暫態振蕩信號頻率檢測的M orlet小波譜峭度法

張巧革，劉志剛，陳剛

（西南交通大學電氣工程學院，成都 610031）

暫態振蕩信號頻率檢測的M orlet小波譜峭度法

張巧革，劉志剛，陳剛

（西南交通大學電氣工程學院，成都 610031）

針對電力系統暫態振蕩信號頻率檢測中存在的檢測過程復雜、易受噪聲影響且通用性不強的問題，提出了一種基于Morlet復小波譜峭度的暫態振蕩信號頻率檢測方法。采用Morlet復小波對含噪暫態振蕩信號進行小波分解獲得小波系數；利用小波系數絕對值計算信號的譜峭度；最后，通過最大值檢測方法實現對暫態振蕩的頻率檢測。針對譜峭度對噪聲適用范圍不明確的問題，提出并定義相似度函數，用于分析算法對噪聲的敏感程度。仿真實驗表明，該方法通用性較強，且計算過程簡單，檢測精度可以滿足實際需求。

譜峭度；暫態振蕩信號；Morlet復小波變換；頻率檢測

暫態振蕩是一種常見的電能質量暫態擾動現象，其產生的原因有多種，其中最主要的就是電容器的投切。暫態振蕩常會導致電子設備的損壞、運行設備的破壞，給電能質量敏感用戶造成不可估量的損失[1]。由于暫態振蕩持續時間短，振蕩頻率高，目前對其針對性研究不是很多，還未引起足夠的重視[2]，給其檢測和識別帶來一定的困難。

短時傅里葉變換STFT（short-time Fourier transform）、小波變換和Prony算法是電力系統中常用的信號處理方法。但這些方法應用于暫態信號分析時，都有其不足之處。STFT的時頻窗口沒有自適應性，且參數選擇困難，不適合分析暫態振蕩信號的瞬變過程；小波變換雖然有時頻局部化的特點，但小波基不易選擇；Prony算法對噪聲非常敏感且需事先判斷信號發生的時刻。文獻[1]結合小波分析時頻局部化特點和Prony算法可以準確獲取振蕩模式的優點，提出基于特定頻帶的Prony暫態振蕩檢測方法，能夠檢測出暫態振蕩信號的幅值和頻率。文獻[3]結合STFT和小波分析的優點，提出基于特定頻帶的STFT的方法，可準確得到暫態信號中主要諧波頻率分量的頻率和幅值。文獻[4]提出基于聚類模態分解EEMD（ensembleempiricalmode decomposition）的希爾伯特-黃變換HHT（Hilbert-Huang transform）電能質量擾動檢測方法，能夠檢測暫態振蕩的頻率。但是，上述方法計算過程復雜且對噪聲比較敏感，不適用于含噪信號。

譜峭度的概念最早由Dwyer提出，用來檢測含噪信號中的瞬態成分[5]。隨后，Vrabie定義譜峭度為一個過程距離高斯性的度量，并在文獻[6]中將其應用到滾動軸承故障診斷中。Antoni在文獻[7]中系統定義了譜峭度，提出了基于STFT的譜峭度，論證了其具有檢測加性噪聲中非平穩信號的能力。石林鎖和Sawalhi先后提出基于Morlet小波變換的譜峭度法，并將其應用到機械故障診斷中[8，9]。由于譜峭度分析非平穩暫態信號時具有良好的性質，本文將其應用于電力系統暫態振蕩信號頻率檢測中，基于Morlet小波變換譜峭度算法的基礎，提出并定義一種相似度函數，用來衡量算法對噪聲的敏感性，分析譜峭度的適用范圍。研究了Morlet小波參數對計算結果的影響和該算法檢測暫態振蕩頻率的適用性、穩定性和有效性。

1 基本理論

1.1 譜峭度定義

譜峭度[7]SK（spectral kurtosis）是反映信號經時頻分解后原始信號在某個頻率成分上峭度值大小的指標。它可以指示一系列暫態信號的存在及其在頻域內的位置，可以用來分析非平穩信號。

非平穩情況下，信號x（t）的Wold-cramer分解的頻域表達式[9]為

其中H（t，f）是隨時間變化的，可解釋為頻率f處的復包絡。

過程Y（t）的四階譜累積量定義為

式中，S（f）為譜瞬時矩，即

于是，譜峭度可定義為

1.2 基于小波變換的譜峭度

小波變換繼承和發展了短時傅里葉變換的局部化思想，能在時間域和頻率域同時對信號進行局部化分析，因此在各個領域得到了廣泛關注[10～12]。

Morlet小波是一種連續復小波，其基小波定義為復指數函數與高斯函數的乘積。其采用的Gauss窗是時-頻面積最小的窗函數，時頻域局部化性能好，對稱性好，且其變換結果可同時反映信號的幅值和相位關系[13]。因此，選Morlet小波對原始信號進行連續小波分解。

信號x（t）的連續小波變換表示為Wx（a，b）。以Morlet復小波函數為母函數的小波變換可表示為

在一個給定的尺度a上對信號進行小波變換，得到小波系數，再利用小波系數的絕對值，根據式（6）計算每個頻率點對應的峭度，便可得到信號的譜峭度。

基于小波變換的譜峭度計算公式為

2 算法原理與步驟

2.1 譜峭度算法的選擇

譜峭度的計算建立在時頻分析的基礎上，目前已有的計算譜峭度的算法主要有：基于STFT的譜峭度法、基于小波變換的譜峭度法和基于Wigner-Ville分布WVD的譜峭度法。其中基于STFT的譜峭度法，受限于時頻分辨率的折中問題，信號噪聲較大時效果不理想；基于WVD的譜峭度具有許多良好的性質，但由于電力系統暫態振蕩信號是基頻信號和振蕩信號的疊加，故其對于疊加信號的交叉項無法完全消除，從而影響分析效果；基于小波變換的譜峭度具有較高的分辨率，且其尺度變換能夠滿足暫態振蕩信號頻率檢測的需要，故選用基于小波變換的譜峭度法。

2.2 相似度函數的定義

非平穩隨機過程可表示為

如果式（7）中N（t）為獨立于Y（t）的加性高斯噪聲，則N（t）的譜峭度可表示為

式中：KZ（f）和KY（f）分別為Z（t）和Y（t）在f處的SK值；ρ（f）為噪聲-信號功率比，ρ（f）=S2N（f）/ S2Y（f）。

為了描述KZ（f）和KY（f）的相似性，本文提出并定義一種相似度函數ε，用于分析算法對噪聲的適用范圍。由式（8）知，ρ（f）越小，KZ（f）和KY（f）的相似性越高，反之亦然。故相似度函數應滿足以下性質：

（1）ε取值應在0～1范圍內，且ε的值越大，表示KZ（f）和KY（f）的相似程度越高。

（2）當沒有噪聲時，ρ（f）為零，KZ（f）與KY（f）完全相同，相似度為1。噪聲越大，KZ（f）和KY（f）的相似程度越低，ε的取值越小。

（3）ε的值隨噪聲變化的越快，說明譜峭度對噪聲越敏感，反之亦然，故可由ε隨噪聲的變化率來反映譜峭度對噪聲的敏感程度。

基于以上考慮，相似度函數定義為

2.3 算法步驟

譜峭度算法步驟如下。

（1）選用Morlet小波作為小波基，設置帶寬、中心頻率、小波時間窗長度等參數，對采集到的含噪信號進行小波變換，得到小波系數矩陣；

（2）小波系數矩陣取絕對值后，對每一行先求二階累計量，再求其四階累計量；

（3）根據式（6）計算每一行的SK值，每個SK值對應一個頻率點；

（4）根據式（9）計算不同噪聲條件下相似度函數ε，繪制相似度曲線，分析算法對噪聲的敏感程度；

（5）繪制頻率-譜峭度曲線，根據曲線特征，利用最大值檢測法檢測暫態振蕩信號的頻率；

（6）誤差分析，穩定性和準確性研究。

3 仿真分析

3.1 暫態振蕩信號仿真與小波變換參數選取

1）暫態振蕩信號的產生

本文采用文獻[14，15]中的數學模型產生暫態振蕩仿真信號，暫態振蕩模型為

利用式（10）產生基頻為50Hz、峰值為1.7 p.u.、振蕩頻率為500 Hz、持續時間2個周期、信噪比為20 dB的典型的暫態振蕩信號，如圖1所示。

2）小波變換參數的選取

以圖1中的信號為例，研究帶寬和小波分解尺度對譜峭度計算結果的影響。

首先，固定fc=2，m=500，取fb從1到9，對圖1中的信號求基于小波變換的譜峭度（采樣頻率fs=2 kHz），檢測結果見表1，部分譜峭度如圖2所示。

圖1 暫態振蕩信號波形Fig.1 Curve of transientoscillation signal

表1 不同帶寬的檢測值及檢測誤差Tab.1 Detection valuesand detection errors in differentbandw idth

圖2 不同帶寬的譜峭度對比Fig.2 Conparison of SK in differentbandw idth

表1中：fce為檢測頻率；fshi為暫態振蕩頻率；誤差e=|fce-fshi|/fshi。由表1和圖2可知，fc和m固定時，帶寬fb越大，譜峭度最大值越小。在一定范圍內，帶寬對檢測精度基本無影響。

取fc=2，fb=6，令m的取值范圍為100～800，分別計算譜峭度，檢測結果見表2。

表2的數據表明，小波分解尺度對檢測結果幾乎無影響，當m過小或過大時，誤差很小。

實驗結果表明，只要在合適的范圍內，帶寬和小波分解尺度的取值對結果的影響不大。從計算量和檢測精度兩方面綜合考慮，取fb=6，m=500，對算法的檢測精度和適用性進行研究。

表2 不同分解尺度的檢測值及檢測誤差Tab.2 Detection valuesand errors in different wavelet scales

3.2 相似度曲線的計算及分析

根據譜峭度計算公式和相似度函數定義，對圖1所示的信號加入從小到大的白噪聲，根據式（6）和式（9）計算不同噪聲下相似度函數的值，噪聲-相似度曲線如圖3所示。

圖3 相似度曲線Fig.3 Sim ilarity curve

由圖3可知，沒有噪聲或噪聲非常小（信噪比較大）時，ε的值接近于1且衰減很快，這說明噪聲很小時，譜峭度對噪聲的變化比較敏感；當噪聲大到一定程度時，相似度函數值很小并且達到穩定，說明，此時譜峭度值受噪聲影響較小。由此推斷：噪聲很小時，算法不穩定，噪聲達到一定的水平后，算法準確度較高且較穩定。

3.3 準確性及適用性研究

為了探究該算法的準確性及適用性，分別從暫態振蕩信號幅值、頻率、噪聲大小、暫態振蕩持續時間和疊加諧波等方面進行仿真分析。

1）改變暫態振蕩信號幅值

改變圖1中仿真信號的幅值，其他參數不變，當幅值α從0.1 p.u.增大到0.8 p.u.時，所測得的誤差隨幅值的變化如圖4所示。

圖4表明，振蕩幅值很小時（約小于0.22 p.u.），檢測結果誤差很大，幾乎不可用。但當振蕩幅值大于0.22 p.u.時，平均誤差只有1.07%。這說明，算法對振蕩幅值很小的暫態振蕩信號不適用。因為小波變換本身會受噪聲影響，暫態振蕩幅值很小時，對小波分解系數影響很小，即使用譜峭度也很難得到準確檢測結果。

圖4 誤差隨幅值的變化Fig.4 Error variation w ith am plitude change

2）改變暫態振蕩信號頻率

改變圖1中信號的頻率，其他參數不變，當頻率從300Hz增大到900Hz時，所測得誤差隨頻率的變化如圖5所示。

圖5 頻率變化時的誤差分布Fig.5 Error variation w ith frequency change

圖5中最大誤差為5.48%，平均誤差1.98%，隨頻率變化誤差隨機波動，因每次所加的都是隨機噪聲，故檢測結果會有所變化，跟頻率基本無關。

3）改變信噪比

保持圖1中仿真信號的參數不變，信噪比從10 dB增大到30dB，所測得的誤差分布如圖6所示。

圖6 誤差隨噪聲的變化Fig.6 Error variation w ith SNR change

由圖6可知，信噪比變化時，誤差隨機波動，在一定的噪聲范圍內檢測結果較好。但隨著噪聲的減小（信噪比增大）檢測誤差整體上越來越大。這說明在一定的范圍內，算法的準確度不受噪聲影響，但噪聲非常小時，該方法效果不理想。這是因為噪聲小時譜峭度對噪聲變化比較敏感，這與圖3分析的結果一致。

4）改變暫態振蕩信號持續時間

改變圖1中仿真信號的振蕩持續時間，變化范圍20～60ms（即T～3T），保持其他參數不變，取100組數據，檢測結果如圖7所示。由圖7知，暫態振蕩持續時間改變時，誤差隨機變化，變化范圍小于4.0%，平均誤差為1.21%。這說明算法對暫態振蕩持續時間不敏感，適用于時間變化的各種情況。

圖7 持續時間改變時的誤差分布Fig.7 Error variation w ith duration change

5）疊加諧波

在電力系統中，諧波也是一種常見的擾動，諧波信號的數學模型為

式中，i為諧波的次數，電力系統中的諧波通常為奇次諧波，且超過7次的諧波幅值很小，故i= 3，5，7，…，且αi∈[0.05，0.3]p.u.。

在圖1中的仿真信號中，疊加3、5、7次諧波，各次諧波的幅值在0.05～0.30 p.u.間隨機產生。取100組數據進行檢測，檢測結果如圖8所示。

圖8 疊加諧波后的誤差分布Fig.8 Error variation w ith harmonic supplement

圖8中平均誤差為2.29%，最大誤差小于4.0%。這說明疊加諧波后該算法仍然適用。

綜合以上分析結果可知，基于Morlet復小波變換的譜峭度法對大部分含噪暫態振蕩信號都適用，且準確度較高，檢測結果較穩定，檢測精度能夠滿足實際需要。

4 結語

本文將基于Morlet小波變換的譜峭度應用于暫態振蕩信號頻率檢測中，克服了小波變換受噪聲干擾大、小波基難以選取的缺點。提出并定義一種相似度函數，用來衡量文中算法對噪聲的敏感程度，理論與仿真結果一致。算法過程簡單，無需對信號進行去噪濾波等預處理。大量的仿真結果表明，算法對Morlet小波的參數不敏感，對大部分常見的暫態振蕩信號都適用，在一定的范圍內，準確度不受噪聲的影響，對疊加諧波的復合擾動信號仍然適用。

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Frequency Detection of TransientOscillation SignalUsing M orletW avelet Based on SpectralKurtosisM ethod

ZHANGQiao-ge，LIU Zhi-gang，CHENGang
（SchoolofElectricalEngineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China）

The existedmethods of frequency detection of transientoscillation signal in power system are intricate and susceptible to noise and abominable in versatility.To overcome these disadvantages a novelmethod based on Morlet wavelet-based-spectralkurtosis（SK）is proposed in this paper.In thismethod，theMorletwavelet transform is initially adopted to obtain the wavelet coefficients.Then the wavelet-based-SK is calculated via the absolute value of the waveletcoefficients.Finally，the transientoscillation frequency is detected by themaximum of the SK.In order to analyze the influence on the detection results caused by noise，the similarity function is proposed and defined in the paper. The simulation results indicate that thismethod isapplicable and effective tomostof the common oscillation signals.In addition the calculation process issimple，and theaccuracy canmeet theactualneeds.

spectralkurtosis；transientoscillation signal；Morletwaveletcomplex transform；frequency detect

TM712

A

1003-8930（2013）05-0001-06

張巧革（1987—），女，碩士研究生，研究方向為現代信號處理理論及其在電力系統中的應用。Email：zqg0424@126.com

2012-07-23；

2012-08-22

國家自然科學基金資助項目（U1134205，51007074）；教育部新世紀優秀人才支持計劃項目（NECT-08-0825）；中央高校基本科研業務費專項資金資助項目（SWJTU11CX141）

劉志剛（1975—），男，教授，博士生導師，研究方向為現代信號處理與智能計算及其在電力系統中的應用。Email：liuzg_cd@126.com

陳剛（1986—），男，碩士研究生，研究方向為現代信號處理理論及其在電力系統中的應用。Email：chengangdadada@163.com