n個冪等矩陣線性組合的冪等性

崔潤卿，李幸蘭

（河南理工大學 數學與信息科學學院，河南 焦作 454003）

n個冪等矩陣線性組合的冪等性

崔潤卿，李幸蘭

（河南理工大學 數學與信息科學學院，河南 焦作 454003）

給出了當 P1，P2，…，Pn是n個不同的、非零的、兩兩可交換的 m×m冪等矩陣，并且c1，c2，…，cn是非零復數時，線性組合 P=c1P1+c2P2+…+cnPn在兩兩乘積等于零與兩兩乘積等于其中一個的條件下仍為冪等矩陣的一組充分條件。

冪等矩陣；線性組合；冪等性

0 引言

一些特殊矩陣線性組合的冪等性問題在概率統計中有著重要的應用［1-2］。 近年來，2個、3個以及4個冪等矩陣的線性組合仍然是冪等矩陣的問題被很多國內外學者所研究［3-10］。2000年，Baksalary和Baksalary［1］給出了兩個冪等矩陣的線性組合仍為冪等矩陣的充要條件。之后關于冪等矩陣線性組合的研究有很多，并且已經延伸到了投影、廣義投影和超廣義投影的線性組合［2-3］。2004年，Baksalary［2］給出了3個非零冪等矩陣P1、P2、P3滿足P2P3=0=P3P2線性組合的冪等性的刻畫。之后Ozdemir和Ozban［7］給出了3個非零的兩兩可交換的冪等矩陣線性組合的冪等性的一些充分條件。2005年，王月清等［8］給出了3個冪等矩陣線性組合的冪等性的一些充分條件，推廣了文獻［1］的結果。2010年，謝濤［9-10］給出了3個和4個冪等矩陣線性組合的冪等性的另一組充分條件。本文應用更為簡便的方法研究了n個冪等矩陣線性組合的冪等性的充要條件，給出了更為一般的結果。

設C是復數集，Mn(C)表示C上所有階方陣構成的集合。F?Mn(C )表示Mn(C)中所有兩兩可交換的非零冪等矩陣構成的集合。設 c1，c2，…，cn∈C{0}，P1，P2，…，Pn∈F。本文的主要工作是討論

是冪等矩陣的一組充分條件。

1 主要結果及證明

定義1 P∈Cn×n，若 P2=P，則稱 P為冪等矩陣。

定理 1 設 P1，P2，…，Pn∈F ，令 γ=(c1，c2，…，cn)，其中c1，c2，…，cn∈C{0}，Pi≠0，PiPj= PjPi（i，j=1，…，n），P=c1P1+c2P2+…+cnPn，當PiPj=Pi（i，j=1，…，n，i≤j），且

（i）若 n為偶數，則當 γ=(c1，c2，…，cn)= (-1，1，-1，…，1)時，P為冪等矩陣。

（ii）若 n為奇數，則當 γ=(c1，c2，…，cn)= (1，-1，1，…，1)時，P為冪等矩陣。

證明 P=c1P1+c2P2+…+cnPn，若P為冪等矩陣，則P2=P，即

將（2）式的系數寫成矩陣形式，有

（3）式中：

（i）若 n為偶數，則當 γ=(c1，c2，…，cn)= (-1，1，-1，…，1) 時，

把 γ=( c1，c2，…，cn)=(-1，1，-1，…，1 )代入（3）式，變為

即P為冪等矩陣。

（ii）若 n為奇數，則當 γ=(c1，c2，…，cn)= (1，-1，1，…，1)時，P為冪等矩陣。

把 γ=(c1，c2，…，cn)=(-1，1，-1，…，-1)代入（3）式，變為

定理1證畢。

推 論 1 設 P1，P2，…，Pn∈F ，c1，c2，…，cn∈C{} 0 ，Pi≠0，PiPj=PjPi(i，j=1，…，n)，n為偶數，P=c1P1+c2P2+…+cnPn，當P1Pj=P1，PiPj=Pj(i≤j，i≠1)，且 γ=(c1，c2，…，cn)= ( -1，1，-1，…，1)時，P為冪等矩陣。

推 論 2 設 P1，P2，…，Pn∈F ，c1，c2，…，cn∈C{} 0 ，Pi≠0，PiPj=PiPj(i，j=1，…，n)，n為奇數，P=c1P1+c2P2+…+cnPn，當 P1Pj=P1，PiPj=Pj(i≤j，i≠1)，且 γ=(c1，c2，…，cn)= (1，-1，1，…，1)時，P為冪等矩陣。

［10］中的結果可由定理1的結論作為n=4時推出。

對參考文獻［10］中定理1進行推廣。

當 n為奇數時，線性組合的系數為 γ=(1，-1，1，…，1)，其中有n+個1，n個-1，對其進行排列組合，共有+12種情況，其中每一種排列組合通過定義PiPj=Pi或 PiPj=Pj又有n個充分條件，則共有n·+12個充分條件。同樣，當n為偶數時，線性組合的系數為γ=(-1，1，-1，…，1)，里面有個1，個-1，對其進行排列組合，共有種情況，每一種排列組合通過定義 PiPj=Pi或 PiPj=Pj又有n個充分條件，則共有n·C個充分條件。

定 理 2 設 P1，P2，…，Pn∈F ，c1，c2，…，cn∈C{0}，Pi≠0，PiPj=PjPi(i，j=1，…，n)，P=c1P1+c2P2+…+cnPn，當 PiPj=0(i≠j)，且() c1，c2，…，cn=(1，1，…，1)時，P為冪等矩陣。

證明 因為PiPj=0，i≠j，則

定理2證畢。

定理3證畢。

注 定理3解決了n個兩兩可交換非零冪等矩陣的線性組合，在兩兩乘積只有一個不為0，其余全為零條件下（1）式的冪等性的充分條件。

參考文獻：

［1］ Baksalary J K，Baksalary O M.Idemoptency of linear combinations of three idempotent matrices［J］.Linear Algebra Appl，2000，321：3-7.

［2］ Baksalary O M.Idemoptency of linear combinations of three idempotent matrices，two of which are disjoint［J］.Linear Algebra Appl，2004，388：67-68.

［3］ Baksalary J K，Baksalary O M，Styan G P H.Idemop?tency of linear combinations of an idempotent matrix and a tripotent matrix［J］.Linear Algebra Appl，2002，354：414-418.

［4］ Benitez J，Thome N.Idemoptency of linear combina?tions of an idempotent matrix and t-potent matrix and commute［J］.LinearAlgebra Appl，2004，403：414-418.

［5］ Baksalary O M，Benitez J.Idemoptency of linear combi?nations of three idempotent matrices，two of which are commuting［J］.LinearAlgebraAppl，2007，424：320-337.

［6］ Horn R A，Johnson C R.Matrices analysis［M］.Cam?bridge：Cambridge University Press，1991.

［7］ Ozdemir H，Ozban A Y.On idempotency of linear com?binations of idempotent matrices［J］.Applied Mathemat?ics and Computation，2004，159：439-448.

［8］ 王月清，王愛麗.3個冪等矩陣線性組合的冪等性［J］.寶雞文理學院學報：自然科學版，2005，25（3）：166-167.

［9］ 謝濤.關于3個冪等矩陣線性組合的若干探討［J］.寶雞文理學院學報：自然科學版，2010，30（1）：11-13.

［10］謝濤.四個冪等矩陣線性組合的冪等性［J］.湖北師范學院學報：自然科學版，2010，30（4）：15-18.

Idempotency of Linear Combination ofnIdempotent Matrices

CUI Run-qing，LI Xing-lan
（School of Mathematics and Information Science，Henan Polytechnic University，Jiaozuo 454003，Henan，China）

LetP1，P2，…，Pnbendifferent nonzero mutually commutativem×midempotent matrices andc1，c2，…，cnbe nonzero complex number，a set of sufficient conditions are given for the matrixP=c1P1+c2P2+…+cnPnstill to be an idempotent matrix under the condition that the mutual product is zero or the mutual product is equal to either one.

idempotent matrix；linear combination；idempotency

O151.21

：A

：1673-0143（2013）02-0007-03

（責任編輯：強士端）

2012－12－16

河南省高等教育教學改革研究省級立項項目（2012SJGLX125）

崔潤卿（1966—），男，副教授，研究方向：矩陣分析。