基于自適應Terminal滑模的混沌振蕩控制

王鶴，李耀峰，張守龍，董晨

（1.東北電力大學電氣工程學院，吉林 132012；2.吉林供電公司，吉林 132012；3.國電南京自動化股份有限公司，南京 211100）

基于自適應Terminal滑模的混沌振蕩控制

王鶴1，李耀峰2，張守龍3，董晨3

（1.東北電力大學電氣工程學院，吉林 132012；2.吉林供電公司，吉林 132012；3.國電南京自動化股份有限公司，南京 211100）

針對電力系統負荷擾動滿足一定條件時就會產生混沌振蕩現象，提出了一種自適應Terminal滑模混沌控制方法。利用Lyapunov指數證明了系統存在混沌振蕩，應用簡單電力系統分析了周期性負荷擾動下的動力學行為，設計了Terminal滑模動態使得系統能夠快速收斂，給出了擾動的自適應律。應用Matlab/Simulink仿真平臺對含噪聲和不含噪聲的電力系統進行仿真驗證。仿真結果表明，該控制方法能夠有效地鎮定電力系統混沌振蕩。

自適應；Terminal滑模；電力系統；混沌震蕩

電力系統是一個強非線性系統[1～3]，其在運行的過程中會產生許多復雜的非線性現象，如次同步振蕩、低頻振蕩、分岔、混沌等。當負荷擾動的幅值和頻率滿足一定條件時就會產生混沌振蕩現象。混沌是確定性非線性系統中的一種類似隨機的運動形式，對初值極其敏感，具有長期不可預測性。系統安全穩定運行意義深遠。

由于混沌振蕩可能導致系統失穩，嚴重危害系統的安全運行，近幾年來許多學者對混沌控制進行了有效的探索。文獻[4]利用延時反饋控制方法消除了電力系統混沌振蕩；文獻[5，6]分別利用逆系統方法和神經網絡實現了電力系統的混沌振蕩的鎮定；文獻[7，8]利用模糊滑模變結構控制方法設計了混沌控制器；文獻[9]采用變量反饋法抑制了電力系統混沌振蕩，但其只能將系統的狀態控制到穩定的目標軌道上，不能將其控制到初始平衡點上。文獻[10]利用自適應方法觀測系統的擾動幅值，提高了控制器的魯棒性，達到了消除混沌的目的。文獻[11]將最小二乘支持向量機LS-SVM（least squares support vector machine）運用于動力學特性的學習，進而獲得訓練好的電力系統LSSVM模型，以達到混沌振蕩控制的目的。雖然以上方法均能有效地控制系統的混沌振蕩，但系統輸出跟蹤期望的信號的時間過長，而且實際中電力系統不可避免地要受到隨機噪聲的干擾。文獻[12]指出有界噪聲作用可以增大系統的混沌區域，使得電力系統更易于產生混沌運動，而上述研究均未考慮噪聲擾動對系統的影響。

本文在文獻[13，14]的基礎上，將自適應控制和Terminal滑模控制相結合，提出一種自適應Terminal滑模混沌控制方法。利用Lyapunov指數證明了系統存在混沌振蕩，設計了Terminal滑動模態使得系統能夠快速收斂。仿真表明，該控制器能夠有效地鎮定電力系統混沌振蕩。

1 電力系統混沌特性的判據

混沌狀態的判據通常采用龐加萊截面法、功率譜法以及李雅普諾夫指數法（Lyapunov指數）3種方法，其中應用的最多的是Lyapunov指數法。Lyapunov指數是表征混沌運動的一個重大的統計特性參數，是相空間相近軌道的平均收斂性或平均發散性的一種度量。對于n維相空間中連續的動力系統，考察一個無窮小的n維球面的長時間演化，由于流的局部變形特征，球面將變成n維的橢球面，第i個Lyapunov指數按照橢球主軸長度pi（t）定義為

Lyapunov指數的大小表明相空間中相近軌道的平均收斂或發散的指數率。一般說來具有正的和零的Lyapunov指數的方向都對支撐吸引子起作用。最大的Lapunov指數為正時，系統具有混沌現象，越大其系統的混沌越強。

Lyapunov指數的計算方法有很多種，有Kaplan Yorke猜想、差分方程組、微分方程組和實驗數據等。根據不同的系統選取不同的方法，本文采用文獻[15]所提的計算最大Lyapunov指數法。

2 周期性負荷擾動下的動力學行為

2.1 數學模型

忽略勵磁回路和阻尼繞組的動態過程，假設發電機機械功率在暫態過程中始終保持不變，不計發電機的瞬態凸極效應，本文采用同步電機的二階非線性數學簡化模型為

式中：δ、ω分別為發電機轉子角和相對轉速；Ps和Pm分別為發電機的電磁功率與輸入機械功率；H和D分別為等值慣性時間常數與阻尼系數；Pe和β1分別為擾動負荷的幅值與頻率。

設α1=Ps/H，γ=D/H，ρ=Pm/H，F=Pe/H，則式（2）轉化為

令[x1，x2]=[δ，ω]，則受控的閉環系統方程式可表示為

式中，u為控制輸入。

2.2 混沌振蕩的產生

設H=100，Ps=100，D=2，Pm=20，β1=1，即當α1、γ、ρ分別為1、0.02、0.2時，研究擾動負荷Pe幅值變化時電力系統的動態行為[9]。

當β1=1，Pe=0時，系統只有阻尼而沒有周期性負荷擾動，功角δ先振蕩一段時間，然后恢復到穩態；當周期性負荷擾動的幅值Pe增大到29.6時會出現混沌振蕩，系統的相軌跡出現混沌吸引子。發電機的功角曲線和相圖如圖1所示。

圖1 Pe=29.6時發電機功角曲線和相圖Fig.1δ（t）curve and phase diagram of the generator with Pe=29.6

當Pe再有微小增加時（如Pe=29.613），系統的功角曲線和相圖如圖2所示。

圖2 Pe=29.613時系統的功角曲線和相圖Fig.2δ（t）curve and phase diagram of the system with Pe=29.613

由圖2可知，系統由混沌振蕩演變為發散振蕩，已完全失去穩定。故而混沌振蕩對系統的安全運行具有很大危害。

當Pe=29.613時，系統的Lyapunov指數變化曲線如圖3所示。

圖3 Pe=29.613時系統的Lyapunov指數曲線Fig.3Lyapunov curve of the system and phase diagram with Pe=29.613

由圖3可知，系統有3個Lyapunov指數，其中一個正的Lyapunov指數，證明了當系統參數Pe= 29.613時會產生混沌現象。

3 Terminal滑模變結構控制器設計

3.1 Terminal滑模變結構控制基本原理

受未知外擾作用的不確定非線性單輸入單輸出系統表達式[16]為

式中：f（x，…，x(n-1)，t）為系統各狀態變量構成的未知非線性函數；w（t）為系統的未知外擾；b（t）為非線性函數；u（t）為控制量；x（t），…，x(n-1)（t）為系統的狀態變量，其中x（t）可測或間接可測。

考慮形如式（5）所示的不確定非線性系統，其控制目標是設計一個控制器使系統輸出y跟蹤期望輸出yd。

常規滑模變結構控制一般選取切換函數為

采用指數趨近律得

可以設計出傳統滑模控制律為

由式（9）可知，該控制器需要yd的1，2，…，n-1階導數已知，當有一個未知時該控制器將會失去意義。

為了消除期望輸出yd的各階導數項均需已知對控制器的影響，在滑模面中引入跟蹤誤差ei的積分項，用各階狀態量代替各誤差項，此時滑模面可設計為

式中：k和ci（i=1，2，…，n-1）為任選常數，合理選擇參數k和ci可以使系統達到比較理想的控制效果。通常情況下，ci的選擇使多項式

具有負實部即可，其中r為拉普拉斯算子。

由于在滑模面中加入了積分項，減小了系統各階狀態量的靜態誤差，提高了控制精度。

全局快速Terminal滑動模態形式[17]為

式中：α〉0；β〉0；p和q（p〉q）為正奇數。

由式（12）可設計出滑模控制律為

3.2 控制器設計

Terminal滑模控制就是在滑動超平面的設計中引入了非線性函數，構造Terminal滑模面，使得在滑模面上跟蹤誤差能夠在有限時間內收斂到零。設

對式（14）求導得

構造Terminal滑動模態

式中：α〉0；β〉0；p和q（p〉q）為正奇數。

得到非線性控制律為

式中，r為自適應增益系數。

下面證明系統的穩定性：將式（17）代入式（15）得

4 仿真分析

為驗證本文所提出的自適應Terminal滑模控制方法的有效性，在Matlab/Simulink環境下對整個系統進行仿真。仿真時選取初始狀態x0=[0，0]。共考慮了以下兩種情況。

圖4 Pe=29.6時在控制器作用下系統的動態響應曲線（不含噪聲）Fig.4Dynamic response curves of the system under the action of the controller with Pe=29.6（without noise）

4.1 系統不含噪聲時

在t=80 s時引入控制項。系統的仿真曲線如圖4所示。

由圖4可以看出，引入控制之前的系統處于無規則的混沌運動狀態，引入控制器后，迅速地鎮定了系統的混沌振蕩，使系統運動狀態回到了初始狀態。

在Pe=29.613，系統失去穩定（t=80 s）之前投入控制器，受控系統的動態響應如圖5所示。

仿真結果表明，在控制器作用下，系統能快速地由混沌運行狀態轉向穩定狀態，并穩定在平衡點。

4.2 系統含噪聲時

考慮在上述系統中加入均值為0，方差為0.1的白噪聲。系統的動態響應如圖6和圖7所示。

由圖6和圖7可以看出，當在系統中加入白噪聲時，控制器仍然能夠鎮定混沌吸引子，抑制混沌振蕩，可知加入控制器的系統具有一定的抗擾動能力，魯棒性好。

圖5 Pe=29.613時在控制器作用下系統的動態響應曲線（不含噪聲）Fig.5Dynamic response curves of the system under the action of the controller with Pe=29.613（without noise）

圖6 Pe=29.6時在控制器作用下系統的動態響應曲線（含噪聲）Fig.6Dynamic response curves of the system under the action of the controller with Pe=29.6（with noise）

圖7 Pe=29.613時在控制器作用下系統的動態響應曲線（含噪聲）Fig.7Dynamic response curves of the system under the action of the controller with Pe=29.613（with noise）

5 結語

本文將Terminal滑模控制和自適應控制結合起來，對電力系統混沌振蕩進行了控制。首先用Lyapunov指數證明了不含噪聲和含有噪聲的系統在一定的擾動幅值下會產生混沌，然后采用自適應Terminal滑模控制對混沌吸引子進行了抑制。該控制方法結構簡單、物理實現容易、實時性強、調節靈活。仿真表明該控制器能夠消除系統的混沌振蕩，驗證了本文方法的有效性。

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Chaotic Oscillation Control Based on Adaptive Terminal Sliding Mode

WANG He1，LI Yao-feng2，ZHANG Shou-long3，DONG Chen3
（1.School of Electrical Engineering，Northeast China Dianli University，Jilin 132012，China；
2.Jilin Power Supply Company，Jilin 132012，China；3.Guodian Nanjing Automation Co.，Ltd.，Nanjing 211100，China）

According to chaos oscillation phenomena produced by power system load disturbance at certain conditions，a chaotic oscillation control of electric power system based on adaptive terminal sliding mode is proposed.Existence of chaos oscillation in power system is proved by using Lyapunov index.The dynamic behavior of periodic load disturbance is analyzed under a simple power system.A terminal sliding mode is designed for the system to enable the fast convergence.The adaptive law of the disturbance is developed.The model has been described with the reference and implemented by using Matlab/Simulink.Extensive simulation results are presented and analyzed to validate that the proposed simulation model is effective for the suppression of chaos oscillation

adaptive；Terminal sliding mode；power system；chaotic oscillation

TM732

A

1003-8930（2013）03-0152-06

王鶴（1983—），男，博士研究生，講師，研究方向為電力系統安全分析與控制。Email：wanghe@mail.nedu.edu.cn

2012-10-12；

2012-12-30

李耀峰（1984—），男，本科，助理工程師，研究方向為電力系統運行與調度。Email：liyaofeng@163.com

張守龍（1983—），男，本科，助理工程師，研究方向為電力系統繼電保護。Email：214364786@QQ.com