一種研究敞口容器非穩態導熱問題的新方法

許明明 劉 曉 史慶藩

（1北京理工大學機電學院，北京 100081）

（2北京理工大學物理學院，北京 100081）

1 引言

在工程物理實際問題中，常常需要考慮定體積容器內部的氣體平均溫度的變化，而不考慮溫度場的具體分布變化.在理論計算中，常用最為簡便的集總參數法求得瞬時溫度響應曲線，其中集總方程的前提假設是：溫度梯度為零或非常小（Bi＜0.1），溫度分布僅與時間有關，與位置無關，且物體的導熱系數為定值［1］；浙江大學胡亞才等人提出了以物體內部最大溫差與物體和環境最大溫差之比作為適用集總參數法的判據，拓展了非穩態集總參數法的適用范圍［2］；顧祥紅在定導熱系數下，對無限大平板、圓柱、圓球體形固體非穩態導熱的集總參數法做了一系列研究［3］，但未對變導熱系數的氣態物質做研究.因此對于氣態非穩態導熱過程以及變導熱系數的復雜物理與工程問題需要進一步研究.

本文以一定體積的圓柱體敞口容器為例，將其內部氣體模擬成定體積的物體.考慮到小體積情況下氣體對流很快，溫度梯度小，故取平均溫度變化來表征容器內部整體的溫度變化.由于氣體的導熱系數隨溫度變化，因此可以考慮把導熱系數分段取值，同時運用非穩態導熱集總參數法進行計算，以此得到敞口容器恒溫熱源加熱過程中容器內的平均溫度隨時間的變化規律.最后，以孔明燈實驗為例，探討所提出的計算方法的有效性.

2 計算方法

2.1 物理模型

如圖1所示，取平行圓柱體作為微元控制體，對其應用熱力學第一定律，可得到關于溫度T的通用導熱方程［4］

其中，T是x、y、z和t的函數；κ是導熱系數；ρ是密度；c是比熱容；q?是單位體積內的能量轉換速率.在一定體積的敞口容器內部，對流的空氣溫度梯度較小，故可以忽略，式（1）則變為

圖1 敞口容器示意圖

式中，α＝κ／ρc，是熱擴散系數.由于空氣的熱擴散系數α很大，所以容器內部的空氣平均溫度變化很快，溫度梯度可以忽略.因此可取空氣的平均溫度來表征容器內部的溫度.

2.2 分段迭代法

由熱力學第一定律，在一個瞬時t時刻，傳入熱量的速率必定等于傳出熱量的速率加上儲熱速率

式中，qs為敞口容器與熱源間導熱速率；qi為容器內部空氣儲熱速率；qj為容器壁與外界對流空氣的換熱速率.

在未加恒溫熱源Ts時，容器內外部環境溫度相等.當在敞口處加一恒溫熱源時，隨著容器內部溫度升高，氣體導熱系數上升，密度減小.依據一個大氣壓下空氣的物性值表［5］，將導熱系數和密度變化每隔k℃取一段，取其平均值作為該段的導熱系數κn和密度ρn，則各段的敞口容器與熱源間的導熱速率由牛頓冷卻定律給出

式中，qsn、κn為各階段取值；A0為導熱面積，即容器底部與恒溫熱源接觸的敞口面積.

各個階段敞口容器內空氣熱量儲存速率為

式中，qin、ρn為各階段取值；V為容器體積；Cp為氣體比熱容.

容器邊界與外界空氣壁面的熱傳遞可以用電路表示法等效，這個系統的一維熱傳遞速率可以表示為［4］

式中，qjn為各階段取值，分母為容器壁兩側總溫差，分子為總熱阻.

各階段容器壁內外換熱速率可以表示為

其中，δ為容器薄壁的厚度.本文研究的容器壁在厚度為10-5m量級，故在內外換熱過程中可以將圓柱容器當作大的薄壁處理，A為薄壁表面積.

聯立式（3）、（4）、（5）、（7），可得敞口容器各階段的導熱溫度瞬時響應方程微分式

將各階段初始條件代入（10）式即可求解容器內平均溫度隨時間的變化關系.

將非穩態導熱到穩態導熱過程依次分成n個階段：

第一階段初始條件為：t＝0，（t）＝T0邊界條件為：Ts（0）＝Ts，T0（0）＝T0.

由于熱源為恒溫熱源，敞口容器外壁處在對流的環境中，邊界條件不會改變，在迭代過程中的每個初始條件可由前一個方程解出.每階段的相關物性取值可以查參考文獻［5］中的空氣物值表.依次迭代方程，可以得到其全過程的溫度瞬時響應變化曲線.

3 應用實例

本文以自制一定體積的圓柱形孔明燈為例，檢驗本文發展的新方法的有效性.取圓柱形孔明燈底部開口直徑d＝0.015m，高度l＝0.65m，燈籠壁為防火紙，厚度δ＝0.0007m，導熱系數κ＝0.154W／（m·K）.下部的恒溫熱源為方塊蠟燭，可以假設其在燈籠下部開口的面積上的平均溫度Ts＝900℃，外界空氣溫度T0＝27℃.用帶30cm探針數顯測溫計插于上部.

根據實驗結果（圖2中圓點線），如果取整個導熱系數的變化范圍的平均值進行1次迭代，則計算結果如圖2中的虛線所示.與實際結果對比發現，兩條曲線在中間部分較為吻合，兩端相差較大.

圖2 平均溫度瞬時響應曲線

因此我們對其進行分段迭代，來對初始階段和末階段進行修正.分段如下：

初始慢速升溫階段：在27～127℃范圍，取κ1＝20.76W／（m·K）；

中間穩定升溫階段：在127～227℃范圍，取κ2＝31.71W／（m·K）；

末態快速升溫階段：在227～327℃范圍，取κ3＝44.27W／（m·K）.

經過三次迭代得到的計算結果如圖2中的實線所示.可以發現，經三次迭代修正后，理論計算得到的溫度變化曲線與實測結果符合較好，這說明通過對初始階段和末態階段的導熱系數取不同平均值后，可以對該階段進行較好的修正.因此在不考慮計算的繁雜性下，可以進行更多次的分段迭代，以取得更好的計算效果.

4 結論

針對變導熱系數條件下定體積容器內部氣體平均溫度變化的工程物理計算問題，本文發展了基于分段迭代法的非穩態導熱集總參數法.以敞口容器為物理模型，給出了變導熱系數條件下容器內部的平均溫度變化的一次、三次迭代計算結果，通過和孔明燈加熱實驗結果進行對比發現，只需三次分段迭代即可取得較好的計算效果.事實上，在不考慮計算的復雜性的情況下，通過更多分段結果的迭代，可以得到與實際結果更加相符的圖像.

［1］Pitts D R，Sissom L E.Schaum's Outline of Theory and Problems of Heat Transfer［M］.2ed.Colubus，Ohio：McGraw-Hill Companies，Inc.1998：99～100.

［2］胡亞才，翁海勇，屠傳經.集總參數法適用條件研究［J］.浙江大學學報：自然科學版，1995（4）：470～475.

［3］顧祥紅.0＜Bi＜∞時非穩態導熱集 參數法探討［J］.遼寧工程技術大學學報：自然科學版，2008（4）：638～640.

［4］Incropera F P，DdWitt D P.Fundamentals of Heat and Mass Transfer［M］.6th ed.Hoboken，NJ：John Wiley ＆Sons，Inc.2007：44～45.

［5］Pitts D R，Sissom L E.Schaum's Outline of Theory and Problems of Heat Transfer［M］.2ed.Colubus，Ohio：McGraw-Hill Companies，Inc.1998：276～277.