應用矩量法研究有限長帶電直導線的電荷分布

劉 冰 房文靜

（中國石油大學（華東）理學院，山東 青島 266555）

在大學物理教材和教學中，應用疊加原理求解帶電直導線產(chǎn)生的電場強度時，常常先考慮有限長帶電直導線，并由所得結(jié)果討論無限長帶電直導線的場強問題，一般都假設直導線“均勻帶電”.然而有限長與無限長帶電直導線之間對稱性的差別將對導體上的電荷分布產(chǎn)生影響［1］，有限長帶電直導線上的電荷分布并非均勻.本文采用矩量法［2～4］數(shù)值求解了有限長帶電直導線的電荷分布，討論了計算矩陣元的分段數(shù)對電荷密度數(shù)值解的影響.

1 矩量法概述

在電磁工程應用中，給定邊值問題的場方程歸結(jié)為如下算子方程

已知邊界條件為

式中，L為線性算子；g為已知激勵函數(shù)；u為待求函數(shù).就積分方程而言，若對應于靜電場中帶電導線l′上的線電荷密度u＝τ（r′）分布問題，如給定該導線的電位g＝φ，則算子

對函數(shù)u構造一個由有限個線性無關函數(shù)Ni所組成的基函數(shù)集合｛N｝，并令其滿足總體邊界條件式（2），則函數(shù)u的近似解為

式中，ui是待求函數(shù)u的離散解.對于近似解，且L為線性算子，則將式（3）代入式（1）得

由于ui是近似解，作為一般性討論，在L的值域內(nèi)定義一個權函數(shù)集合｛W｝，并就每一個Wj，對式（4）兩邊取內(nèi)積，得

上式即表示算子方程（1）的代數(shù)方程組，由含有N個未知數(shù)ui的N個方程構成.若用矩陣形式表示，則有

式中，系數(shù)矩陣l為

向量u和g分別為

于是在基函數(shù)｛N｝構造的基礎上，進一步選定權函數(shù)｛W｝，就可以計算l和g中的各個元素，并由此得到未知函數(shù)u的數(shù)值解ui（i＝1，2，…，n）.

若選取狄拉克δ函數(shù)為權函數(shù)，即

則式（6）中相應的矩陣元素表示為

從以上兩式可以看出，lji和gj的計算只需求解r′j所在點（匹配點）處的對應值，此方法即為點配法.根據(jù)場的唯一性定理，這些匹配點應選取在相應定解條件所在的位置上，如選取在給定電位值的電極表面.本文采用點配法的計算模式，選取脈沖函數(shù)Πi為基函數(shù)和狄拉克δ函數(shù)為權函數(shù)，數(shù)值求解帶電直導線上的電荷密度分布.

2 矩量法對帶電細直導線電荷分布的計算

原則上，任意帶電體總可以分割為K個點電荷Δqi（i＝1，2，…，K）的集合，邊界上任意一點的電勢可根據(jù)疊加原理由Δqi唯一確定，表示為一個關于Δqi的線性方程，則這K個點的電勢就構成K個這樣的線性方程組，可唯一解出電荷分布Δqi.實際計算中K只能取有限值，因此Δqi的分布影響著數(shù)值計算的精度和收斂性.下面以帶電直線為例分兩種情況討論電荷分布.

如圖1所示，一半徑為a，長度為L的帶電直線，其上給定電位φ0（設無窮遠處為電勢零點），求此帶電直導線上的電荷密度分布.

圖1 帶電直導線模型

（1）帶電直導線長度L遠大于其半徑a

若帶電直導線長度L?a，可把待求導體表面上電荷密度σr（′）的分布，等價地看作沿導體軸線上分布的線電荷密度τ（x′）.根據(jù)單層位勢理論，電勢積分方程的數(shù)學模型為

沿x軸將帶電導體分割為長度均為Δx′的n段小導體段，并令每個導體段的電荷密度為相應的常量τi，但不同小導體段的電荷密度不同.選脈沖函數(shù)Πi為基函數(shù)，則直導線上電荷密度τ（x′）近似為

對應每個小導體段中心，在導體表面上選定n個相應的匹配點建立式（7）的離散積分方程為

采用點配法計算離散積分方程（9）得

寫成矩陣形式為

顯然有

在求解矩陣元素lji時，文獻［2］中將n段小導體段視為位于該段導體中心的點電荷，計算精度不高，而且隨著分段數(shù)n的增加，計算結(jié)果不收斂（見圖2和圖3）.為此，本文仍將每個小導體段視為線電荷分布，通過積分求解矩陣元素lji，可得

圖2 帶正電直導線的電荷密度分布

（2）帶電直導線長度L并非遠大于其半徑a

若帶電直導線長度L并非遠大于其半徑a，則導體表面的電荷面分布σr（′）不能近似為線電荷分布，必須計算導體表面上的電荷面密度σr（′），電勢積分方程為

根據(jù)問題的軸對稱性特征，可采用柱坐標系計算矩陣元素lji，匹配點仍取在導體表面上，類似式（10）的推導，則有

令θj＝0，則式（15）變?yōu)?/p>

式中，xb，xa同式（13）.

3 計算結(jié)果分析

圖3 帶正電直導線的電荷密度分布

假設導體長為L＝1m，電勢為φ0＝±1（相對值，且選無窮遠處為電勢零點），導體半徑為a＝5×10-3m、10-2m，n取10、50、150.分別采用式（13）和式（16）計算導體電荷密度分布，并與文獻［2］的計算結(jié)果比較，如圖2、圖3和圖4所示.

從圖2和圖3中（除圖2（g）和圖3（g）外）可以看出，帶正電直導線上的電荷分布不均勻，兩端密度大，中間密度小，呈現(xiàn)出“∪”型分布.負電荷密度呈“∩”型分布，如圖4所示.從圖2和圖3還看出，本文給出的計算方法得到的數(shù)值解較為穩(wěn)定，利用式（16）進行求解得到的電荷密度分布最為穩(wěn)定.文獻［2］給出的計算結(jié)果在n取值較大時明顯不收斂，如圖2（g）和圖3（g）所示.原因是文獻［2］假定導線長度和導線分段長度都遠遠大于導線的半徑，但隨著n的增大，導線的分段長度Δx′＝L／n接近導線的半徑，不能將其視為線電荷元，應將其視為面電荷元，因此線電荷分布的假設不再成立.

4 結(jié)論

本文應用矩量法研究了帶電直導線上電荷密度分布的不均勻性，導體兩端電荷密度大，中間密度小，正電荷呈“∪”型分布，負電荷呈“∩”型分布，本文計算結(jié)果較為精確且具有良好的收斂性.

圖4 帶負電直導線的電荷密度分布

［1］陳鋼.有限長帶電導體直線的電荷分布［J］.大學物理，2011，30（10）：28～29.

［2］倪光正，錢秀英，等.電磁場數(shù)值計算［M］.北京：高等教育出版社，1996：313～332.

［3］盛劍霓.工程電磁場數(shù)值分析［M］.西安：西安交通大學出版社，1991：8～19.

［4］哈林登R F.計算電磁場的矩量法［M］.北京：國防工業(yè)出版社，1981：6～13.