(2+1)維KP方程的三類精確解

夏鴻鳴

(天水師范學院數學與統計學院,甘肅天水 741001)

(2+1)維KP方程的三類精確解

夏鴻鳴

(天水師范學院數學與統計學院,甘肅天水 741001)

研究了(2+1)維KP方程的孤子解問題.應用Riccati方程映射法,得到了(2+1)維KP方程的新的顯式精確解的結構.根據得到的精確解結構,構造出了該方程的三類精確解.

Riccati方程映射法;KP方程;精確解

1 引言

孤子是非線性領域的一個十分重要的現象.近年來,許多學者對此進行了廣泛的研究,提出了相干孤子結構注入線孤子、環孤子、方孤子、明孤子、暗孤子等[1],而且,人們還利用反散射方法[2]、B¨acklund變換[3]、雙線性方法[4]、齊次平衡法[5]、Riccati方程映射法[6]和分離變量法[1]等幾十種方法求出了許多非線性數理方程的孤子解的精確顯式表達式,為研究孤子的各種性質提供了極大的方便.在這些方法中,Riccati方程映射法是近年來發展起來的一種直接假設方法,這種方法簡便易行,能夠求出許多方程的各種形式的精確顯式孤子解.

KP方程在(2+1)維方程中占有非常重要的地位,1970年由Kadomtsev和Petviashvili提出,用以描述弱色散和非線性介質中的擾動[7].KP方程具有N孤子解[8]、無窮多對稱[9]和守恒律、Painlev′e性質和B¨acklund變換[10]等.本文運用Riccati方程映射法,研究(2+1)維KP方程的精確解的結構.

2 Riccati方程映射法

對于一般的非線性數理方程

就可以確定所求方程的解.

3 (2+1)維KP方程的孤子解

(∫ )-1

4 討論

觀察圖1可知,u1反映了鐘狀孤立波和扭狀孤立波的相互作用.同理可得,(13)、(14)、(15)式表示三類類周期波解,(16)式表示一類分離變量解.

圖1 由(17)式得到的兩個孤子彈性作用的時間演化圖

5 小結

本文使用Riccati方程映射法研究(2+1)維KP方程的解的結構,得到了三類解的精確顯式表達形式,主要包括了一類孤立波解、三類類周期波解和一類分離變量解,這些結果與以往的文獻不同.由于表達式中函數的任意性,使(2+1)維KP方程的精確解特別是孤子解的形式更加豐富.當選取不同的函數時,還有可能構建多種局域結構,如分形結構、混沌結構等,從而使孤子理論的研究引向深入.這些問題將進一步研究.

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Three types exact solution of(2+1)-dimensional KP equation

Xia Hongming

(College of Mathematics and Statistics,Tianshui Normal University,Tianshui741001,China)

In this paper,the soliton solution of(2+1)-dimensional KP equation is investigated,where a new structure of the explicit exact solutions for this equation is obtained by applying Riccati equation mapping method and variable separation method.As a result,three types soliton solutions of the equation are established.

Riccati equation mapping method,KP equation,exact solutions

O175.2

A

1008-5513(2013)06-0577-05

10.3969/j.issn.1008-5513.2013.06.005

2013-11-10.

夏鴻鳴(1968-),碩士,副教授,研究方向：非線性數理方程.

2010 MSC:35Q53