和李徐[2]、張蕊等[11]基于Copula方法研究了市場風險與流動性風險的集成（整合）風險。

Copula方法是多資產、多風險建模的常用方法，但現階段測度經流動性調整的市場風險，或者研究市場風險與流動性風險的集成（整合）風險時，主要采用的是常相關Copula模型（靜態Copula模型），即Copula函數的參數是常量，而事實上金融時間序列間的相關性會隨市場波動而發生變化，這就需要建立新模型來描述時間序列之間的動態（時變，Timevarying）相關結構。最先研究時變Copula模型的是Patton[12]，他提出用一個類似ARMA（1，10）的過程來描述二元Copula函數的相關參數。Patton[13]隨后基于時變Copula研究了匯率間非對稱相關性。Mendes[14]基于時變Copula測度了投資組合的CVaR。羅付巖、鄧光明[15]基于時變Copula模型估計了投資組合的VaR。周好文、晏富貴[16]基于時變Copula研究了基金、股票和國債動態尾部相關性。

市場處于常態時，流動性充裕，只需付出較小的流動性成本就能完成投資交易，而當市場巨幅下跌，市場風險較大時，投資者可能需要付出巨大的流動性成本才能完成交易，甚至不能進行交易（如金融危機時），也就是說，極端情況下，市場風險與流動性風險的相關性可能呈現出與正常情況下不一樣的特征。靜態Copula模型無法準確地刻畫這一特征，需要借助于時變Copula方法。基于此，本文基于時變Copula方法研究經流動性調整的市場風險：首先基于GARCH-EVT模型對市場風險因子和流動性風險因子建模，然后應用時變Copula測度市場風險因子與流動性風險因子間的動態相關結構，最后應用Monte Carlo方法模擬市場風險因子和流動性風險因子，計算經流動性調整的市場風險LaVaR和LaES值。

一、市場風險和流動性風險因子

市場風險因子一般使用收益率來描述。設Pt為資產的收盤價，將資產損失率定義為：

Rt = -ln（Pt /Pt -1 ）

流動性是證券市場的重要屬性，學術界一般認為流動性是在不改變價格或價格微小變動的情況下迅速完成大規模交易的能力。一般而言，若單位時間完成單位成交量引起的價格變化越小，則市場流動性越好。流動性風險源于流動性的不足，是指資產不能按照市場價格立即變現而使變現價格產生的不確定性[2]。刻畫流動性的指標很多，本文采用謝福座、左柏云[10]的流動性指標來描述流動性風險因子：

Lt=（Pmax-Pmin）/Pmin/Vt

其中，Pmax是日最高價，Pmin是日最低價，Vt為當日成交額。該指標的分子為股價的日波動率，可理解為日價差，這樣Lt可以理解為一個交易日內單位成交金額所導致的最大價格變動。Lt的值越小，則流動性越好。

進一步，可以根據該指標計算在一個交易日內變現金額為V0時的變現損失率，即

LRt=LtV0

那么，考慮了流動性的資產損失率為

LaRt = Rt +LRt =-ln（Pt /Pt -1 ） +

（Pmax -Pmin ）/Pmin /Vt *V0

二、測度模型

（一）GARCH模型

金融時間序列的一個顯著特點是存在條件異方差，Engle于1982年提出自回歸條件異方差（ARCH）模型來刻畫時間序列的條件二階矩性質，并通過條件異方差的變化來刻畫波動的時變性及聚集性。用ARCH模型對非平穩時間序列建模過程中會遇到滯后階數過大甚至趨于無窮，導致計算上的過高復雜性，這就引入了廣義ARCH—GARCH（P，Q）模型。

Rt=μt+εt

εt=σtzt，zt～i.i.F（·）

σ2t=w+∑qi=1αiε2t-i+∑pi=1βiσ2t-i

（1）

其中，p≥0，q≥0，α0≥0， αi≥0（i=1，2，…，q），βi≥0（i=1，2，…，p）。

（二）極值理論（EVT）

一般來說，金融資產收益都具有尖峰厚尾的特征，極值理論（EVT）僅針對尾部建模，避開了分布假設難題，有助于處理風險度量中的厚尾問題。基于EVT建模時，必須要求收益率序列獨立同分布，因此，本文首先采用GARCH模型對收益率序列建模，提取標準化殘差zt。假設F（z）為Z（zt所對應的隨機變量）的分布函數，u為閾值，z-u表示超額值，其超額分布函數記為：

Fu（y）=P（Z-u≤y|Z>u）=（F（z）-

F（u））/（1-F（u））

（2）

對于條件超額分布函數Fu（y），存在一個廣義Pareto分布函數GPDξ，β（y）使得Fu（y）≈GPDξ，β（y），即對于充分大的閾值u，超額值的分布函數可以用廣義Pareto分布（GPD）近似。即

GPDξ，β（y）=1-（1+ξyβ）-1/ξξ≠0

1-exp（-yβ）ξ=0

（3）

其中，ξ是形狀參數，β是尺度參數。ξ>0表示是厚尾的；當ξ<0時，0≤x≤-β/ξ。

由于下跌風險普遍受關注，所以本文只考慮下尾閾值。將基于閾值u的zt的分布定義為：

Fξ，β（z）=P（z） z

1-nun（1+ξz-uβ）-1/ξ z≥u

（4）

其中，P（z）是經驗分布函數（也可以用其他分布來描述，因為極值理論關心的是尾部數據的擬合，所以對中間數據的分布擬合沒有任何要求）。 （三）時變Copula

時變Copula與非時變Copula的主要區別在于Copula函數的參數，前者是動態變化的，后者是固定常數。Patton[12-13]提出了時變正態Copula（記作N-Copula）、時變T-Copula、時變rotated Gumbel Copula（記作RG-Copula）和時變Symmetrized Joe-Clayton Copula（記作SJC-Copula）四種函數，其中時變T-Copula函數僅僅假設相關系數是時變的，自由度υ仍然是常量。時變N-Copula、T-Copula的相關系數演化方程分別為

ρN， t = Λ（ωN + βN ρt-1 +

αN ×110∑10j = 1Φ -1（ut-j ）Φ -1（vt-j ））

（5）

ρT， t = Λ（ωT + βT ρt-1 + αT ×110∑10j = 1T-1（ut-j ；

υ）T-1（vt-j ；υ））

（6）

其中，Λ（x）≡（1-e-x）/（1+e-x）是一種修正的Logistic變換，它的引入是為了確保ρN，t始終落在（-1，1）內；Φ-1（·）表示標準正態分布的逆分布；T-1（·；υ）表示自由度為υ的標準T分布的逆分布。

（四）La-VaR計算步驟

按照上文的定義及測度模型，經流動性調整的市場風險La-VaR和La-ES計算步驟如下。

步驟1：分別對市場風險因子和流動性風險因子建模。檢驗市場風險因子和流動性風險因子的自相關性、ARCH效應，如果存在ARCH效應，就基于GARCH-EVT模型建模，否則在消除了自相關性后，直接用EVT建模。

步驟2：選擇合適的時變Copula函數類型對市場風險因子和流動性風險因子的聯合分布建模，準確地描述兩類風險因子間的動態相關結構。

步驟3：基于Monte Carlo模擬法，根據兩風險因子間的動態相關結構以及各自的邊緣分布，模擬出與原始數據具有相同特征的風險因子時間序列，計算經流動性調整的損失率，計算La-VaR和La-ES。

三、實證分析

（一）描述性統計分析

本文主要研究中國股票市場經流動性調整的市場風險。基于簡單但不失一般性的原則，選擇滬深300指數代表中國滬、深股票市場。樣本考察期為2005年1月4日至2010年12月31日，共1 456組數據。所有數據來源于大智慧軟件，數據處理采用S-plus8.0和Matlab7.9。

2005年1月4日至2010年12月31日，共1 456個交易日，其中231個交易日滬深300指數成交額（實際上是滬深300指數中包含的所有股票的總成交額，單位：元）在109～1010之間，1 225個交易日的成交額在1010～1011之間。因此，本文假定日成交額為1010，即V0=1010。

將滬深300指數的市場風險因子和流動性風險因子分別記為Rhsh和Lhsh，其描述性統計如表1所示。由表1可知，在樣本觀察期間內，滬深300指數平均收益均為正（表1中給出的是負對數收益率）。峰度統計量和J-B檢驗統計量均表明市場風險因子和流動性風險因子均不服從正態分布。ARCH效應檢驗表明，滯后10階，市場風險因子和流動性風險因子都具有明顯的條件異方差性。Ljung-Box Q統計量顯示，滯后10階，在5%的顯著水平下，市場風險因子和流動性風險因子均具有自相關性。單位根ADF檢驗表明，所有的序列都是平穩的。總體來看，市場風險因子與流動性風險因子均具有高峰、厚尾、條件異方差性。適合用GARCH模型建模。圖1給出了市場風險因子與流動性風險因子的變化趨勢。

注：*表示5%的顯著水平所對應的臨界值，其余的括號內的數值表示相伴概率p，Ljung-Box Q統計量和ARCH效應檢驗給出的是滯后10階的檢驗結果。 （二）邊緣分布建模

基于Ljung-Box Q檢驗，并結合AIC和SC準則，最終選擇AR（1）-GARCH（1，1）-t對Rhsh建模，選擇AR（5）-IGARCH（1，1）-t對Lhsh建模。為節約篇幅，略去均值方程的參數估計結果，僅給出波動方程的參數估計結果，見表2。

圖1 滬深300指數的市場風險因子和流動性風險因子

對市場風險因子和流動性風險因子的標準化殘差進行Ljung-Box Q檢驗和ARCH效應檢驗（表2的最后兩列），發現消除了自相關性和ARCH效應，說明邊緣分布建模是合理的，可以應用極值理論對標準化殘差的尾部分布建模。

基于EVT建模，關鍵問題之一是確定閾值u。根據市場風險因子和流動性風險因子的標準化殘差序列，作出MEF圖（平均超額函數圖），如圖2所示。從圖2可以看出，當u在-1左右時，MEF圖基本為一條直線，但不能精確到具體的值。采用試驗的辦法，分別將-0.8到-1.2之間的數作為閾值，采用極大似然函數法進行參數估計，選擇最大似然函數值所對應的閾值作為下尾閾值，下尾閾值及下尾分布的參數估計結果見表3。

圖2 市場風險因子和流動性風險因子的經驗超額函數圖（MEF）

（三）時變Copula的參數估計

對風險因子的標準化殘差序列進行概率積分變換，得到在（0，1）上服從均勻分布的時間序列。借助于Matlab7.9估計時變N-Copula和時變T-Copula模型的參數，結果如表4所示。

由表4可知，無論是時變NCopula還是時變TCopula，市場風險因子與流動性風險因子的相關系數的滯后項系數為負，表明市場風險因子與流動性風險因子的相關性具有一定的“矯正”能力。圖3給出了基于時變N-Copula和時變T-Copula的相關系數演化趨勢，發現，基于時變N-Copula相關系數的波動幅度較之時變T-Copula相關系數的波動幅度大。對時變相關系數進行描述性統計分析（表5），發現：時變相關系數的峰度要低于正態分布的峰度，J-B統計量也表明相關系數不服從正態分布；滯后10階，具有ARCH效應；Ljung-Box Q統計量表明相關系數序列具有較強的自相關性（這與表4得出的結論是一致的）。

注：*表示1%的顯著水平所對應的臨界值，**表示5%的顯著水平所對應的臨界值，其余的括號內的數值表示相伴概率p，Ljung-Box Q統計量和ARCH效應檢驗給出的是滯后10階的檢驗結果。

圖3 市場風險因子與流動性風險因子的動態相關系數 （四）模型評價

為檢驗時變Copula建模的合理性，并與常相關Copula模型進行比較，對經流動性調整的市場風險值La-VaR進行Kupiec檢驗，也稱LR似然比檢驗，其基本思想是假定實際考察天數為N0，失敗天數為n，則失敗率為p=n/ N0。設La-VaR置信度為p*。假定La-VaR估計具有時間獨立性，則失敗天數n服從參數為N0和p的二項分布，即n～B（N0，p），在零假設p=p*下，似然比LR=-2ln[（1-p*） N0-n（p*）n]+2ln[（1-n/N0） N0-n（n/ N0）n]～χ2（1），在5%的顯著水平下，如果LR>3.841 5，拒絕本模型。表6給出了1%和5%顯著水平下的檢驗結果：失敗天數、失敗率及LR統計值。

由表6可以看出，無論95%的置信度還是99%的置信度，基于時變Copula模型的La-VaR預測效果均優于常相關模式下的預測效果。T-Copula模型的預測效果要普遍要優于N-Copula，一個可能的解釋是T-Copula模型能較好地刻畫上、下尾部相關性。但無論是N-Copula，還是T-Copula，99%置信度下的預測效果要優于95%置信度下的預測效果。

進一步，基于時變T-Copula模型，采用Monte Carlo方法可以得到，若投資1單位，當股市日成交額為1010元，即V0=1010時，樣本期內，95%置信度下，經流動性調整的市場風險日均LaVaR為0.029 7單位，日均La-ES為0.048 0單位；市場風險日均VaR為0.036 4單位，日均ES為0.055 0單位；流動性風險日均VaR為0.000 3單位，日均ES為0.000 7單位。由此可見，當股市日成交額為1010元時，中國股市主要面臨的是市場風險。

四、結論

Michael認為，流動性風險可能是繼信用風險之后，金融業面臨的下一個最重要的風險，而流動性風險的研究遠遠落后于市場風險和信用風險的研究[17]。現階段主要采用靜態Copula方法測度經流動性調整的市場風險，本文將時變Copula方法引入到風險測度中，提出了基于時變Copula的經流動性調整的市場風險動態測度方法，并基于滬深300指數測度了中國股票市場經流動性調整的市場風險LaVaR和LaES。Kupiec檢驗發現，在預測La-VaR時，基于時變Copula模型的效果要優于常相關下的Copula模型，并且，時變T-Copula的預測效果優于N-Copula的預測效果。

參考文獻：

[1]AMIHUD Y，MENDELSOHN H.Asset pricing and the bid-ask spead[J].Journal of Financial Economics，1986，17：223-249.

[2]張金清，李徐. 流動性風險與市場風險的集成度量方法研究[J].系統工程學報，2009，24（2）：164-172.

[3]BANGIA A，DIEBOLD F X，SCHUERMANN T，STROUGHAIR J D.Modeling liquidity risk，with implications for traditional market risk measurement and management[R].The Wharton Financial Institutions Center，NYU Working Paper，No. FIN-99-062.

[4]Le SAOUT E.Incorporating liquidity risk in VaR models[R].Working paper，University de Rennes，2001.

[5]FRANOIS-HEUDE A，WYNENDAELE V P.Integrating liquidity risk in a parametric intraday VaR framework[C]//7th Bergian Financial Research Forum，Liége，2002.

[6]胡經生，王榮，丁成.VaR方法及其拓展模型在投資組合風險管理中的應用研究[J].數量經濟技術經濟研究，2005（5）：141-150

[7]陳劍利，葉東僵，周明華.VaR在流動性風險測度組合的運用[J].浙江工業大學學報，2009，37（5）：586-590.

[8]宋逢明，譚惠. VaR模型中流動性風險的度量[J].數量經濟技術經濟研究，2004（6）：114-123.

[9]胡小平，李超杰.基于Copula方法計算LaES[J].西安電子科技大學學報：社會科學版，2009，19（4）：59-64.

[10]謝福座，左柏云.基于LaCopulaEVT模型的我國股票市場風險價值研究[J].南京財經大學學報，2010（4）：52-58.

[11]張蕊，王春峰，房振明，等.市場風險與流動性風險整合風險度量研究[J].北京理工大學學報：社會科學版，2010，12（5）：18-22.

[12]PATTON A J.Modeling timevarying exchange rate dependence using the conditional copula[R].Department of Economics，University of California，San Diego，2001.

[13]PATTON A J.Modeling asymmetric exchange rate dependence[J].International economic review，2006，47（2）：527-556.

[14]MENDES B V M.Computing conditional VaR using time-varying copulas[J].Revista Brasileira de Finanas， 2005，3（2）：251-265.

[15]羅付巖，鄧光明.基于時變Copula的VaR估計[J].系統工程，2007，25（8）：28-33.

[16]周好文，晏富貴.基于時變Copula的基金、股票和國債動態尾部相關性分析[J].西安交通大學學報：社會科學版，2010，30（4）：21-26.

[17]MICHAEL.The trading dynamics of closesubstitute futures markets：Evidence of margin policy spillover effects[J].Journal of Multinational Financial Management，2004，14（4/5）：463-483.

Measurement of Liquidityadjusted VaR Based on Timevarying Copula

JIANG Hongli1， HE Jianmin2， HU Xiaoping2

（1. School of Finance and Economics， Jiangsu University， Zhenjiang 212013， P. R. China；

2.School of Economics and Management， Southeast University， Nanjing 211102， P. R. China）