一類橢圓曲線有正整數點的判別條件

楊海,付瑞琴

(1.西安工程大學理學院,陜西西安 710048;2.陜西師范大學數學與信息科學學院,陜西西安 710062)

一類橢圓曲線有正整數點的判別條件

楊海1,2,付瑞琴2

(1.西安工程大學理學院,陜西西安 710048;2.陜西師范大學數學與信息科學學院,陜西西安 710062)

設p是適合p≡1(mod 8)的奇素數.本文主要利用初等方法證明了橢圓曲線y2=px(x2+1)在p≡9(mod 16)時沒有正整數點(x,y);并且對于p≡1(mod 16)的情況,給出了該橢圓曲線有整數點的兩個判別條件.

橢圓曲線;正整數點;判別條件

1 引言

近年來,橢圓曲線的整數點是數論和算術代數幾何中引人關注的研究課題.設p是素數,對于橢圓曲線

文獻[1]證明了它至多有1組正整數點(x,y).此后,文獻[2]證明了:當p=2時,橢圓曲線(1)僅有正整數點(x,y)=(1,2);當p是適合p/≡1(mod 8)的奇素數時,橢圓曲線(1)沒有正整數點.由此可知,橢圓曲線(1)的正整數點的存在性只需考慮p≡1(m od 8)時的情況.最近,文獻[3]證明了:如果p=22m+1是Fermat素數,其中m是大于1的正整數,那么(1)有正整數點.本文將對一般的p給出(1)有正整數點的判別條件.

對于給定的正整數n,n可唯一地表示成n=dm2,其中d和m是正整數,d是無平方因子.這樣的d稱為n的無平方因子部分,記作d(n).

設N是全體正整數的集合.由文獻[4]中第2.2節可知:當p≡1(m od 4)時,方程

此時,(u,v)=(uk,vk)(k=1,3,5,…)是方程(2)的全部解.

本文利用初等數論方法證明了以下結論:

定理1.1當p≡1(mod 8)時,橢圓曲線(1)有正整數點的充要條件是2?d(u1)且ud(u1)是平方數.其中(u1,v1)是方程(2)的基本解,(ud(u1),vd(u1))適合(3)式.當此條件成立時,橢圓曲線(1)僅有正整數點

定理1.2當p≡9(mod 16)時,橢圓曲線(1)沒有正整數點.

定理1.3如果p=16r4+1時,其中r是正整數,那么方程(2)必有正整數點.

顯然,定理1.2改進了文獻[2]的結果,定理1.3包含了文獻[3]的結論,并且由此可推知橢圓曲線(1)在p=2107等不是Fermat素數的情況下也有正整數點.

另外,由于文獻[5]已經證明:當3?d(u1)或者5?d(u1)時,ud(u1)不是平方數;并且猜測:當d(u1)是大于1的正奇數時,ud(u1)都不是平方數.因此本文提出以下猜想：

猜想當p≡1(m od 16)時,橢圓曲線(1)有正整數點的充要條件是u1為平方數,這里(u1,v1)是方程(2)的基本解.

2 一個引理

3 定理的證明

定理1.1的證明由文獻[2]的分析可知:當p≡1(mod 8)時,橢圓曲線(1)有正整數點的充要條件是p滿足

當條件(8)式成立時,橢圓曲線(1)僅有正整數點

由于條件(8)式成立等價于方程

有解(X,Y),所以根據引理1.1即可得定理1.1.

定理1.2的證明當p滿足(8)式時,如果b=1,那么因為2|a,于是由(8)式可得

于是,根據Jacobi符號的性質(參見文獻[7]的定理3.6.3),由(12)式和(15)式可得b≡1(mod 8),因此b2≡1(mod 16),并且由(8)式可知此時p也滿足(11)式.由此可知:當p≡9(m od 16)時,橢圓曲線(1)沒有正整數點.定理1.2證完.

定理1.3的證明當p=16r4+1時,因為條件(8)在a=2r且b=1時成立,故由文獻[2]可知此時橢圓曲線(1)必有正整數點.定理1.3證完.

參考文獻

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[7]華羅庚.數論導引[M].北京:科學出版社,1979.

The criterions for a kind of ellip tic cu rve has positive in teger poin ts

Yang Hai1,2,Fu Ruiqin2

(1.School of Science,X i′an Polytechnic University,Xi′an 710048,China;
2.College of Mathematics and In formation Science,Shaanxi Normal University,Xi′an 710062,China)

Let p is an odd p rim e w ith p≡1(m od 8).The m ain purpose of this paper is using the elem entary m ethods to p rove that if p≡9(m od 16),then the ellip tic cu rve y2=px(x2+1)has no positive integer point (x,y).Moreover,for p≡1(mod 16),two criterions for the elliptic curve has positive integer points are given. K ey w ords:elliptic curve,positive integer point,criterion

O156

A

1008-5513(2013)04-0338-04 DO I：10.3969/j.issn.1008-5513.2013.04.002

2013-05-27.

國家自然科學基金(11226038);陜西省教育廳專項基金(11Jk0474,11Jk0472);西安工程大學博士科研基金(BS1016).

楊海(1979-),博士后,講師,研究方向：數論及其應用.

2010 M SC:11D 25