基于單層小波變換的壓縮感知圖像重構(gòu)技術(shù)

曹曉勇 屈靜軍

一、引言

信息技術(shù)的發(fā)展使得需要處理的信息劇增。在傳統(tǒng)的信號采集過程中，為了避免信號失真及碼間干擾，一般都會遵循奈奎斯特采樣定理（又稱香農(nóng)采樣定理）。它指出，要想精確的重構(gòu)信號，采樣速率必須達(dá)到信號帶寬的2倍以上。隨著獲取數(shù)據(jù)能力的不斷增強(qiáng)，需要處理的數(shù)據(jù)量的不斷增多，這對信號的處理能力有了更高的要求，在實(shí)際A/D轉(zhuǎn)化過程中往往需要很高的采樣率，同時又需要對采集來的大量的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮和傳輸，這對存儲、傳輸和計(jì)算都造成了很大程度的浪費(fèi)。近年來，提出了一種新的理論—壓縮感知（Compressed Sensing）[1，2]，它通過開發(fā)信號的稀疏特性，將信號在某種空間下表示出來，在保證信息不丟失的前提下，用遠(yuǎn)小于奈奎斯特采樣率的隨機(jī)采樣獲取信號的離散樣本，然后通過非線性重建算法完美的重建信號。這樣極大的降低了信號采樣速率、處理時間以及傳輸和存儲成本。

目前，壓縮感知在實(shí)際中的應(yīng)用有了一定得研究。國內(nèi)也有很多這方面的研究，但主要是壓縮感知理論的介紹[3]。因此還需要進(jìn)行更深入的研究。

二、壓縮感知理論簡介

設(shè)一離散信號x長度為n，如果x包含r個非零元素，且r<

xy=Ψ （1）

其中y=yr+w。yr是y中的零元素，w是y中值很小的元素。在一定得精度要求下，w也可近似為0。

對于信號x，若將其投影到一組測量向量Φ（Φ∈Rm*n）上，則可以得到關(guān)于x的m個線性方程，即：

sx=Φ （2）

其中m<

syyφψ

參考文獻(xiàn)：

[1] DONOHO D. Compressed sensing[J]. IEEE Transactions on Information Theory，2006，52（4）： 1289-1306.

[2] CANDES E. Compressive sampling[A]. Proceedings of the International Congress of Mathematicians[C]. Madrid，Panin，2006.33-1452.

[3] 石光明，劉丹華，高大化等，壓縮感知理論及其研究進(jìn)展[J]. 電子學(xué)報(bào)，2009，37（5）：1070-1081

[4] E. Cand`es and J. Romberg，Sparsity and incoherence in compressive sampling [J]. Inverse Problems，2007： 969–985

[5] CANDES E，ROMBERG J，TAO T，Robust uncertainty principles： Exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information[J]. IEEE Transactions on Information Theory，2006，52（4）：489-509.

[6] FIGUEIREDO M A T，NOWAK R D，WRIGHT S J. Gradient projection for sparse reconstruction： Application to compressed sensing and other inverse problem[J]. Journal of Selected Topics in Signal Processing：Special Issue on Convex Optimization Methods for Signal Processing，2007，1（4）： 586-598.

[7] TROPP J，GILBERT A C. Signal recovery from random measurements via orthogonal matching pursuit[J]. IEEE Transactions on Information Theory，2007，53（12）： 4655-4666.