關于環上長方矩陣的加權群可逆性

章勁鷗

(寧波大學數學系,浙江寧波 315211)

關于環上長方矩陣的加權群可逆性

章勁鷗

(寧波大學數學系,浙江寧波 315211)

研究任意環上長方矩陣的加權群逆和加權{1,5}-逆。利用矩陣分解,得到了長方矩陣積的加權群逆存在的一些等價條件和計算方法及任意環上長方矩陣的加權{1,5}-逆的刻畫表達式。得到的定理推廣了有關方陣群逆和{1,5}-逆的相關結果。結果還可適合應用于加法范疇中的態射。

環;長方矩陣;von Neumann正則;加權群逆

1 預備知識和引理

設R是具有單位元1的環,Mm,n(R)為R上的n階矩陣環.Mn(R)表示環R上的所有m×n矩陣組成的集合.給定環R上的m×n矩陣A,如果存在一個n×m矩陣A-,使得AA-A=A,那么稱矩陣A是von Neumann正則的,且矩陣A-稱為A的von Neumann 逆.

給定W∈Mn,m(R).對于環R上一個m×n矩陣T,如果存在矩陣G∈Mn,m(R)滿足

在文獻[3]中,討論了任意帶有單位元環上的正則方陣矩陣T的群逆T?的性質.對于T=PAQ,如果A是正則的,PA與A生成相同的左理想,且AQ與A生成相同的右理想,則T?存在,當且僅當

在本文中,想把這些結果從方陣推廣到m×n矩陣,將給出長方矩陣積PAQ的加權群可逆的一些等價條件,這里A∈Mk,l(R)是正則的,且P∈Mm,k(R),Q∈Ml,n(R),且存在P′∈Mk,m(R)和Q′∈Mn,l(R)滿足P′PA=A=AQQ′.而且,還給出了任意環上長方矩陣的加權群逆和加權{1,5}-逆的刻畫表達式.得到的結果推廣了有關方陣群逆的結果.結果還可適用于加法范疇中的態射.

2 加權群逆

設A∈Mk,l(R)是正則的.給出矩陣T=PAQ有加W-權群逆的充要條件.下面給出兩個矩陣:

因此,(ii)得證.

(ii)=?(i):因為

若m=n=l=k且W=In,則定理2.2的結果就變成了文獻[3]定理2的結果.

注2請注意由于在定理2.1中的第二個條件,不涉及A-,結果與A-的選擇無關.換句話說,如果U對于特殊A-是可逆的,那么對于任何A-都是可逆的.

3 加權{1,5}-群逆

值得注意的是,上述結果同樣適用于加法范疇中的態射.如果m=n且W=In,則定理3.1和定理3.2的結果恰好是文獻[4]中的定理1和定理6的結果.

[1]Cline R E,Greville T N E.A Drazin inverse for rectangular matrices[J].Linear Algebra Appl,1980,29:53-62.

[2]Gouveia M C,Puystjens R.About the group inverse and Moore-Penrose inverse of a product[J].Linear Algebra Appl,1991,150:361-369.

[3]Hartwig R E,Puystjens R.The group inverse of a companion matrix[J].Linear and Multilinear Algebra, 1997,43:137-150.

[4]Cao Yongzhi,Zhu Ping.On Generalized Inverses of Morphisms with Universal Factorization[J].Acta Mathematica Sinica,2001,44(3):559-566.

[5]尹幼奇,岑建苗.環上矩陣的加權Moore-Penrose逆[J].紹興文理學院學報:自然科學版,2005,25(7):37-41.

[6]張仕光,劉曉冀.環上矩陣的加權Moore-Penrose逆[J].廣西民族學院學報:自然科學版,2006,12(1):90-92.

On weighted group invertibility for rectangular matrices over an arbitrary ring

Zhang Jinou
(Department of Mathematics,Ningbo University,Ningbo315211,China)

The weighted group inverses of rectangular matrices and the weighted{1,5}-inverse of a rectangular matrix over an arbitrary ring are studied.Using Matrix decomposition method,First,the weighted group inverse of a rectangular matrix product PAQ for which there exist P′and Q′such that P′PA=A=AQQ′can be characterized and computed.Moreover,the expressions are given for the weighted{1,5}-inverse of a rectangular matrix over an arbitrary ring.This generalizes recent results obtained for the group inverse of square matricesand the weighted{1,5}-inverse of a rectangular matrix over an arbitrary ring.The results also apply to morphisms in(additive)categories.

ring,rectangular matrix,von Neumann regular,weighted group inverse

O153.3,O151.21

A

1008-5513(2013)02-0146-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2013.02.006

2012-12-27.

寧波市自然科學基金(2012A610034).

章勁鷗(1974-),碩士,講師,研究方向：矩陣論.

2010 MSC:15A09