復共線聯立方程模型參數的修正間接嶺估計

胡俊航 彭麗

摘要 在結構方程恰好被識別時，研究了外生變量設計矩陣X復共線時聯立方程模型的參數估計問題，提出了參數的一種修正間接嶺估計方法，并證明了這種參數估計的良好統計性質，最后給出了在修正間接嶺估計均方誤差最小意義下嶺參數的一種選擇方法.

關鍵詞 聯立方程；參數估計；間接嶺估計；嶺參數

中圖分類號O212文獻標識碼A

1引言

聯立方程模型的參數估計問題是理論計量經濟學的重要內容，Engle 和 Kroner [1]1995年提出在不考慮異方差擾動的條件下，用二階段最小二乘（2SLS）和三階段最小二乘（3SLS）估計模型的參數；Chuanming Gao和Kajal Lahiri [2]于2001年又提出了雙-k類估計； Emma M. Iglesias 和Garry D.A. Phillips[3] 2005年對2SLS、有限信息最大似然估計（LIML ）和 3SLS 估計進行了理論和模擬研究；還有完全信息最大似然估計（FIML）和間接最小二乘估計（ILS）[4].在結構方程恰好識別時，間接最小二乘法（ILS估計）是估計結構方程參數的重要方法.但是當外生變量的設計矩陣出現復共線時，用間接最小二乘法估計的參數性質變得很差.本文提出一種參數的修正間接嶺估計方法，首先推導出參數的估計公式，然后對它進行了修正，使其修正后的估計值具有良好的統計性質，并證明了這些性質.最后給出了在修正的嶺估計均方誤差最小意義下的一種嶺參數的選擇方法.

2模型概述與符號表示

聯立方程模型的結構方程的矩陣形式為

證畢

綜合定理1，定理2，和參數間接最小二乘估計相比，修正的間接嶺估計使估計參數的各分量縮小，并且使其均方誤差縮小.

5嶺參數的選擇

考慮在估計參數的均方誤差最小意義下來選擇嶺參數k，而這個均方誤差是聯立方程中所有方程的估計參數的均方誤差，記作F（k）.由定理2可知

要在F（k）最小的意義直接推導出嶺參數k是比較困難的，為此，可以考慮利用均方誤差F（k）的曲線[5]（以嶺參數k為橫坐標，均方誤差F（k）為縱坐標），通過觀察均方誤差曲線，選擇使F（k）最小的嶺參數k（一般選擇使F（k）取得極小值的最小的k或者使F（k）穩定的最小的k）.不過在上式的F（k）中還含有未知的Var（Yi）=σ2iIn和各個方程的系數真值Qi，這可以用各方程系數的最小二乘估計il來代替Qi，再把計算出的il代入第i個方程求出2i 來代替σ2i.這樣，上式F（k）的右邊只有一個變量k了，就可以根據均方誤差曲線按前面所說的方法來選擇嶺參數k.若il與Qi差異很大，可以考慮用參數的第一次嶺估計（1）iak代入F（k），用上述方法再次選擇k，進行第二次嶺估計，這樣迭代下去，直到連續兩次嶺估計的差異很小，停止迭代，得到參數的嶺估計.

6數值模擬

構建恰好識別的聯立方程模型

用（12）對Y1，Y2進行估計，估計值如表1所示，從圖1可以看出用間接最小二乘估計的模型擬合效果很好，擬合線幾乎完全重合.

下面用修正的間接嶺估計公式（7）重新對模型（11）進行估計首先利用模型參數的均方誤差曲線F（k）選擇嶺參數k， 從圖2的均方誤差曲線F（k）可以看出，從k=0.1開始，F（k）下降的趨勢平緩，參數的均方誤差很小。不妨取嶺參數k=0.1，用修正的間接嶺估計方法（7）估計模型（11），得模型中的參數分別為

從圖3上觀察第一個模型的擬合效果沒有模型（12）的第一個模型擬合效果好難道修正的間接嶺估計方法沒有間接最小二乘估計方法優越嗎？肯定不是，如果把模型（12）和模型（13）的參數與模型參數的真值進行比較就會發現，用修正的間接嶺估計

的模型參數比用間接最小二乘估計估計的模型參數更接近模型參數的真實值，這一點在圖2中也能清楚看到，參數間接最小二乘估計的均方誤差遠大于參數修正間接嶺估計的均方誤差.可見當聯立方程模型外生變量的設計矩陣復共線時，參數的修正的間接嶺估計優于參數間接最小二乘估計.

6結束語

從以上分析可以看出，文章對外生變量設計矩陣X復共線的聯立方程模型在方程恰好識別時提出一種參數的修正間接嶺估計方法，推導出了估計公式，并且這種參數估計是間接最小二乘估計的一種壓縮估計，其均方誤差也比間接最小二乘估計的均方誤差小，通過數值模擬也驗證了上述結論，參數估計效果優于間接最小二乘估計.

參考文獻

[1]Robert F ENGLE ， Kenneth F KRONER. Multivariate simultaneous generalised ARCH[J]. Econometric Theory，1995， 11（1）：122-150.

[2]Chuanming GAO， Kajal LAHIRI. A note on the double kclass estimator in simultaneous equations[J]. Journal of Econometrics， 2001， 108 （1）：101-111.

[3]Garry D A PHILLIPS， Emma M IGLESIAS. Simultaneous equations and the validity of instrumental variables under conditionally heteroscedastic disturbances[M]. London ：ESWC ， 2005.

[4]童恒慶.理論計量經濟學[M] .北京：科技出版社，2005：373-403.

[5]童恒慶.經濟回歸模型及計算[M].湖北：科學技術出版社，1997.