基于矩陣冪運(yùn)算的重特征值存在性定理

孫夢(mèng)哲,包研科

(遼寧工程技術(shù)大學(xué)理學(xué)院,遼寧阜新 123000)

基于矩陣冪運(yùn)算的重特征值存在性定理

孫夢(mèng)哲,包研科

(遼寧工程技術(shù)大學(xué)理學(xué)院,遼寧阜新 123000)

對(duì)于判斷矩陣重特征值的存在性問(wèn)題,運(yùn)用“若λ是矩陣A的特征值,則λk是Ak的特征值”這一性質(zhì),通過(guò)矩陣的跡與特征值的關(guān)系,得到了實(shí)數(shù)域上矩陣重特征值的存在性定理并給出了證明.定理實(shí)現(xiàn)了“由矩陣冪運(yùn)算來(lái)判斷矩陣重特征值的存在性”這樣一個(gè)計(jì)算過(guò)程,對(duì)討論矩陣特征值問(wèn)題具有一定的啟示意義.

實(shí)矩陣;重特征值;存在性定理

1 引言

近年來(lái),關(guān)于重特征值計(jì)算方法的研究[1-5]以及重特征值靈敏度的分析[6-10]取得了很多成果,但關(guān)于重特征值存在性的研究相對(duì)較少,以“重特征值”和“存在性”為關(guān)鍵詞在中國(guó)知網(wǎng)聯(lián)合檢索僅有一篇文獻(xiàn)[11].

本文討論實(shí)數(shù)域上矩陣重特征值的存在性問(wèn)題.

設(shè)A∈Mn×n(R),其特征多項(xiàng)式為:

2 重特征值的存在性定理

3 示例

其中,Sk=tr(Ak),k=0,1,2,3,4.

(4)判斷矩陣A重特征值的存在性.

容易計(jì)算rank(M)=2按照定理1,A有兩個(gè)互異特征值,必有一個(gè)是二重的.

定理2中的情形與上述示例中給出的計(jì)算原理相同.

[1]遲彬.用奇異值分解方法計(jì)算具有重特征值矩陣的特征矢量[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),2004,25:233-238.

[2]葉慶凱.矩陣重特征值的一種計(jì)算方法[J].控制理論與應(yīng)用,1998,1:118-120.

[3]章永強(qiáng).對(duì)應(yīng)重特征值的特征向量導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法[J].復(fù)旦學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,1993,3:335-341.

[4]劉文軍.具隨機(jī)剛度梁結(jié)構(gòu)的重特征值計(jì)算[J].武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào),2006,8:65-68.

[5]陳塑寰.重特征值的特征向量導(dǎo)數(shù)計(jì)算的新方法[J].機(jī)械強(qiáng)度,1995,2:43-47.

[6]孫繼廣.重特征值敏度的數(shù)值計(jì)算[J].計(jì)算數(shù)學(xué),1992,1:11-20.

[7]崔博文,沈允文.重特征值模態(tài)靈敏度分析的非線性攝動(dòng)法[J].航空動(dòng)力學(xué)報(bào),1998,13:89-92.

[8]解惠青.非對(duì)稱廣義特征值問(wèn)題重特征值的靈敏度分析[J].南京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào),2004,36:52-56.

[9]解惠青.單參數(shù)對(duì)稱廣義特征值問(wèn)題重特征值的靈敏度分析[J].華東理工大學(xué)學(xué)報(bào),2005,31:841-843.

[10]李書.結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中具有重特征值的靈敏度分析[J].北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào),2000,5:577-580.

[11]朱誦文.實(shí)對(duì)稱矩陣存在重特征值的必要條件[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010,2:5-8.

[12]張賢科.高等代數(shù)學(xué)[M].2版.北京:清華大學(xué)出版社,2004.

Powers of matrices on the existence of multiple eigenvalues

Sun Mengzhe,Bao Yanke

(Collage of Science,Liaoning Technical University,Fuxin123000,China)

In order to judge the existence problem of matrix eigenvalues,we using the nature of“if λ is the eigenvalues of matrix A,then λkis the eigenvalues of Ak”,by means of the relationship between the trace and the eigenvalues matrix,we obtain the existence theorems of real number feld matrix eigenvalues,and the proof is given.The theorem of the realization of such a calculation process“By the matrix exponentiation to judge the existence of matrix repeated eigenvalues”,has certain enlightenment signifcance to the repeated eigenvalues matrix.

realmatric,epeated eigenvalues,existence theorem

O151.2

A

1008-5513(2013)06-0641-05

10.3969/j.issn.1008-5513.2013.06.014

2013-11-19.

教育部高校博士學(xué)科專項(xiàng)科研基金(20102121110002).

孫夢(mèng)哲(1989-),碩士生,研究方向：數(shù)據(jù)分析.

2010 MSC:03G27