一類海洋生態動力系統最優捕獲策略的數值模擬

李 丹

（浙江海洋學院 數理與信息學院，浙江 舟山 316004）

0 引言

生態動力學數值模擬研究是指用數學公式將光合作用過程和生物中的生態生理學過程和食物網中營養關系表示成源函數的形式，即將海水運動、海水中營養鹽的輸運和擴散、營養鹽向浮游植物的轉化以及生物捕食關系變成可以計算的形式.這是海洋生態動力學研究的一個重要方向.本文主要用理論推導和數值模擬相結合的方法，分析了模型的動力學特性并給出了以最大利潤為目的的最優捕獲策略的存在性.

1 問題的描述

考慮營養鹽、自養浮游植物和食植魚類相互作用關系，建立模型如下：

其中，N為營養鹽濃度；P為浮游植物濃度；Z為食植魚類濃度；e為污染強度；Rm為食植魚類的最大攝食率；h為人類對食植魚類的捕撈率。h為模型的參數,其它參數取值如下表1所示：

表1 參數意義及其取值

2 正平衡點的存在性

問題（1）的平衡點滿足下列方程：

方程組（2）的解為：

圖1 函數d1d2－d3的圖像

圖2 函數Z*的圖像

圖3 函數 f（h）的圖像

圖4 函數 f′（h）的圖像

圖5 函數y=f′（h）和y=0.1的圖像

根據文[1]，我們有如下結論.

定理 1 E1是系統（1）的非負平衡點.當 E＝0.05，0＜h＜0.1544 時，E2是系統（1）的正平衡點.

文[1]中推導出了E2是系統（1）的穩定平衡點的條件包括d1d2-d3＞0因為d1d2-d3包含超越函數，無法根據d1d2-d3＞0給出h具體的表達式，我們通過Matlab軟件畫出了該超越函數在區間［0，0.16］的圖像，并通過數值計算的搜索法得0.0002＜h≤0.1544.

定理 2 當 E＝0.05，h＞0.1722 時，E1是系統（1）的穩定平衡點.當0.0002≤h＜0.1544 時，E2是系統（1）的穩定平衡點.

4 以最大利潤為目標的捕獲策略

假設食植魚在市場上單位價格為p1，單位捕獲量的費用為常數c，利潤Q≥0，則此時食植魚的捕獲產出量為Y（h）＝hZ，利潤為：

Q（h）＝p1hZ*-ch.（3）

因為在平衡點E1中Z＝0，下面我們只討論E2平衡狀態下的最優捕獲策略.

將平衡點E2代人利潤函數（3），可得：

上面的表達式非常復雜，不能求出函數Q（h）極值點的具體值,下面我們主要用Matlab軟件畫出函數圖像,討論最優捕獲策略的存在性，且當p1，c已知時，可借助數值方法計算最優捕獲量的近似值.

令 f（h）＝h*Z*，由圖 2-圖 4 和數值計算可得如下結論：1）當 0＜h＜0.16，隨著捕獲率h的增加，食植魚類的濃度逐漸減少并趨于0；2）當c／p1＜8.7608 時，Q（h）在區間［0，0.16］內有且僅有一個極大值點；3）當c／p1＝0.1 時，Q（h）在區間［0，0.16］內有且僅有一個極大值點,該點的近似值為 h＝0.02045.

［1］王洪禮,董占琢.海洋生態系統非線性動力學研究[J].海洋技術,2009,28(1):50-54.

［2］孫嘉軼.幾類捕食-食餌系統的最優捕獲策略[D].哈爾濱:哈爾濱理工大學,2010.

［3］王高雄,周之銘,朱思銘,王壽松，編.常微分方程[M].3版.北京:高等教育出版社,2008.

［4］陳長勝.海洋生態系統動力學與模型[M].北京:高等教育出版社,2003.