一類隨機適應(yīng)序列部分和的局部極限定理的一個注記

薛秀梅,楊衛(wèi)國

(江蘇大學(xué)理學(xué)院,江蘇鎮(zhèn)江 212013)

一類隨機適應(yīng)序列部分和的局部極限定理的一個注記

薛秀梅,楊衛(wèi)國

(江蘇大學(xué)理學(xué)院,江蘇鎮(zhèn)江 212013)

研究了一類隨機適應(yīng)序列的強極限定理,推廣了最近發(fā)表的幾個結(jié)果,并進一步推廣了Borel-Cantelli引理.

隨機適應(yīng)序列;局部極限定理;鞅

1 引言

設(shè){Xn,Fn,n≥0}為概率空間(?,F,P)上的隨機序列,即{Fn,n≥1}為F中的增σ代數(shù)序列(Fn↑),且Xn是Fn可測的.如果P(ABc)=0,則稱A?B a.e..如果P(A?B)=0,則稱A=B a.e..顯然A=B a.e.的充要條件是A?B a.e.且B?A a.e..規(guī)定當n≤0, Fn=(?,Φ).

關(guān)于一類隨機適應(yīng)序列部分和的極限定理目前已有經(jīng)典結(jié)果.文獻[1]研究了任意有界隨機適應(yīng)序列部分和的極限定理,文獻[2]研究了任意離散隨機變量序列的一類局部極限定理,本文主要研究一類隨機適應(yīng)序列部分和的一類新的局部極限定理并得出一些新結(jié)果.

2 主要結(jié)果

文獻[3]證明了以下定理:

引理1[3]設(shè){Xn,Fn,n≥0}是任意可積隨機適應(yīng)序列,{an,n≥0}為正的隨機變量序列.設(shè)α＞0,

本文利用了引理1得到以下結(jié)果:

定理1設(shè){Xn,Fn,n≥0}是可積隨機適應(yīng)序列,且Fn,n≤0如前定義,{an,n≥0}為正的隨機變量序列.設(shè)α＞0,

由(4)式和(5)式知(2)式成立,由(1)式及(2)式知(3)式成立.

推論1設(shè){Xn,Fn,n≥0}是有界隨機適應(yīng)序列,即存在K＞0,使|Xn|≤K,?n≥0. 設(shè){an,n≥1}為正的隨機變量序列,Fn,n≤0如前定義,設(shè)

所以?1?D1(α)a.e.,?2?D2(α)a.e..由定理1即得本推論.

為了證明定理2,引入如下的引理:

引理2[1]設(shè){ξn,n≥1}是Fn可測的非負隨機變量,設(shè)存在一個有限正數(shù)K,使得ξn≤K,?n≥1,設(shè)

由定理4有

由(10),(12)式知(11)式成立.

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[3]楊衛(wèi)國,葉中行,包振華.關(guān)于任意隨機適應(yīng)序列部分和的一類局部極限定理[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué), 2006,26(2):187-192.

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[7]劉文.一個對離散信源普遍成立的強極限定理[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報,1996,16(4):440-443.

A limit theorem for partial sums of stochastic adapted sequences and its applications

Xue Xiumei,Yang Weiguo
(Faculty of Science,Jiangsu University,Zhenjiang212013,China)

In this paper we establish a new limit theorem for partial sums of arbitrary stochastic adapted sequences which extend some new published results.As corollaries,we generalize the Borel-Cantelli lemma.

stochastic adapted sequence,local convergence theorem,martingale

O211.4

A

1008-5513(2013)02-0172-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2013.02.010

2012-12-12.

國家自然科學(xué)基金(11071104).

薛秀梅(1987-),碩士生,研究方向:概率極限理論.

2010 MSC:60B12