等效求解電介質(zhì)球內(nèi)退極化場的前提的證明

李 力

（重慶清華中學(xué)，重慶 400054）

眾所周知，在給定極化強(qiáng)度P的情況下，一般先求出極化電荷分布，進(jìn)而求此種極化電荷分布產(chǎn)生的退極化場E′.對于比較簡單的情形，比如“均勻極化時平行板電容器中電介質(zhì)板內(nèi)”和“沿軸向均勻極化的電介質(zhì)細(xì)棒內(nèi)”等問題，由于電介質(zhì)表面上的面極化電荷均勻分布，所以用這種方法求解退極化場比較簡捷［1］.

對于均勻極化的電介質(zhì)球，由于球面上極化電荷面密度為σ′e＝Pcosθ（θ是球面上該點(diǎn)外法線方向與P的夾角）［1］，分布是不均勻的，所以直接求解退極化場就比較困難.文獻(xiàn)［1］里用一種等效方法來間接地求解，為方便起見，抄錄求解過程如下（圖1）：

“我們把電介質(zhì)球看成均勻帶等量異號電荷的球體重疊在一起，它的極化看成兩球體沿極化方向有一微小相對位移.設(shè)兩球體的電荷體密度分別為±ρe，相對位移為l，則極化強(qiáng)度P＝ρel.兩球在球內(nèi)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度分別為總場強(qiáng)即電介質(zhì)內(nèi)的退極化場為

為什么能夠用這樣的模型來等效地求解？這是教學(xué)中許多初學(xué)者感到困惑的地方.為此，我們只須證明這種模型中電荷面密度分布也是σ′e＝Pcosθ即可.

如圖2，兩半徑均為R的、原本重疊的、帶等量異號電荷的球體沿極化方向（設(shè)為z軸方向）錯開一微小位移l，球心為O1的球帶負(fù)電，球心為O2的球帶正電，電荷體密度分別為±ρe.設(shè)O為新組合體的中心，過O點(diǎn)作與z軸夾角為θ的直線，與兩球面分別交于A、B點(diǎn)，連接O1B和O2A，顯然O1B＝O2A＝R，現(xiàn)在先來求月牙形在θ角處的厚度AB.

圖2

在△O1OB中，因O1O（＝l／2）?O1B，故∠O1BO→0，有

同理，在△O2OA中，∠O2AO→0，有OA≈

所以得

顯然，當(dāng)θ＝0時，AB＝l；當(dāng)θ＝π／2時，AB＝0.

于是，面電荷密度為

這說明此等效模型中面電荷分布與均勻極化電介質(zhì)球表面的極化電荷分布是相同的，從而可以用上述等效方法求解球內(nèi)的退極化場.

［1］趙凱華，陳熙謀.新概念物理教程——電磁學(xué)［M］.2版.北京：高等教育出版社，2009：229，230.