海水中電偶極子電場分布有限元分析

刁愛民，楊慶超，王杏青

(海軍工程大學(xué) a.科研部;b.電氣與信息工程學(xué)院 電磁環(huán)境與防護(hù)系，武漢 430033)

海水中電偶極子的電磁場是目前水下通訊和水下目標(biāo)探測方面的研究重點(diǎn)。電偶極子是指由離開一定距離的電量相同、符號相反的兩個點(diǎn)電荷組成的系統(tǒng)，兩個點(diǎn)電荷之間的距離與待求場點(diǎn)到他們中心的距離相比很小，是最簡單也是最基本的一種電磁場場源，求解電偶極子產(chǎn)生的電場也就可計(jì)算出任意場點(diǎn)的電場值。

海水是一種導(dǎo)電媒質(zhì)，當(dāng)海水的深度較大時，假定海水的電導(dǎo)率恒定不變，可將海水看作無限大導(dǎo)體空間，并利用有限元方法對感興趣的區(qū)域進(jìn)行有限分割，選取適當(dāng)?shù)牟逯岛瘮?shù)，就可近似推導(dǎo)電場的解析表達(dá)式。當(dāng)海水深度較小時，可將深海等效為空氣-海水兩層模型。

1 計(jì)算模型

1.1 深海點(diǎn)電荷模型［1］

將海水的電導(dǎo)率視為恒定不變，如圖1 所示，電荷量為Q 的點(diǎn)電荷的電場公式為:

用一個半徑為r 的實(shí)心等勢鐵球體代替點(diǎn)電荷，若在球體上加上均勻的固定電勢φ0，則由高斯定律可得:

取另一半徑為R 的高斯面，由高斯定理得:

由E=εD，可得即電勢為φ0，半徑為r 的等勢球體與帶電量為Q=4πεrφ0的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的遠(yuǎn)場一樣，可以相互代替。即深海點(diǎn)電荷模型可以是一個等勢小球。

圖1 點(diǎn)電荷模型

2 深海中電偶極子有限元模型

由點(diǎn)電荷模型可知，可用2 個實(shí)心等勢鐵球體來代替點(diǎn)電荷構(gòu)建一個電偶極子模型，如圖2 所示。由于電偶極子是指由相距很小距離的電量相同，符號相反的2 個點(diǎn)電荷組成的系統(tǒng)，故應(yīng)滿足2 個條件:①小球的半徑比二者之間的距離至少小1 個數(shù)量級;②求解的范圍比二者之間的距離至少高1 個數(shù)量級。即該模型中電場源為2 個電勢相反的球體，求解域?yàn)槌浞执蟮某錆M海水的立方體，邊界條件為自然邊界條件。

圖2 電偶極子有限元模型

2 電偶極子電場的微分方程和邊界條件［2］

2.1 深海電偶極子有限元模型

式中:φ 表示介質(zhì)中以及金屬表面的電位值;φ0是邊界上電位的給定值，該模型中邊界的電位為0。

2.2 空氣-海水兩層有限元模型［3］

當(dāng)空間分成如圖3 所示的2 個平面，其中一半充滿空氣，另一半為不流動的海水，空氣為區(qū)域1，海水為區(qū)域2。以空氣-海水界面為z =0 的平面，空氣占據(jù)z ＞0 的上半空間，而海水則占據(jù)下半空間，空氣的電磁特性為常數(shù)ε0、μ0和σ0(σ0=0)，假定海水的電磁特性為常數(shù)ε、μ0和σ，則兩部分介質(zhì)中的傳播常數(shù)分別為:

圖3 空氣—海水兩層模型

假設(shè)在海水中有一電流源J，取時諧因子為ejωt，則電場波動方及邊界條件為［4］:

選取一個足夠大的六面體區(qū)域包圍電流源J，則在六面體的外邊界上，電磁場的邊界條件是:

3 有限元方程的求解

應(yīng)用廣義變分原理，對于研究的電磁場方程及對應(yīng)的邊界條件的變分為［5］:

采用的基本單元是六面體單元，并采用了與常規(guī)有限元不同的網(wǎng)格剖分技術(shù)。具體方法是將場域劃分成若干個網(wǎng)曲面，每個曲面層由若干個六面體單元組成。由于在海水平面剖分單元的密度要求高，而在所取區(qū)域上部空氣中和深部單元的密度要求低，因而在實(shí)際剖分時對于空氣中和不同深度海水中的曲面層是永不等距的網(wǎng)格剖分，分別采用向上收縮網(wǎng)格和向下收縮網(wǎng)格的方法，大大地減少了單元和節(jié)點(diǎn)數(shù)。經(jīng)求導(dǎo)，并整理，綜合后得總剛度矩陣K:

式中:K 為n×n 方陣;b 為1 ×n 列陣;n 為剖分節(jié)點(diǎn)數(shù)。

將其代入式(8)即可求得垂直電偶極子的電場有限元方程組。

將其代入式(8)即可求得水平電偶極子的電場有限元方程組。

對于式(8)的有限元方程，可通過多種解方程組的方法進(jìn)行求解，直接解法中有LU 分解、Gasuss 法和帶狀矩陣算法等;迭代法有共軛梯度法和復(fù)雙共軛梯度法。當(dāng)線性方程組系數(shù)矩陣的條件數(shù)較差時，LU 分解方法最為穩(wěn)定。如果系數(shù)矩陣中將散度效正項(xiàng)考慮進(jìn)去，則方程組的系數(shù)矩陣變?yōu)椴粚ΨQ，系數(shù)矩陣需要存儲滿陣，這樣就很難滿足三維電磁問題的求解。復(fù)雙共軛梯度法收斂速度快，適用于大型稀疏對稱矩陣，采用一維壓縮內(nèi)存存儲方法，在計(jì)算機(jī)上可實(shí)現(xiàn)三維電磁問題的求解。

4 誤差分析

在深海模型中，海水的介電常數(shù)為81，球體半徑為0.1 mm，兩球間距離l=10 mm，球表面的電位為φ0= ±105V，則該模型等效于一個電荷量q=320π(C)，距離l=10 mm 的電偶極子產(chǎn)生的場［6］。

用Matlab 計(jì)算得到該電偶極子的場如圖4 所示。

圖4 電偶極子電勢分布

穿過電偶極子的對角線上的電場分布如圖5 所示。

圖5 電偶極子對角線上的電場分布

有限元法求得的兩小球的產(chǎn)生的電場分布如圖6所示［7］。

圖6 ansoft 仿真電偶極子的電場分布

將二者對角線的(-3，3)部分的電場分布進(jìn)行比較，結(jié)果如圖7 所示，有限元的計(jì)算結(jié)果變化較為平緩，誤差較大，原因是小球的半徑再小也不能近似為零，所以近場的誤差較大，符合實(shí)際。結(jié)果表明小球的曲率越大，附近的電場也就越大，計(jì)算結(jié)果也會更加陡峭，跟理論的結(jié)果更相近，但對剖分精度的要求加大，同時增加了計(jì)算量。

圖7 對角線上(-3，3)部分的電場分布比較

將二者對角線(-60，-8)部分的電場分布進(jìn)行比較，如圖8 所示，結(jié)果表明二者幾乎重合，表明小球的電偶極子模型的遠(yuǎn)場效果很好，同時對小球的半徑的數(shù)量級要求不高，較為容易實(shí)現(xiàn)。

圖8 對角線上(-60，-8)部分的電場分布比較

5 結(jié)束語

本文利用高斯定律從理論上分析了等勢小球和點(diǎn)電荷的電場分布的一致性，同時利用有限元方法推導(dǎo)出了海水中靜態(tài)和時諧電偶極子的電場有限元方程，通過對有限元方程的求解計(jì)算得到海水中任意場點(diǎn)的電場值。同時利用Matlab 建立的電偶極子模型比較、分析了靜態(tài)電偶極子模型的誤差，結(jié)果表明有限元電偶極子模型具有很好的遠(yuǎn)場效果。可見，運(yùn)用文中提出的模型在深海區(qū)域?qū)﹄妶雠紭O子進(jìn)行分析是可行的。

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