復變函數課程的教學方法探討*

尹景本，趙晨萍

(河南科技學院數學科學學院，河南新鄉453003)

作為數學專業的一門重要基礎課，復變函數在數學課程體系的地位非常重要，它是數學分析在復數域上的延拓，在知識結構、理論體系、研究方法等方面，二者密切相關.數學專業的調和分析、泛函分析、數理方程等課程與復變函數有較大的聯系.通過本課程的學習不但鞏固了數學分析的知識，而且為后續課程打下了堅實的理論基礎.

上世紀末，我國的高等教育進行改革，新的專業課程不斷涌現，原來的一些專業課教學課時數不斷減少［1］.因此一些高校的復變函數課時縮減了25%，因此不可能像原來那樣按部就班地講授所有的課程內容，有些內容不得不讓學生自學，有些知識點一帶而過.老師為了趕課講得累，學生思維跟不上，對學過的知識像囫圇吞棗.這樣，課程的嚴謹性得不到保證，學生也不能系統地掌握基本理論.學生感到習題難做，因為他們對那些基本概念似懂非懂，從而失去了學習的積極性，這無益于人才的培養.另外，復變函數是數學專業的專業基礎課，傳統認識是復變函數課程應該重視理論講授，但這種灌輸式教學不能很好發揮學生的主體作用，學生獲得的課堂信息量較小.

為了使學生在有限的課時內既能夠掌握基本理論，又了解其應用，在復變函數課程教學內容、教學方法與教學手段上進行了改進.

1 合理安排教學內容

數學專業的復變函數課時減少了，教材一般仍采用鐘玉泉編的《復變函數論》第三版，這必然涉及到教材內容的取舍.復變函數的主要研究對象是解析函數，主要的研究內容就是解析函數的Cauchy積分理論即復變函數的積分、解析函數的Weierstrass級數理論即解析函數的 Taylor展式及Laurent展式，以及Riemann的共形映射理論［2］.我們要重點講解基本概念、性質、定理，分類歸納基本解題方法，講清證明思路.對于復數的基本概念，學生在高中階段已經學習過，可以略講.解析延拓和調和函數可以刪去或僅簡要介紹一下基本內容和方法.解析理論部分著重講解初等解析函數的多值性及其單葉解析分支.對于那些費時多，學生又難于理解要求較高的章節，且與后續課程聯系不大的可以不講，讓學有余力的學生自學.

數學專業新的培養目標，不僅要求學生具備扎實的數學理論基礎，同時還要求學生有解決實際問題的能力.應當適當增設實驗課，那些繁雜的運算代之以計算機和數學軟件處理.譬如展開有理函數的部分分式、計算留數均可采用Matlab軟件來完成，使學生從這些初等運算中解脫出來，只需搞清其數學思想，知道怎么轉化即可，從而提高學生的學習興趣.

2 認真組織教學過程

2.1 課程的引入

第一堂課先向學生簡單介紹復變函數在數學專業培養方案中的重要地位，舉例說明它在理論物理、空氣動力學、流體力學、彈性力學、自動控制學、信號處理、電子工程技術等領域的應用，抓住學生的好奇心，使他們產生學習該課程的渴望，激發其學習的積極性;然后介紹復變函數的主要研究對象(解析函數)與數學分析的研究對象(連續函數)之間的區別與聯系，自始至終都可采用這種對比的教學方法.在研究極限與連續性時，與二元函數的極限進行比較，找尋其共性與差異，認真區別二者的本質.學習函數的連續性、可導性、可微性和可積性時，學生對照二元函數的一系列性質可以自己總結，培養學生的自學能力;最后向學生指明課程的幾大模塊，讓學生對該課程的框架有一個總體認知.

2.2 多種教學方法并用

概念是學好數學課程的關鍵.在引入概念時，先介紹一些物理背景，找出其共性，抽象出其本質，用數學語言來描述，從而形成概念.在對概念的啟發式教學過程中，建立復變函數知識構架，按照新的知識構架，加強學生的思維訓練，達到提高學生數學素養的目的.

在講授定理的證明與積分的計算時，多采用類比法.通過和數學分析比較，便于學生加深對實函數的理解，進而更清楚地認識復變函數.如在數學分析課程中，從幾何角度分析，總結歸納出定積分的定義，而在復變函數中，我們是直接從表達式入手得出復積分的定義［3］.

在講授概念的性質與定理的幾何意義時，多采用圖示法，加強幾何思想在教學中的滲透，積極培養學生的幾何直觀感，這樣不但改變學生普遍存在的幾何思想差的現象，同時由于幾何的直觀性更加容易引起學生的學習興趣.

在講授復變函數的應用時，多采用問題驅動法.教師根據授課內容，設置情景，提出問題，讓學生發現解決實際問題需要的理論知識，培養學生發現、分析、解決問題的能力.同時給學生留思考題，讓他們利用所學知識撰寫小論文.如學習復數的幅角時，我們提出:“為什么現在市場上涌現出大量的數碼相機，而普通的像機有被取而代之的趨向?”同學們會說:“數碼像機成像有立體感.”“為什么數碼成像會有立體感?”學生們陷入沉思，迫切想知道其原由，這樣引起了他們對知識的渴望.當學習了本節內容后，他們知道原來數碼相機不僅反映每個點的距離，而且也反映該點的位置，也就同時反映了復數的模和幅角.這樣學生對本節知識掌握得更加牢固，而且讓學生感到所學知識有非常廣泛的應用環境，激發他們的創造欲.

正如楊叔子先生所言，“學習是為了實踐.沒有實踐，沒有證實，就沒有科學”［1］.我們在講授復變函數理論知識時，一定要結合實際應用背景，唯有此，才能體現學科的價值，才能抓住學生的心理，把學生的思維緊緊集中在課堂上.

2.3 加強師生互動［4］

由于擴招后一個授課班級學數達到120人甚至更多，為了調動學生的積極性，活躍堂氣氛，必須加強師生互動，使學生真正參與到教學中去，成為教學的主體.在講授復級數基本性質時，先復習一下實級數的性質，讓學生猜想復級數的性質，然后重點分析二者的性質哪些是相同的，哪些是不同的.在學習復積分的計算時，先舉出實積分的一些例子，有些例子用實積分的方法處理非常麻煩，板書四、五板塊才能做出，有的甚至根本無法求解，這時啟發學生使用Cauchy積分公式或留數定理，轉化為初中代數運算，在一兩分鐘內解決問題.這樣讓學生感受到復積分方法的神奇，提高學生的學習熱情和積極性.

3 注重教學手段多樣化

數學專業的復變函數雖然以公式推導理論闡述居多，在教學中我們應將多媒體與傳統的板書結合起來，定理、例題等可以采用投影儀，證明與計算采用板書.對一些較復雜的圖像，最好采用多媒體，這樣立體感較強，圖文清晰，若采用人工畫圖，有時需要十幾分鐘，大大浪費了寶貴的授課時間.由于多媒體投影屏幕大，有利于大班授課，比較適合當前擴招的現狀.一些優秀的數學軟件，像Mathematica、Matlab等在我們的教學過程中合理使用也會起到事半功倍的效果.多媒體課件與板書一樣是輔助講課的.利用數學軟件與多媒體授課，學生能把視聽結合起來，信息量大，老師有更多的時間幫助學生掌握復變函數的思想和方法，理解其本質與精髓.因此，利用多媒體授課即能豐富教學內容，開闊認知領域，擴大學生的視野，也使教學的互動性成為可能，解決了復變函數課時偏少的問題［5］.在定義復平面上的無窮遠點、描述擴充復平面和復球面的對應關系以及表示共形映射時，采用多媒體投影，學生反應強烈，情緒高漲.多媒體課件的制作花費大量的時間和精力，教師若將更多的精力放在課件的外觀、功能、效果的設計上，沒有花時間鉆研教材教法或忽視了教材教法的研究是不可取的，多媒體是用來支持教學工作，主要用來解決一些傳統教學中不易解決的問題.

4 結語

復變函數的講授重在讓學生掌握數學方法和數學思想，培養學生的數理邏輯思維和創新能力，培養學生的社會活動能力，這對教師提出了更高的要求.我們必須轉變傳統教學觀念，大膽進行教學改革，嘗試不同的教學方法與教學手段，加強教師與學生的互動，發揮學生的主體作用，不斷提高課堂效率和教學效果.

［1］谷群輝，鄭洲順，何勇，等.本科應用數學專業復變函數課程教學方法的改革與實踐［J］.數學理論與應用，2002，(4):23 －25.

［2］鐘玉泉.復變函數論［M］.北京:高等教育出版社，2004.

［3］陳躍.從歷史的角度引入復積分［J］.高等數學研究，2007，(1):14－17.

［4］劉小松.高校師院復變函數課程的教改［J］.湘潭師范學院學報，2007，(4):175 －176.

［5］肖杰，陳翔.大學計算機精品課程教學改革與實踐［J］.長沙大學學報，2011，(5):118 －120.