基于大學(xué)生創(chuàng)新能力培養(yǎng)的數(shù)學(xué)猜想思維教學(xué)研究*

周宇劍

(湖南科技學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，湖南永州425100)

“創(chuàng)新是一個(gè)民族的靈魂，是一個(gè)國(guó)家興旺發(fā)達(dá)的不竭動(dòng)力.”大學(xué)生是未來(lái)掌握高端技術(shù)和前沿知識(shí)的特殊群體，其創(chuàng)新能力水平直接關(guān)系到中華民族的興旺與發(fā)展.創(chuàng)新能力包括創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新思維和創(chuàng)新技能等智力和非智力因素.培養(yǎng)大學(xué)生創(chuàng)新能力的核心在于對(duì)創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng).“數(shù)學(xué)是思維的體操”，通過(guò)對(duì)大學(xué)生進(jìn)行發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題、猜想新方法、解決新問(wèn)題的數(shù)學(xué)猜想思維培養(yǎng)，將在培養(yǎng)大學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新品質(zhì)、創(chuàng)新技法、創(chuàng)新技巧等方面產(chǎn)生深刻影響，從而有助于提高他們的創(chuàng)新能力.牛頓曾說(shuō):“沒(méi)有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn).”波利亞也說(shuō)“要成為一個(gè)好的數(shù)學(xué)家，你必須首先是一個(gè)好的猜想家.……假如你希望用一句話來(lái)說(shuō)明什么是科學(xué)的方法，那么我提議它是:猜測(cè)和檢驗(yàn)”［1］.

1 相關(guān)概念

猜想指?jìng)€(gè)體根據(jù)非結(jié)論性的證據(jù)所作的推測(cè).即聯(lián)系已有知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)對(duì)研究的對(duì)象或問(wèn)題進(jìn)行觀察、分解、選擇、實(shí)驗(yàn)、分析、比較、聯(lián)想、類(lèi)比、歸納等，作出符合一定經(jīng)驗(yàn)與事實(shí)的推測(cè)性想象的思維形式.它是一種合情推理，屬于綜合程度較高的帶有一定直覺(jué)性的高級(jí)認(rèn)識(shí)過(guò)程.對(duì)于數(shù)學(xué)研究或發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，猜想方法是一種重要的基本思維方法［1］.數(shù)學(xué)猜想指在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)或解決問(wèn)題時(shí)展開(kāi)的分析、嘗試和探索，是關(guān)于涉及到數(shù)學(xué)的問(wèn)題的主導(dǎo)思想、方法以及答案的形式、范圍、數(shù)值等的猜測(cè)［2］.數(shù)學(xué)猜想是一種非邏輯性方法，它包括類(lèi)比猜想、歸納猜想、探索猜想、仿造猜想、審美猜想等形式.數(shù)學(xué)猜想實(shí)際還是一種數(shù)學(xué)思想方法，是人的思維在探索數(shù)學(xué)規(guī)律和本質(zhì)時(shí)的一種策略，是建立在事實(shí)和已有經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的一種假定，是一種合理推想.數(shù)學(xué)猜想具有假定性、可行性和創(chuàng)新性三個(gè)基本特征［3］.數(shù)學(xué)事實(shí)首先是被猜想，然后是被證實(shí).數(shù)學(xué)猜想的形成過(guò)程就是針對(duì)研究的對(duì)象或問(wèn)題聯(lián)系已有知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行形象的分解、選擇、加工、改造的整合過(guò)程.個(gè)體根據(jù)自身已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和對(duì)現(xiàn)有數(shù)學(xué)問(wèn)題或需要應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決的相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題的不斷認(rèn)識(shí)與篩選，由最初的對(duì)問(wèn)題的感性認(rèn)識(shí)過(guò)渡到理性地把握問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，猜想可能解決問(wèn)題的思路及可能要運(yùn)用的策略，使個(gè)體對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)更加具體、細(xì)微，從而縮小解決問(wèn)題的方法或策略與順利解決問(wèn)題之間的差距，促進(jìn)問(wèn)題得以解決.同時(shí)，數(shù)學(xué)問(wèn)題的成功解決并不一定僅靠一次猜想探索就能順利完成，需要不斷地變更思路［4］，在“已知—可知—須知—求知”的思維鏈中，不斷尋求和修正問(wèn)題解決的策略與方向，直至成功解決問(wèn)題.只有認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)猜想的意義，具有了猜想的意識(shí)，才能在數(shù)學(xué)問(wèn)題情境中大膽地提出并驗(yàn)證猜想.

2 培養(yǎng)猜想思維能力的必要性研究

2.1 大學(xué)生數(shù)學(xué)能力水平測(cè)試介紹

采用Blair Aolsin著，劉燁編譯的《世界500強(qiáng)職商測(cè)試題》中的《數(shù)學(xué)能力測(cè)試題》于2011年5－6月對(duì)湖南科技學(xué)院來(lái)自全國(guó)28個(gè)生源省的大一至大四的學(xué)生進(jìn)行了測(cè)試，共10個(gè)數(shù)學(xué)選擇題，每題3分，共30分.按同一測(cè)試量表、同一要求對(duì)被抽對(duì)象進(jìn)行10分鐘的測(cè)試，按同一標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一閱卷和登記統(tǒng)計(jì).總樣本容量為1812人(男973人，女839人).

2.2 測(cè)試分析與結(jié)論

2.2.1 大學(xué)生數(shù)學(xué)能力水平不盡如人意

其中，速度=正確題數(shù)/測(cè)試時(shí)間(分鐘).

表1 大學(xué)生數(shù)學(xué)能力測(cè)試情況描述

表2 得分頻數(shù)分布表

由表1可看出，全校被試學(xué)生的得分平均值為18.92，才剛剛超過(guò)合格成績(jī).他們的解決問(wèn)題的速度也只是1分鐘解決0.631個(gè).由表2可看出，大學(xué)生的數(shù)學(xué)能力水平并不太盡如人意.35.1%的大學(xué)生達(dá)到合格(18－21分)，31.3%的大學(xué)生獲得優(yōu)秀(24－30分)，還有33.6%的大學(xué)生數(shù)學(xué)能力測(cè)試不及格(18分以下).

2.2.2 猜想思維能力在數(shù)學(xué)能力測(cè)試中起重要作用

事實(shí)上這些測(cè)試題并不高深莫測(cè)，只涉及數(shù)學(xué)計(jì)算、方程、函數(shù)等內(nèi)容.高中生甚至初中生就可以做.對(duì)于這10個(gè)選擇題，許多學(xué)生都非常認(rèn)真地按部就班地設(shè)元求解，最后的結(jié)果就是10分鐘到了，還有好幾個(gè)題目沒(méi)做完.而事實(shí)上，這些看似需要計(jì)算的數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果采用猜想法，幾乎不用10分鐘就可以推斷出來(lái).但是，這中間似乎出現(xiàn)一種誤區(qū)，就是:既然是數(shù)學(xué)能力測(cè)試，肯定少不了計(jì)算，而這10個(gè)問(wèn)題均可通過(guò)基本的列方程計(jì)算出來(lái).于是大家都埋頭苦干起來(lái).但是，有的題目甚至不需要列方程，只要仔細(xì)分析題意，經(jīng)過(guò)猜想和驗(yàn)證就可以直接得出要選的結(jié)果.

例如:兄弟三人分蘋(píng)果，每人所得的個(gè)數(shù)等于其三年前的年齡數(shù)，而蘋(píng)果共有24個(gè).如果老三把所得的蘋(píng)果半數(shù)平分給老大、老二，然后老二把所得蘋(píng)果的半數(shù)分給老大、老三，最后老大把所得的蘋(píng)果的半數(shù)平分給老二、老三，則每人手里的蘋(píng)果相等.請(qǐng)問(wèn):兄弟三人年齡各是多少?

(A)老大12歲，老二6歲，老三3歲;

(B)老大13歲，老二7歲，老三4歲;

(C)老大16歲，老二10歲，老三7歲;

(D)老大19歲，老二13歲，老三10歲.

這道題目用猜想法很快可以得出答案.猜想兄弟年齡如果確定，那么它們的年齡和應(yīng)為24+9=33.計(jì)算一下4個(gè)選項(xiàng)中兄弟三人的年齡和，馬上可以得出答案選C.但是如果計(jì)算的話，費(fèi)時(shí)一定不少.由此，反映出的問(wèn)題是:很有必要對(duì)學(xué)生進(jìn)行猜想思維的培養(yǎng)和訓(xùn)練.

3 培養(yǎng)大學(xué)生數(shù)學(xué)猜想思維的有效途徑

3.1 在概念教學(xué)中注重有意識(shí)地誘導(dǎo)學(xué)生猜想

數(shù)學(xué)定義、命題、公式、法則、性質(zhì)、定理及其推論教學(xué)，是引導(dǎo)學(xué)生猜想的大好時(shí)機(jī).在這些內(nèi)容的教學(xué)中，要善于誘導(dǎo)學(xué)生猜想，從實(shí)際生活中的實(shí)例或從已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生自己由類(lèi)比或歸納猜測(cè)出要學(xué)習(xí)的相關(guān)概念與結(jié)論.

例如:在教完數(shù)列的極限后學(xué)習(xí)函數(shù)的極限時(shí)，可以就數(shù)列的極限的定義、性質(zhì)讓學(xué)生類(lèi)比猜想函數(shù)的極限的定義和相關(guān)性質(zhì).由于函數(shù)極限與數(shù)列極限一樣，也具有唯一性、有界性、保號(hào)性等性質(zhì)，并且證明方法和幾何解釋也類(lèi)似，學(xué)生通過(guò)思考和猜想，完全可以類(lèi)比出函數(shù)極限的定義和相關(guān)性質(zhì).同樣，在學(xué)了導(dǎo)數(shù)、微分的相關(guān)概念與性質(zhì)后，可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)歸納與類(lèi)比，猜想高階導(dǎo)數(shù)、高階微分的定義與相關(guān)性質(zhì);學(xué)完函數(shù)的凸性相關(guān)概念和性質(zhì)后，可引導(dǎo)學(xué)生猜想函數(shù)的凹性的相關(guān)概念和性質(zhì);由水平漸近線的概念猜想垂直漸近線和斜漸近線的概念;由求不定積分的方法猜想求定積分的方法;由無(wú)窮小的性質(zhì)猜想無(wú)窮大的性質(zhì);由初等函數(shù)的連續(xù)性和極限運(yùn)算性質(zhì)猜想冪指函數(shù)的連續(xù)性與極限運(yùn)算;由定積分的概念與幾何解釋猜想二重積分的概念與幾何解釋;由左右極限的概念猜想左右導(dǎo)數(shù)的概念;由一元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)與微分法猜想多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)與微分法;由一階偏導(dǎo)數(shù)的求法猜想高階偏導(dǎo)數(shù)的求法;由一元函數(shù)相關(guān)性質(zhì)猜想多元函數(shù)相關(guān)性質(zhì);由區(qū)間的概念猜想平面內(nèi)區(qū)域的概念;由一維隨機(jī)變量及其分布中的相關(guān)定義、分布律、密度函數(shù)、隨機(jī)變量間的獨(dú)立性等猜想出二維、三維、四維乃至更高維隨機(jī)變量及其分布的相應(yīng)結(jié)論，等等.

在教授過(guò)程中也可利用歸納猜想引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)概念與定理.如在進(jìn)行微分中值定理的講解時(shí)，先介紹簡(jiǎn)單的羅爾定理;再去掉它的第三個(gè)條件，引導(dǎo)學(xué)生猜想出拉格朗日中值定理的結(jié)論;再進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生將拉格朗日中值定理推廣猜出柯西中值定理的結(jié)論;把隨機(jī)變量的期望、方差、協(xié)方差、矩等數(shù)字特征放到一起歸納其共性時(shí)學(xué)生很快會(huì)猜想出這幾個(gè)數(shù)字特征都可以用數(shù)學(xué)期望來(lái)表示，矩是一般式或通式，期望、方差和協(xié)方差都是矩的特殊情形等.

當(dāng)然，并不是所有的猜想都是科學(xué)的、正確的.如，一階微分具有微分形式不變性，但高階微分卻不具有形式不變性;一元函數(shù)中，函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)必連續(xù)，但在多元函數(shù)中，函數(shù)在某點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在，并不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù);一元函數(shù)可微與可導(dǎo)是等價(jià)的，但二元函數(shù)在某點(diǎn)可偏導(dǎo)時(shí)卻不一定能保證在這點(diǎn)可微;又如利用極限的運(yùn)算法則猜想微分運(yùn)算法則時(shí)，其中加減法是可以相通的，但微分的乘除法已經(jīng)不能用極限的乘除法法則延伸了.對(duì)于這些特殊的情況，一定要著重引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)并接受，避免他們?cè)谝院蟮膽?yīng)用中出錯(cuò).

3.2 在解題教學(xué)中抓住有利時(shí)機(jī)引導(dǎo)學(xué)生猜想

在解題教學(xué)中，在著手解題之前也可不失時(shí)機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生猜想解題方法或解題結(jié)果.

這三道題只是改變了分子、分母兩多項(xiàng)式的次數(shù)，但是結(jié)果卻截然不同.可先引導(dǎo)學(xué)生猜猜它們的結(jié)果會(huì)怎樣?然后讓他們自己計(jì)算.

(2)與(1)類(lèi)似，分子、分母同除以分母的最高次冪x3，有

通過(guò)這三道小題的猜想與講解，可驗(yàn)證他們的猜想是否正確，同時(shí)還可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步猜測(cè)出如下結(jié)論:

設(shè)f(x)和g(x)分別為n次和m次多項(xiàng)式，即f(x)=a0xn+a1xn－1+ … +an，g(x)=b0xm+b1xm－1+ … +bm，其中 a0，b0不為 0，則特別地，若g(x)=1，則，其中 n≥1.

這樣，既讓學(xué)生學(xué)會(huì)了不同類(lèi)型極限的求法，也學(xué)會(huì)了兩個(gè)多項(xiàng)式商的極限的不同情況的求法.同時(shí)也讓學(xué)生參與了猜想和體驗(yàn)驗(yàn)證猜想的經(jīng)歷.

猜想不但是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要方法，也被廣泛應(yīng)用于其它學(xué)科.在大學(xué)數(shù)學(xué)中適時(shí)、適當(dāng)鼓勵(lì)學(xué)生不滿(mǎn)足于現(xiàn)有結(jié)論，積極思考，大膽猜想新方法、新結(jié)論，不但能培養(yǎng)大學(xué)生的創(chuàng)新思維，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

［1］波利亞G.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)(第2卷)［M］.劉景麟，曹之江，鄒清蓮，譯.呼和浩特:內(nèi)蒙古人民出版社，1981.

［2］任章輝.數(shù)學(xué)思維理論［M］.南寧:廣西教育出版社，2001.

［3］沈浮，王俊，張清澤.數(shù)學(xué)猜想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用［J］.蘭州教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，(1):114.

［4］建瑋，劉凱年.猜想的認(rèn)知心理學(xué)分析及其應(yīng)用［J］.重慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2002，(4):91 －94.