在軌服務飛行器機械臂系統運動規劃

李巖，蔡遠文

(裝備學院 航天裝備系，北京101416)

在軌服務飛行器(orbital servicing vehicle，OSV)工作在微重力環境下，因存在動量和動量矩守恒，OSV姿態會隨機械臂的運動而改變.此時，機械臂系統的運動規劃和固定基座的機械臂有所不同.諸多文獻的研究成果表明[1-4]，OSV機械臂系統的運動規劃一般以機械臂的運動對基座擾動最小和控制過程能耗最小為優化目標.多采取的研究思路為:根據守恒定律建立OSV機械臂系統的運動模型，將其轉化為非線性控制系統狀態方程，確定系統優化的目標函數，利用最優化理論和方法計算最優控制律.本文在此思路的基礎上，考慮了多種初末狀態約束，對運動規劃目標和規劃方法進行了分析和改進.

1 運動規劃的目標函數

以文獻[5]中建立的單臂二關節機械臂系統為例，討論其運動規劃步驟和方法(如圖1).定義系統的位形x=[q1q2qB]T為狀態變量，機械臂各關節相對轉動的角速度q·(i=1，2)作為輸入變量，則系統的狀態方程可表示為

圖1 單臂二關節OSV機械臂系統參數定義Fig.1 Parameter definition of single arm and double joints OSV manipulator system

根據最小能量控制原理，選擇機械臂關節相對轉動的耗散能作為最優控制指標，用泛函表示為

式中:＜u(t)，u(t)＞表示內積，u(t)為 Hilbert空間L2的可測向量函數.在實際計算時，常用有限維的子空間代替，由函數空間中的投影定理，取Fourier基向量ei張成 N維線性子空間，則u(t)在 N維Fourier子空間上的投影就是Fourier級數中前N項部分和[7-9]，即

式中:ai為函數u(t)在{ei}(i=1，…N)基上的投影，a為投影向量;Φ是Fourier正交基向量組成的n×N維矩陣.將a看作新的控制變量，根據Fourier正交基的積分特性，同時考慮系統終端約束條件，控制目標可表示為以下函數:

式中:λ為懲罰系數，取值足夠大;x(T)是式(1)在給定控制輸入u(t)時，系統在t=T時的狀態.顯然，x(T)也是a的函數，記作x(T)=f(a)，當給定N和λ時，式(4)可寫為

因此，尋找控制輸入u(t)使式(4)為最小的問題即為尋找a使式(5)為最小值的問題[10-13].按照上述思路得到以下幾類最優規劃問題的目標函數.

1)在機械臂關節角運動初末速度無約束的條件下，目標函數為式(5).

2)一般情況下，機械臂位形變化時，要求其關節角速度在初始時刻和終端時刻為零.在該條件約束下，將目標函數增加輸入條件約束及其懲罰系數γ，即

3)OSV機械臂系統，在展開過程中對OSV本體(載體或基座)的姿態造成一定的影響.這種影響可以通過機械臂從收縮狀態到完全展開過程中，基座姿態的變化情況來觀察和分析.在此過程中，假設系統滿足能量最優以及初末時刻關節角速度為零的條件(即式(7)的條件)，且關節角初末狀態分別為q10=q20=180°，q1T=q2T=0°，其目標函數如下:

4)為了尋找控制輸入u(t)使機械臂展開對基座的影響最小，需要得到衡量基座姿態變化的指標量.從姿態變化過程方面考慮，可以用單位時間姿態變化量絕對值的總和來表示，得到以下指標量:

所以總的目標函數為

5)為了使機械臂展開過程始末，載體姿態初始和末端狀態一致，即qB0=qBT(本例為0°)，在系統能耗最小且初末關節角速度為零條件下，提出以下目標函數:

2 求解運動規劃問題的遺傳算法

遺傳算法是一種新型的優化算法，由于其在進化搜索中能基于多點進行整體搜索，有較好的全局搜索性能.利用遺傳算法求解優化問題時，當變量維數過高且取值范圍較大時，可使用精度高、便于大空間搜索的實數編碼.在設計算法和仿真計算過程中，選擇合適的冪函數對適應度進行收放，能夠有效的解決進化過程不收斂，或出現未成熟收斂現象的問題[14].結合空間機械臂的運動規劃最優控制問題，相應的遺傳算法步驟如下:

1)染色體編碼.利用遺傳算法的并行搜索，對式(5)中函數u(t)在Fourier基上的投影a采用實數編碼，染色體編碼為ai(i=1，2，…，N)組成的N維向量.

式中:ai為實數.

2)初始群體的生成.隨機產生M個個體，將M個個體的每一分量初始化為0均值，方差為σ的高斯分布隨機數.

3)適應度函數的建立.染色體評價的適應度函數設為

4)尺度變換函數，收放適應度:

式中:b、c為收放參數.

5)遺傳操作設計.

①選擇:根據式(12)和式(13)計算每個染色體的適應度值 g'(ai)(i=1，2，…，M)，那么第 i個體被選擇的概率為

個體的選擇采用輪盤賭選擇方法.

②交叉:根據交叉概率Pc選擇參加交叉的個體(偶數個).采用隨機線性組合方式進行交叉計算.設被選中交叉的個體為:v，w，則其后代 v'，w'為

式中:r為(0，1)均勻分布的隨機數.

③變異:根據變異概率Pm，將被選擇變異的基因變為任一同均值和方差的高斯分布隨機數δj:

6)重復3)至5)步，直到求出滿足條件的最優解，或到達終止代數G.

3 仿真算例和分析

以上述空間機械臂系統參數作為算例，如圖1所示.設系統物理和幾何參數為[5]:m0=1 800 kg，m1=m2=50 kg;I0=1 260 kg·m2，I1=I2=71 kg·m2;b0=3.5 m，a1=b1=a2=b2=2.0 m.

載體與機械臂完成規定運動時間設為T=20 s.遺傳算法的控制參數分別為:群體規模M=40，染色體長度N=10，交叉概率 Pc=0.8，變異概率 Pm=0.15，進化代數G=2 000.在仿真試驗中，選取10個Fourier正交基矢量

3.1 從初始位置到終端位置的運動規劃

假設機械臂系統從初始位形 qB0=0°，q10=-21.8°，q20=117.4°，運 動 到 終 端 位 形 qBT=-31.394 4°，q1T=66.310 2°，q2T=94.959 6°[5]，選擇投影a，使運動過程機械臂消耗最小.

1)初末時刻關節角速度無約束情況.

目標函數為式(5)，取λ=1 000.在按照上述步驟執行遺傳算法的同時，需要根據多次試驗的數據，進一步確定合適的適應度收放參數b，c，以及高斯分布的方差σ.為了獲得更加準確的最優目標值，可選擇多次試驗的最優結果，作為初始種群多次計算，得到表1的最優值.其仿真過程軌跡和各參數的變化情況如圖2、3.

表1 圖2中遺傳算法計算結果統計Table 1 Result of genetic algorithm in Fig.2

圖2 無初末端速度約束的位形變化Fig.2 The motion without the original or the terminal velocity restriction

圖3 圖2中關節角速度，關節角，基座姿態角以及基座位置變化曲線Fig.3 Curve of the joint angle ＆ angle speed and the base attitude ＆ position in Fig.2

2)關節角速度初末時刻為零的情況.

其目標函數為式(6)，取λ=γ=1 000，下同.表2中是遺傳算法計算結果，圖4中是最優輸入下的變化軌跡.從圖5中相關參數變化曲線能夠更清楚地看到機械臂關節角速度初末時刻為0.

圖4 初末速為零約束條件下的位形變化Fig.4 The motion under the restriction of zero original and terminal velocity

圖5 圖4中關節角速度，關節角，基座姿態角以及基座位置變化曲線Fig.5 Curve of the joint angle ＆ angle speed and the base attitude ＆ position in Fig.4

3.2 機械臂展開過程的擾動分析

1)能耗最小，初末時刻關節角速度為零的情況.目標函數為式(7).由于機械臂系統物理參數參考真實航天器，因而機械臂系統的運動時間盡量符合實際，設T=200 s.假設機械臂在Z軸垂直平面內，不受載體形狀約束，可以完全收縮.機械臂系統以最小的能耗從完全收縮狀態q10=q20=180°，到完全展開狀態q1T=q2T=0°，分析該過程對基座的影響情況.此時，機械臂伸展到達慣性系中的最大作用距離|rt|max=11.105 3 m.設基座初始狀態為qB0=0°.計算數據如表3.

圖6 機械臂從收縮到展開的初末狀態對比Fig.6 Comparison between contraction status and extension status of the manipulator

圖6和圖7中的軌跡和參數變化曲線可以看出，在初末速(關節角速度)為零，能耗最小的條件下，機械臂展開過程中，基座姿態由0°變為52.33°.且桿1和桿2幾乎同時同步展開，關節展開速度變化幾乎一致.算例結果表明，機械臂在展開過程中對基座姿態造成了較大影響.

圖7 展開過程中關節角速度，關節角，基座姿態角以及基座位置變化曲線Fig.7 Curve of the joint angle ＆ angle speed and the base attitude＆position during the motion

2)能耗最小，初末時刻關節角速度為零，同時對基座擾動最小情況.計算數據如表4.目標函數為式(9).圖8和圖9中可以得出，增加擾動最小的目標要求后，機械臂展開過程中，關節角q1的變化出現了非單調的特征.為了減小對基座的影響，關節角q1在110 s附近開始“過零”和“回調”.機械臂基座姿態由0°變為26.26°，比上例減小近半.此外，為減小對基座的擾動，展開過程中，桿1(關節1)首先展開;桿2展開動作稍滯后，且q2單調變化.該算例表明，合理設計規劃目標，可以減小機械臂對基座的姿態擾動.

圖8 擾動最小情況下，機械臂的初末狀態對比Fig.8 Comparison between original and terminal status of the manipulator with the minimum disturbance to the base

圖9 圖8中關節角速度、關節角、基座姿態角以及基座位置變化曲線Fig.9 Curve of the joint angle ＆ angle speed and the base attitude ＆ position during the motion in Fig.8

3)能耗最小，初末時刻關節角速度為零，擾動最小，且基座末端姿態與初始姿態一致.計算數據如表5.目標函數為式(10).

圖10 基座擾動最小且初末時刻姿態一致條件下的機械臂展開過程Fig.10 Motion of the manipulator from contraction to extension with the same original and terminal base attitude and minimum disturbance

圖10、11中可以看出，機械臂的展開過程中關節角q1和q2的變化都呈現非單調性.為了使基座初末狀態保持一致，機械臂需要通過自身的伸展和收縮運動相協調，對基座進行姿態回調.該算例結果表明，合理設計目標函數，可以通過機械臂運動調整基座姿態.

圖11 圖10中關節角速度、關節角、基座姿態角以及基座位置變化曲線Fig.11 Curve of the joint angle ＆ angle speed and the base attitude ＆ position during the motion in Fig.10

表2 圖4中遺傳算法計算結果統計Table 2 Result of genetic algorithm in Fig.4

表3 圖6中遺傳算法計算結果統計Table 3 Result of genetic algorithm in Fig.6

表4 圖8中遺傳算法計算結果統計Table 4 Result of genetic algorithm in Fig.8

表5 圖10中遺傳算法計算結果統計Table 5 Result of genetic algorithm in Fig.10

上述分析表明，帶機械臂的OSV系統中，機械臂的運動給基座造成較大影響.一方面，這種影響可以代替GNC系統對基座姿態進行調整，從而節省調姿發動機的燃料消耗.另一方面，通過研究影響的變化規律，可以設計相應的姿態補償系統，消除機械臂作業過程中對基座的不必要擾動.

4 結束語

本文提出了一種可行的OSV機械臂系統運動規劃方法.首先確定規劃目標，將機械臂系統運動守恒模型轉化為非線性控制系統狀態方程，將運動規劃轉化為尋求滿足目標函數的最優控制問題.為了簡化目標函數，將輸入控制函數表示為Fourier正交基與其投影的積的形式，而目標函數中對于初末時刻約束條件的處理采用增加懲罰系數的方法.狀態方程和目標函數明確以后，可以用多種最優化方法解決問題，而遺傳算法具有通用性強，最優解全局性好的特點，能夠求解多種復雜的目標函數.

OSV機械臂系統相當復雜，本文僅以較簡單的二關節單臂系統為例進行分析，得出了解決機械臂系統運動規劃問題的一般思路.文中內容還有不完善的地方需要進一步深入研究.如:系統模型為二維簡化模型，僅考慮了關節軸平行的情況，且未進行誤差分析;OSV機械臂運動控制本體姿態的方法需要進一步細化;遺傳算法效率較低，可進一步嘗試多種優化算法，以提高計算效率，實現在線規劃等.

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