在微積分教學中融入數學建模思想

龐 亮

（華中農業大學 楚天學院，湖北 武漢430205）

0 引言

近十余年，我國普遍興起了數學建模教學和數學建模競賽，推動了高校數學的教學改革。數學建模是溝通數學理論與實際問題的中介和橋梁，培養學生數學建模能力是提高數學思維和應用能力的重要手段，在微積分教學過程中穿插建模能力訓練對學生是十分必要的。

2012年湖北省高等學校省級教學研究項目 “獨立學院數學建模與大學生實踐創新能力培養研究”和華中農業大學楚天學院教學研究項目《微積分優質課程建設》中，結合各專業特點，將本校微積分劃分為四類，分別是微積分A，B，C，D，本文結合食生院學生的專業特點，嘗試在微積分B教學中融入數學建模的思想。以實驗室為基礎、以學生為中心、以問題為主線，以培養能力為目標來組織教學工作。通過教學使學生了解利用數學理論和方法去分析和解決問題的全過程，提高他們分析問題和解決問題的能力；提高他們學習微積分的興趣和應用微積分的意識和能力，使他們在以后的工作中能經常性地想到用數學去解決問題。教師利用一些事先設計好的問題啟發學生主動查閱文獻資料和學習新知識，鼓勵學生積極開展討論和辯論，培養學生從事科研工作的初步能力，培養學生團結協作精神，增強他們的數學素質和創新能力。

在實踐中，數學建模的應用過程是復雜的，但也是有規律可循的。微積分B的特點是內容多，學時少，教師在完成教學任務的基礎上，將數學建模的思想融入微積分B的教學中是存在困難的，這要求教師熟悉數學建模思想和方法，同時也要把握好微積分B的教學重點。

1 應用實例

我微積分B主要針對的三個專業分別是食品科學與工程，食品安全，生物工程。一些可以用微積分模型來描述的問題，如疾病傳染、人口增長、種群競爭等問題，應在教學中引導學生通過建立數學模型來解決。一些重要模型的求解和分析應在教學中有所反映，比如Logisitic模型能描述人口、生態、廣告等許多領域的問題。在微積分B教學中融入建模思想可以改善教學內容與應用脫節的狀況，促進學生盡早接觸微積分的應用領域，更好的激發學生學習的興趣。下面我們舉例說明微積分教學內容的“融入”數學建模思想的問題。

1.1 導數的應用

微分是函數的相對變化的極限過程。導數、微分在經濟中的應用比較廣泛，主要反映為邊際、彈性等。在微積分B教學中通過數學建模將這部分知識與實際生活結合的實例主要表現有：食品的最佳銷售時機，食品生產中機械與人工的調配問題等等。

1.2 函數極值的應用

極值問題是最優化模型求解的基礎，在教學中可以插入利用最優化方法建模的思想，既使學生看到了導數在實踐中的應用，也學會了建模的基本步驟。

例1 魚貯量問題

一位魚類生物學家對一個湖中的魚貯量進行了研究，發現當每單位面積的水域有種魚時，一個季度后，每種魚的平均重量為：

W（n）=400-20n（單位；g），0≤n≤20.

試求當n為多少時，一個季度后，魚的總重量達到最大？

分析：湖的面積是固定的，與魚的種類n無關，因此當每單位面積水域的魚重量最大時，湖里魚的總重量最大。

解：每單位面積魚的總重量為Y（n），根據題意：

Y（n）=W（n）×n=400n-20n2

Y'（n）=400-40n.

當 n=10 時，Y'（n）=0.

答：當n=10時，一個季度后，魚的總重量達到最大。

1.3 微分方程與曲線積分的應用

微分方程和曲線積分的應用實例很多，比如人口模型，單種群動物模型，江河污染物的降解系數，放射性元素的衰變模型等等。這里主要介紹在微積分B教學過程中引入的模型實例。

例2 藥物總量

設液體以5mL/s的速度將藥物送人容積是300mL的容器中，且液體以相同的速度離開器官。如果進入液體中的藥品的濃度是0.1g/mL，且時間t=0時，器官內沒有藥物。試求器官內藥物總量關于時間的函數以及1min時器官內藥物總量。

藥物進入器官速率為 5（mL/s）×0.1（g/mL）＝0.5（g/s）.

又由于總量的變化率等于藥物進入速率與離開速率之差，故：

這就是我們建立的微分方程模型。

將 x（0）=0 代入，得 c=-30.

1min 時器官內藥物總量為 x（60）=30-30e-1≈18.96g.

例3 人口預報模型

問題：今年人口數量是n0,年增長率r0為常數，問t年后人口數會是多少。

模型構成：設時刻的人口數量為n（t0）

由分析得：n（t+△t）-n（t）=r·△t·n（t）

分離變量，兩邊積分即可得到。

例4 灰太狼抓羊的問題

一只羊在羊村北面80米處玩耍，灰太狼出現在羊的正東100米處。當兩只動物同時發現對方以后，羊奔向羊村，灰太狼以快于羊一倍的速度緊追羊不放。灰太狼在追趕過程中所形成的軌跡就是追擊曲線。灰太狼是否會在羊跑回羊村之前抓住羊？

分析：假設灰太狼奔跑的軌跡是連續曲線，以二者剛發現對方時羊所在位置為坐標原點，羊朝向灰太狼的方向為x軸正向。設任意時刻羊的坐標為（x1，y1），灰太狼的坐標為（x，y），顯然灰太狼的奔跑軌跡可用方程 y=y（x）來描述。

提問：（讓學生自己思考）

（1）計算任意時刻灰太狼的速度（利用導數求解切線方程進而解決速度問題）；

（2）假設二者都是勻速奔跑，則相同時間內二者奔跑路程的倍數關系就等于二者速度之間的倍數關系。嘗試建立灰太狼從開始計算到任意時刻所奔跑的路程表達式（利用第一類曲線積分解決）。

2 結束語

微積分理論基礎的建立是認識上的一個飛躍。極限概念揭示了“有限”與“無限”、“收斂”與“發散”、“間斷”與“連續”等的辨證關系，是這對矛盾聯系的橋梁。使學生了解“無限”建立在“有限”之上，滲透深刻的數學思想以及“變中有不變”、“有限”中有“無限”，“無限”中有“有限”的觀點等。在介紹微積分知識體系的過程中，適當地融入數學模型思想，提高大學生的數學素質和人文精神。根據食生院學生特點，特別開設了數學建模選修課，使這些學生認識到，微積分的理論、方法在各自專業中的應用。另一方面，使學生對數學建模思維和應用數學知識解決實際問題的內容非常感興趣，很多同學在大一就對數學建模有了一定的了解，大二的時候又積極參加全國數學建模競賽，并獲得了全國數學競賽一等獎。這樣同時也為他們學習后繼課程打下了一定的基礎，比如線性規劃，概率統計，無機化學等等。

微積分教學中融入數學建模思想必然會受到越來越多的重視，這是解決辦學效率和優秀人才培養之間矛盾的有效方法。適時的應用數學建模思想進行教學，可以促使教學方法得到改進，提高教學水平和教學效果，有助于推進高等數學的教學改革和課程建設的發展。

［1］謝季堅,李啟文.大學數學[M].高等教育出版社,2009.

［2］戴朝壽，孫世良.數學建模簡明教程[M].高等教育出版社,2007.

［3］龐亮.獨立學院高等數學教學改革探討[J].科技信息,2012,2012,17;185.