論平面空間的自然代數(shù)結(jié)構(gòu)*

盧一兵，王應(yīng)德，張海濤

(長沙大學(xué)電子與通信工程系，湖南長沙410003)

1 幾何平面結(jié)構(gòu)與復(fù)數(shù)代數(shù)結(jié)構(gòu)的對應(yīng)關(guān)系

眾所周知，通過建立一個橫軸為實軸，縱軸為虛軸的直角坐標(biāo)系，可以建立起復(fù)數(shù)數(shù)系與幾何平面之間的對應(yīng)關(guān)系.然而，在這種對應(yīng)關(guān)系中，不難發(fā)現(xiàn)，復(fù)數(shù)中與虛數(shù)相對應(yīng)矢量和復(fù)數(shù)中與實數(shù)相對應(yīng)的矢量，此兩者總是相互垂直的.這是為什么呢?這種垂直關(guān)系是人為規(guī)定的，還是復(fù)數(shù)數(shù)系所固有的?對于這一問題，本文研究發(fā)現(xiàn)，在復(fù)數(shù)與平面相互應(yīng)對應(yīng)關(guān)系中，虛數(shù)矢量與實數(shù)矢量相互垂直的幾何特性，并非是人為規(guī)定，而是由復(fù)數(shù)的數(shù)系結(jié)構(gòu)所固有.

要想弄清復(fù)數(shù)系中虛數(shù)與實數(shù)存在著固有的幾何垂直關(guān)系，我們首先就必須復(fù)數(shù)系中引入一種全新的復(fù)數(shù)運(yùn)算，這種新的復(fù)數(shù)運(yùn)算可稱為復(fù)數(shù)的內(nèi)積運(yùn)算.

下面給出復(fù)數(shù)系中，任意兩復(fù)數(shù)的內(nèi)積運(yùn)算定義:

設(shè) za與 zb為任意復(fù)數(shù)為的共軛復(fù)數(shù)為 zb的共軛復(fù)數(shù)，“*”為任意兩復(fù)數(shù)的內(nèi)積運(yùn)算符號.

定義任意兩個復(fù)數(shù)za與zb的內(nèi)積運(yùn)算“* ”為:za*zb

由此定義，不難證明復(fù)數(shù)的內(nèi)積運(yùn)算“* ”，有下列基本性質(zhì):

(2)za*zb=zb*za，即復(fù)數(shù)的內(nèi)積運(yùn)算具有交換性.

(3)(za+zb)*zc=za*zc+zb*zc，即復(fù)數(shù)的內(nèi)積運(yùn)算對復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算具有分配性.

(5)z*z≥0，等號當(dāng)且僅當(dāng)z=0時成立.

按上述方式定義的復(fù)數(shù)運(yùn)算“* ”，由線性空間理論知，應(yīng)為一個內(nèi)積運(yùn)算，所以，可把按上述方式定義的復(fù)數(shù)運(yùn)算稱為復(fù)數(shù)的內(nèi)積運(yùn)算.

顯然，復(fù)數(shù)系中定義的內(nèi)積運(yùn)算“*”與線性空間中的內(nèi)積運(yùn)算，在其體系的運(yùn)算結(jié)構(gòu)上還是有所區(qū)別的.

因為，在線性空間的理論中，對任意三個線性元素間，進(jìn)行內(nèi)積運(yùn)算是沒有意義的.而在復(fù)數(shù)系中，任意三個復(fù)數(shù)間，則是可進(jìn)行內(nèi)積運(yùn)算的.且有下列運(yùn)算特性:

由于在復(fù)數(shù)系中，引入了內(nèi)積運(yùn)算，由線性空間的理論，建立起任一復(fù)數(shù)的長度或是任意兩復(fù)數(shù)間夾角的概念.

在一個完備的幾何結(jié)構(gòu)中，除了要有長度與角度的概念處，還有一個重要的幾何概念面積.為了使復(fù)數(shù)代數(shù)結(jié)構(gòu)能與平面幾何結(jié)構(gòu)建立起更為嚴(yán)格的對應(yīng)關(guān)系，因此，就必須在復(fù)數(shù)域中，進(jìn)一步地引入一個新的復(fù)數(shù)運(yùn)算，即復(fù)數(shù)的外積運(yùn)算.下面給出復(fù)數(shù)系中，任意兩復(fù)數(shù)間的外積運(yùn)算定義.

設(shè) za與zb為任意復(fù)數(shù)為za的共軛復(fù)數(shù)為zb的共軛復(fù)數(shù)，“∧”為任意兩復(fù)數(shù)的外積運(yùn)算符號.

定義任意兩個復(fù)數(shù)za與zb的外積運(yùn)算“∧”為:za∧zb

由此不難證明復(fù)數(shù)的外積運(yùn)算“∧”，有下列基本性質(zhì):

(2)za∧zb=－(zb∧za)，即復(fù)數(shù)的外積運(yùn)算具有反交換性.

(3)(za+zb)∧zc=za∧zc+zb∧zc，或za∧(zb+zc)=za∧zb+za∧zc.即復(fù)數(shù)的外積運(yùn)算對復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算具有分配性.

顯然，按上述方式定義的復(fù)數(shù)外積運(yùn)算“∧”，在復(fù)數(shù)域中還應(yīng)是一個李代數(shù).由于，在復(fù)數(shù)中引入了復(fù)數(shù)的外積運(yùn)算，由線性空間理論知:

綜上所述，平面幾何理論結(jié)構(gòu)，在數(shù)學(xué)理論的邏輯結(jié)構(gòu)上，是與代數(shù)數(shù)系的體系結(jié)構(gòu)相互對應(yīng)的.過去人們之所之沒有發(fā)現(xiàn)這種對應(yīng)關(guān)系，本文認(rèn)為，根本的原因在于，在以往的復(fù)數(shù)代數(shù)理論中，沒有建立起與之相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算.只要在復(fù)數(shù)的代數(shù)理論中，引入復(fù)數(shù)的內(nèi)積與外積運(yùn)算，由線性空間理論知，代數(shù)理論中的“數(shù)”與幾何理論中的“形”便可成為一個統(tǒng)一的整體.顯然，這種能把代數(shù)的與幾何的形統(tǒng)一的數(shù)學(xué)理論，要比笛卡爾的解析幾何理論形式更為高級.

2 幾何平面結(jié)構(gòu)與其它二元代數(shù)結(jié)構(gòu)的對應(yīng)關(guān)系

我們所感興趣的問題是，能夠把數(shù)與形在結(jié)構(gòu)上統(tǒng)一起來的代數(shù)數(shù)系，是否就一定只能是復(fù)數(shù)系中的數(shù)?

由現(xiàn)代代數(shù)理論知，這一問題的答案，顯然是否定的.下面先給出一個不同于復(fù)數(shù)系的二元代數(shù)數(shù)系.

從群代數(shù)的理論來看，常用的復(fù)數(shù)系，是由一個四階循環(huán)群與一個實數(shù)域結(jié)合構(gòu)成的.這個四階群的四個元素可記為(1，－1，i，－i).既然，四階循環(huán)群與實數(shù)域結(jié)合能形成一個二維的復(fù)數(shù)代數(shù).那么，用其它的可交換四階群與一個實數(shù)域結(jié)合是否也能形成一個新的二維代數(shù)數(shù)系呢?對此問題，通過本課題的研究結(jié)果表明，完全可以形成一個新的不同已知復(fù)數(shù)數(shù)系的二維代數(shù)數(shù)系.

眾所周知，在四階可交換群中，除了四階循環(huán)群外，還有一個四階克萊因(Klein)群，如果把此群中的每個元素分別表為，(e1，e2，e3，e4)，則此克萊因(Klein)群關(guān)于乘法運(yùn)算的運(yùn)算表為:

·e1 e2 e3 e4 e1 e1 e2 e3 e4 e2 e2 e1 e4 je3 e3 e3 e4 e1 e2 e4 e4 e3 e2 e1

在此群表中，如果把單位元e1記為數(shù)1，其余的三個元素 e2，e3，e4分別記為 － 1，j，－ j，則此群表則為如下形式

·1－1j －j－j－1 －1 1 －j j j j－j 1 －1－j －j j －1 1 1－1j 1

把此群表與四階循環(huán)群(1，－1，i，－i)的運(yùn)算表對比

·1－1i －i－i－1 －1 1 －i i i i－i －1 1－i －i i 1 －1 1 1－1i

顯然兩者是不同的.在四階克萊因(Klein)群中，其單位元素e1，可視為一個實數(shù)單位，記為數(shù)1，而非單位元的元素e3記為j后，由于j不是實數(shù)且j2=1，仿照復(fù)數(shù)數(shù)對i2=－1中i的稱法，則可視為一個廣義的“虛數(shù)”單位.

如果，按照四階循環(huán)群(1，－1，i，－i)與實數(shù)域的結(jié)合方法，把四階克萊因(Klein)群與實數(shù)結(jié)合起來，則不難構(gòu)建一個不同于傳統(tǒng)意義的新的二元“復(fù)數(shù)”數(shù)系.

在此新的二維代數(shù)系中，任一個數(shù)都可表為z=x+yj，且有

如果，z1=x1+y1j，z2=x2+y2j，則

由于，此數(shù)系中的數(shù)是以克萊因(Klein)群為基礎(chǔ)構(gòu)造而成的，故本文把這種新的數(shù)，則命名為“克萊因數(shù)”.

克萊因數(shù)的代數(shù)表示與復(fù)數(shù)的代數(shù)表示相近，有虛實兩個部分，且同樣可有共軛的概念.在克萊因數(shù)系中，設(shè)za與zb為任意兩數(shù)為za的共軛數(shù)為zb的共軛數(shù)，則數(shù)za與zb和數(shù)為za，有如下表示形式:

在克萊因數(shù)系中，任意兩數(shù)za與zb的乘法運(yùn)算為，

注意到，在復(fù)數(shù)中，任意兩復(fù)數(shù)za與zb的乘法運(yùn)算，則是

顯然，克萊因數(shù)的乘法運(yùn)算結(jié)構(gòu)與復(fù)數(shù)系乘法運(yùn)算結(jié)構(gòu)是不同構(gòu)的.由克萊因數(shù)系的代數(shù)結(jié)構(gòu)，我們不難證明，克萊因數(shù)系的代數(shù)結(jié)構(gòu)是一個具有零元的可交換環(huán).而我們所熟知的復(fù)數(shù)系，其代數(shù)結(jié)構(gòu)則是一個域.因此，新的二元克萊因數(shù)系與熟知的復(fù)數(shù)系在代數(shù)結(jié)構(gòu)上是不同構(gòu)的.

下面探討克萊因數(shù)系的代數(shù)結(jié)構(gòu)與平面幾結(jié)構(gòu)的相互對應(yīng)關(guān)系.要想弄清，克萊因數(shù)系與平面幾何結(jié)構(gòu)的對應(yīng)關(guān)系，首先在克萊因數(shù)系中，引入相應(yīng)的內(nèi)積與外積運(yùn)算.

下面給出克萊因數(shù)系中，任意兩數(shù)間的內(nèi)積運(yùn)算的定義

設(shè) za與 zb為任意克萊因數(shù)為 za的共軛數(shù)為 zb的共軛數(shù)，“* ”為任意兩克萊因數(shù)的內(nèi)積運(yùn)算符號

定義任意兩個數(shù)za與zb的內(nèi)積運(yùn)算“*”為:za*zb

由此定義，不難證明克萊因數(shù)數(shù)的內(nèi)積運(yùn)算“* ”，有下列基本性質(zhì)

(2)za*zb=zb*za，即復(fù)數(shù)的內(nèi)積運(yùn)算具有交換性.

(3)(za+zb)*zc=za*zc+zb*zc，即復(fù)數(shù)的內(nèi)積運(yùn)算對復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算具有分配性.

(5)z*z≥0，等號當(dāng)且僅當(dāng)z=0時成立.

由此可知，在克萊因數(shù)系中，當(dāng) k為實數(shù)時，必有k*(αj)=0，故實數(shù)k與虛數(shù)αj，總是相互垂直的.

由于，在克萊因數(shù)系中，引入了內(nèi)積運(yùn)算，故在克萊因數(shù)系中不難給出任一數(shù)的長度或任意兩數(shù)夾角的定義.

任意兩克萊因數(shù)間的夾角定義為:＜za，zb＞≡arc cos，特別地，當(dāng)za*zb=0時，則克萊因數(shù)za與zb相互垂直.

為使克萊因數(shù)系中的數(shù)，能與幾何理論更緊密結(jié)合起來，在克萊因數(shù)系中，同樣可引入相應(yīng)的外積運(yùn)算.其定義形式與復(fù)數(shù)系中外積定義形式相同.

即定義任意兩個克萊因數(shù)za與zb的外積運(yùn)算“∧”為:

由此定義，不難證明克萊因數(shù)的外積運(yùn)算“∧”，有下列基本性質(zhì)

(1)za∧zb=，即任意兩非零克萊因數(shù)za與zb的外積必為一虛數(shù).

(2)za∧zb=－(zb∧za)，即克萊因數(shù)的外積運(yùn)算具有反交換性.

(3)(za+zb)∧ zc=za∧ zc+zb∧ zc，或 za∧ (zb+zc)=za∧zb+za∧zc，即克萊因數(shù)的外積運(yùn)算對復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算具有分配性.

綜上所述，我們不難發(fā)現(xiàn)，只要在克萊因數(shù)系中，引入兩個新的內(nèi)積與外積運(yùn)算，那么，平面幾何的理論結(jié)構(gòu)體系，同樣可以在克萊因數(shù)系中重新構(gòu)建起來.因此，幾何平面結(jié)構(gòu)與廣義的復(fù)代數(shù)結(jié)構(gòu)，同樣存在著相互對應(yīng)的關(guān)系.由此可知，幾何平面結(jié)構(gòu)與代數(shù)結(jié)構(gòu)的相互對應(yīng)并非是一一對應(yīng)關(guān)系，而是一對多的關(guān)系.

通過對平面的自然代數(shù)結(jié)構(gòu)這一問題的研究，本文發(fā)現(xiàn)，雖然，二元代數(shù)數(shù)系的種類多種多樣，但是，無論是何種形式的二元代數(shù)數(shù)系，只要在其中引入與之相應(yīng)的內(nèi)積與外積的代數(shù)運(yùn)算，那么，在此二元代數(shù)數(shù)系中，必定能有一個不依賴于二元數(shù)系具體形式的二維空間結(jié)構(gòu)與之相聯(lián)系.

在數(shù)學(xué)的理論體系中，如果能用代數(shù)結(jié)構(gòu)與幾何結(jié)構(gòu)相對應(yīng)的思想，把n元代數(shù)的數(shù)與n維幾何的形相互統(tǒng)一起來，使之構(gòu)成一個統(tǒng)一的整體.這種對應(yīng)思想的實質(zhì)，就是把某個有限群與一個域結(jié)合起來使之成為一個新的代數(shù)體系，而在此代數(shù)體系中，通過借助其固有的代數(shù)運(yùn)算，使幾何結(jié)構(gòu)與代數(shù)結(jié)構(gòu)成為一個統(tǒng)一整體.在這種統(tǒng)一體中，群，環(huán)，域，不僅是一種代數(shù)結(jié)構(gòu)，同時也是一種幾何結(jié)構(gòu).因為，此時數(shù)系中的代數(shù)元素相加，就是幾何的有向線段相加，而群元素間的代數(shù)運(yùn)算，也就是幾何線段圖形的幾何運(yùn)算.所以，數(shù)學(xué)代數(shù)理論中所謂的“抽象代數(shù)”實質(zhì)上也就是一種“抽象的幾何”理論.

長期以來，人們總想弄清，物理空間為什么只能是三維的?對此問題，雖然，在代數(shù)理論中，已經(jīng)證明三維的復(fù)數(shù)域是不可能存在的.但這并等于否定不存在與三維空間結(jié)構(gòu)相對應(yīng)的代數(shù)數(shù)系.因為，我們現(xiàn)已找到能與三維空間結(jié)構(gòu)相對的代數(shù)數(shù)系，并且發(fā)現(xiàn)，通過由此代數(shù)數(shù)系中所定義的內(nèi)積與外積運(yùn)算，確實能建立起數(shù)與形的相互統(tǒng)一.凡是對此有興趣的學(xué)者不妨試試便知.

總之，通過本文的研究，所得到的結(jié)論是，在整個數(shù)學(xué)理論體系中，代數(shù)的數(shù)與幾何的形是相互對應(yīng)且自然統(tǒng)一的.構(gòu)成代數(shù)理論體系的基本元素數(shù)量，與構(gòu)成幾何理論體系的基本元素矢量，在數(shù)學(xué)理論的邏輯結(jié)構(gòu)中實是同一元素.在平面空間結(jié)構(gòu)中是如此，在三維空間結(jié)構(gòu)中同樣也是如此.