“數形結合”幫助構建數學模型

任美全

教學目標：

1.通過觀察發現圖形特點，從而探索點陣中的規律。

2.通過本活動的教學，培養歸納，概括能力。

3.增強學生的審美觀念，培養學生審美能力。

教學重點：在活動中培養分析、推理的思維能力，直觀感知“點陣”有序排列。

教學難點：用不同的算式表示平方數，并能正確找到邊長。

教具、學具：課件，點陣圖。

教學活動：

1 激發興趣、引入新知

1.課件出示奧運會方陣圖片，學生說說感受。如果把每個演員看作一個點，（演示），再把這些點有規律地排列起來，就形成了一個美麗的圖形（出示），這就是今天我們研究的點陣圖。

2.介紹點和點陣。

師：二千多年前，希臘的數學家就開始研究點陣了，這節課，我想請你們也來嘗試一下，當一回科學家，好不好？

【設計意圖】利用“奧運會方陣”圖引出點陣，激發學生的學習興趣和求知欲望，介紹點陣體現數學知識的文化以及數學在生活中的應用價值。

2 多方觀察、體驗探究

2.1 探究橫縱劃分規律

師：我們一起來看看數學家們當年研究的點陣圖，邊看邊說出各個點陣的點子數。

（依次出示前四個正方形點陣圖，并逐步引導學生想像、猜測：下一個點陣圖會是什么樣子呢？有幾個點構成？）

生：根據規律猜想。

師：在心里想第三個、第四個點陣圖是什么樣子。（示圖）與你的想像一樣嗎？

師：怎么猜得這樣準確？有竅門嗎？

教師根據學生的回答，板書第一組算式。

1×1=1

2×2=4

3×3=9

4×4=16

師：像1、4、9、16這樣的數叫平方數。正方形點陣最能體現平方數的特點。（板書：平方數）

師：這種數法真是又快又方便！照這樣下去，第五個點陣有多少個點呢？第六個呢？第七個？八個？……第100個呢？ 第n個點陣呢怎樣用算式表示？”

師：好像很有規律哦？誰能用一句話概括一下你發現的規律？

生：這樣有序排列下去，第幾個點陣點的個數就是幾的平方。

師：你們能畫出第五個點陣圖嗎？

指名學生上臺用圓形磁鐵擺，其余學生畫一畫。

【設計意圖】讓學生體會到點陣中的規律可以從形狀和點數這兩方面進行，從這兩方面再來研究這組點陣中的規律。通過正方形方陣計算點數，得到平方數的特征。體現了數形結合的思想，借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。注重學生對基礎知識、基本技能的理解和掌握。

2.2 探究拐彎劃分規律

師：剛才同學們發現了點陣中的一個規律，這些點陣中還有其它的規律嗎？還能換個角度去思考嗎？

小組合作研究。（課件演示）

學生匯報，引導學生列算式。

生：點陣中的個數是：

1=1

1+3=4

1+3+5=9

1+3+5+7=16

………………

師：這組算式的規律是什么？

生：從1起連續奇數的和。（板書）

師：如果按這樣的劃分方法劃分第六個正方形點陣，它的點數該如何用算式來表示？第8個呢？第n個呢？

生根據規律寫出算式并總結規律。

師：請用你的方式概括一下你發現的規律。

生：這樣劃分后，點陣中的規律是：1，1+3，1+3+5，1+3+5+7，……1+3+3+7+……+（2n-1）

【設計意圖】《課標》提出重視學生在數學學習活動中的主體地位，學生通過自主探索等方式通過實踐，親身參與教師設計的教學從而在數學思考、問題解決和情感態度方面得到充分的發展。當學生獨立思考仍然不能解決的問題，就會產生合作學習的需要。體現了學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者這一新課程理念。

2.3 探究斜著劃分規律

師：同學們從不同的角度研究了同一點陣不同的規律，想一想，還有其他的規律嗎？

師：請同學們獨立思考，寫出算式，然后匯報。”

問：你是從哪個角度研究的呢？（學生匯報。）

（教師板書）

第1個： 1=1

第2個： 1+ 2+1=4

第3個： 1+2+3+2+1=9

第4個： 1+2+3+4+3+2+1=16

師：猜一猜老師接下來想提什么問題？（概括規律）

【設計意圖】《課標》指出：數學活動經驗的結累是提高學生數學素養的重要標志。在一二活動中設計了有效的數學探究活動，學生結累了數學活動的經驗和數學解決問題的經驗。因此，在第三個活動中，讓學生自己獨立思考，教師巡視，再作全班交流。這樣既面向全體學生又關注了個體差異，從而增強學習數學的興趣和信心。

2.4 總結提升

師：同學們，剛才我們從三個不同角度觀察同一組正方形點陣，得到了三條不同的規律，也許再換一個角度觀察，還可以得到新的規律，今天咱們暫不作研究。既然是同一組點陣，那么黑板上的三組算式的得數就應該分別相等。我們可以用等于號將它們連接起來。這樣，三種不同的算式都可以看作是求平方數來計算。

不過我們怎樣來求這平方數呢？請同桌討論交流。

這一知識你們掌握了嗎？我出兩題考考大家。

出示： 1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=（ ）

1+3+5+7+9+11+13+15=（ ）

教師小結：今天我們研究了正方形點陣，在學習這一內容時，你們都用到了哪些學習數學的方法呢？觀察和思考是我們學習數學必不可少的方法，那么今天我們還學習了一種新的方法，借助圖形來研究數，最終發現了點陣中隱含的規律。

【設計意圖】《課標》指出：數學知識的教學，應注重學生對所學知識的理解，體會數學知識之間的關聯。在學生從不同角度研究了不同的規律后，進行一個總結和提升，注重了在數學教學中知識的“生長點”與“延伸點”引導學生感受數學的整體性。

3 延伸應用，形成策略

生活中，除了正方形點陣外，還有其它形狀的點陣嗎？

3.1 長方形點陣（書P83試一試第1題）

學生獨立用算式表示點陣中點的個數并發現規律。

3.2 三角形點陣（書P83試一試第2題）

學生從不同角度劃分點陣，尋求多種解決問題的方法。

3.3 自創點陣圖（三道題目任選一道題目完成）

a.根據圖形布點。b.根據數字設計點陣圖。c.自由創作點陣圖。

【設計意圖】學生在“探究”和“思考”的過程中積淀了數學活動經驗，通過延伸應用培養學生舉一反三的能力，學生通過觀察、嘗試、歸納、畫圖等活動中發現了規律，培養學生運用這些問題解決的策略解決實際問題，這樣既發展了學生合情推理能力也發展了學生演繹推理能力。

4 參與評價，總結全課

4.1 引導學生回憶總結

師：通過這節課的學習，你有什么收獲？

總結：同學們，我們今天研究了點陣中的規律，用點陣圖發現了一些數的特征。由于圖形具有直觀形象的特點，會使抽象的數學問題變得生動具體，是我們學習數學的一大法寶，我們以后在研究數學問題時，要學會利用圖形來幫助解決。在生活中，到處都存在各種各樣的規律，老師希望同學們從現在開始做個有心的人，在以后的生活和學習中，多觀察、多思考，繼續去發現更多、更奇妙的規律。

4.2 參與評價，增強自信

師：同學們這節課你對自己或同學的表現滿意嗎？能評價一下自己或同學的表現嗎？

最后，老師送給大家一句話：“善于觀察，勤于思考，數形結合，發現規律.哪里有數學，哪里就有美！數學美把自然規律抽象成一幅簡潔準確的圖像！”

【設計意圖】評價不僅要關注學生的學習結果，更要關注學生在學習過程中的發展和變化。因此，讓學生總結反思的同時，參與評價，通過評價得到的信息，可以了解學生數學學習達到的水平和存在的問題，幫助教師進行總結與反思。

5 板書設計：

點陣中的規律

1 = 1 = 1 = 1²平方數

4 = 1+3 = 1+2+1 = 2²

9 = 1+3+5 = 1+2+3+2+1 = 3²

16 = 1+3+5+7 = 1+2+3+4+3+2+1 = 4²

25 = 1+3+5+7+9 = 1+2+3+4+5+4+3++2+1 = 5²