水下GPS定位誤差分析

張宏奎，楊益新，李志偉

（西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院，陜西 西安 710072）

水下GPS定位技術(shù)集水聲定位、衛(wèi)星導(dǎo)航定位、高精度時鐘和水下通訊等技術(shù)于一體，實(shí)現(xiàn)海上測量點(diǎn)（浮標(biāo)）位置的精確定位[1]，既解決了傳統(tǒng)水聲定位技術(shù)無法獲得目標(biāo)絕對坐標(biāo)的難題，又使廣泛應(yīng)用于地面和海面的GPS定位技術(shù)能夠進(jìn)行水下目標(biāo)定位，在解決水下目標(biāo)絕對定位問題中有良好的應(yīng)用前景。

在實(shí)際使用中，由于海洋環(huán)境復(fù)雜多變，水下GPS定位精度不可避免的受到來自各方面的影響[2]，如浮標(biāo)位置坐標(biāo)和目標(biāo)與浮標(biāo)之間的斜距的測量誤差、浮標(biāo)陣的形狀、基線長度、目標(biāo)方位等都會影響定位精度。而GPS自身的測量誤差、風(fēng)浪造成的浮標(biāo)搖擺會對浮標(biāo)位置坐標(biāo)產(chǎn)生影響[2-3]。因此，分析影響定位精度的因素以及各因素對定位精度的影響程度，對于減小和消除定位誤差來說是非常有實(shí)際意義的。號的精確時延估計(jì)、解碼浮標(biāo)坐標(biāo)和精確解算目標(biāo)坐標(biāo)等[1]。GPS浮標(biāo)用于建立水下定位的海面測量基準(zhǔn)，即水面各智能浮標(biāo)基元（GIB，GPS intelligent buoy），其自身的位置通過GPS定位技術(shù)進(jìn)行實(shí)時高精度標(biāo)定。GPS浮標(biāo)主要由GPS接收機(jī)、姿態(tài)傳感器和信號處理電路等構(gòu)成，完成GPS浮標(biāo)的實(shí)時定位、浮標(biāo)姿態(tài)校正、數(shù)據(jù)的編碼控制與傳輸?shù)裙δ堋D1給出了水下GPS定位系統(tǒng)模型圖[3]。

圖1 水下GPS定位系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic of underwater GPS positioning system

1 系統(tǒng)組成及定位原理

水下GPS定位系統(tǒng)主要由安裝在水下目標(biāo)上的收發(fā)器和一系列漂浮在海面上的GPS浮標(biāo)組成。收發(fā)機(jī)主要由水聲換能器、信號處理電路以及定位解算模塊等組成，用于向GPS浮標(biāo)發(fā)送詢問信號、接收GPS浮標(biāo)的應(yīng)答信號、定位信

選擇距離目標(biāo)最近的GPS浮標(biāo)的天線相位中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立三維空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算其它各浮標(biāo)基元相對于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置即可確定其它各浮標(biāo)的位置坐標(biāo)。設(shè)各浮標(biāo)基元在浮標(biāo)基元坐標(biāo)系下的坐標(biāo)分別為T1（x1，y1，z1）、T2（x2，y2，z2）…Tn（xn，yn，zn），水下目標(biāo)的坐標(biāo)為M（xm，ym，zm）。用應(yīng)答信號測量得到浮標(biāo)Ti與目標(biāo)之間的傳播時延為τi，則測得的目標(biāo)到浮標(biāo)Ti（i=1，2…n）之間的各斜距值分別為

而根據(jù)幾何關(guān)系可得出各斜距值滿足關(guān)系式[4]

得到定位方程（2）即可解算水下目標(biāo)三維直角坐標(biāo)，再通過坐標(biāo)平移和變換就可得到水下目標(biāo)的經(jīng)緯度。

為簡化分析，我們以3個GPS浮標(biāo)組成的測量陣來分析定位誤差（以T1、T2、T3為例），并設(shè)浮標(biāo)的坐標(biāo)為T1（x1，y1，0）、T2（x2，y2，0）、T3（x3，y3，0），并將其代入定位方程（2）中即可解算目標(biāo)坐標(biāo)：

其中Y=[xm，ym]T，d2i=x2i+y2i+z2i，

由式（3）可以解出目標(biāo)坐標(biāo)（xm，ym，zm），但該坐標(biāo)是相對于假定原點(diǎn)的相對位置坐標(biāo)，通過相應(yīng)的坐標(biāo)變換可以解算出水下目標(biāo)的絕對坐標(biāo)。

2 定位系統(tǒng)誤差分析

由式（2）可知，測得的目標(biāo)到浮標(biāo)基元的斜距值是目標(biāo)位置坐標(biāo)和浮標(biāo)基元位置坐標(biāo)的函數(shù)，對定位方程（2）兩端求全微分可以得到關(guān)于目標(biāo)坐標(biāo)誤差Δxm、Δym、Δzm關(guān)系式[4]：

式中Δxm、Δym、Δzm為水下目標(biāo)在該坐標(biāo)系中的位置誤差；Δxi、Δyi、Δzi為浮標(biāo)Ti（i=1，2，3）在該坐標(biāo)系中的位置誤差；Δri為斜距值測量誤差。

將T1、T2、T3的坐標(biāo)代入（4）式就可以得到一個關(guān)于Δxm、Δym的線性方程組：

其中：X=[Δxm，Δym]T，

由于式（5）是方程數(shù)多于未知數(shù)的線性方程組，可求出其最小二乘解：

若求（ΔR）2=（Δxm）2+（Δym）2，由（7）式可知：

上式中的矩陣A（A′A）-1（A′A）-1是對稱方陣，因此（ΔR）2中包含ri、xi、yi、ΔRi、Δxi、Δyi和Δzi項(xiàng)的所有二次項(xiàng)。若它們的均值為0，則其交叉項(xiàng)的均值也為0，因此（ΔR）2是（ri）2、（xi）2、（yi）2、（Δri）2、（Δxi）2、（Δyi）2和（Δzi）2項(xiàng)的函數(shù)[5]。

從式（4）~（8）中可以看出，定位精度與各浮標(biāo)的坐標(biāo)位置測量誤差、斜距測量誤差有關(guān)；而且可以看出基線長度、浮標(biāo)基元組成的測量陣型以及目標(biāo)和測量陣的相對位置等因素也會對定位誤差產(chǎn)生影響。

3 仿真分析

假設(shè)測量誤差Δri、Δxi、Δyi和Δzi相互獨(dú)立且服從均值為0、均方差為σ2的正態(tài)分布，根據(jù)式（8）用蒙特卡洛法對每個仿真點(diǎn)計(jì)算2000次并求其均方值作為該點(diǎn)的定位誤差。

3.1 分析目標(biāo)位置和浮標(biāo)位置對定位誤差的影響

下面以目標(biāo)深度zm為橫坐標(biāo)、定位誤差ΔR為縱坐標(biāo)作圖分析目標(biāo)深度對定位誤差的影響。使用仿真條件1，且目標(biāo)坐標(biāo)xm=300、ym=30，基線長度L=500。得圖2所示目標(biāo)深度與定位誤差的關(guān)系，從圖中可以看出，雖然定位誤差隨目標(biāo)深度增加而增大，但變化很緩慢，這說明目標(biāo)深度對定位誤差影響很小。

圖2 目標(biāo)深度對定位誤差的影響Fig.2 Influence of the target depth on positioning error

下面分析目標(biāo)深度確定、基線長度對定位精度的影響。使用仿真條件1，且目標(biāo)坐標(biāo)為xm=300、ym=30、zm=100。得到圖3所示基線長度與定位誤差的關(guān)系，從圖上可以看出基線越長，定位誤差越小。

圖3 基線長度對定位誤差的影響Fig.3 Influence of baseline length on positioning error

下面分析目標(biāo)位置對定位精度的影響。使用仿真條件1，且目標(biāo)深度zm=150，基線長度L=500。得到圖4所示目標(biāo)在浮標(biāo)基元陣的不同方位時定位誤差的變化圖。從圖中可以看出，當(dāng)目標(biāo)在海平面的投影位于由各個浮標(biāo)基元圍起來的面積中間的位置時，其定位誤差要小于在此區(qū)域之外時的情況[4]。因此，在實(shí)際使用中，應(yīng)該盡可能使水下目標(biāo)位于浮標(biāo)基元基陣的正下方。

圖4 目標(biāo)位置的變化對定位誤差的影響Fig.4 Influence of the target location on positioning error

圖5 浮標(biāo)基元布陣形式對定位誤差的影響Fig.5 Influence of position of the buoys on positioning error

3.2 分析測量誤差對定位誤差的影響

下面以Δx2為例分析目標(biāo)位置坐標(biāo)確定、浮標(biāo)基元坐標(biāo)位置誤差對定位誤差的影響，因?yàn)棣i、Δyi、Δx1和Δx3對定位誤差影響的性質(zhì)和Δx2一樣，故只需分析Δx2即可。使用仿真條件2，得圖6所示定位誤差與Δx2的關(guān)系。從圖6中可以看出定位誤差隨著浮標(biāo)基元坐標(biāo)誤差的增大而增大。

圖6 浮標(biāo)基元坐標(biāo)誤差對定位誤差的影響Fig.6 Influence of coordinate error of GIB on positioning error

下面分析目標(biāo)位置坐標(biāo)確定、斜距測量誤差對定位精度的影響。因?yàn)棣1、Δr2、Δr3對定位誤差影響的性質(zhì)一樣，故這里只分析Δr1對定位誤差的影響。用仿真條件2，得到圖7所示定位誤差與斜距測量誤差Δr1的關(guān)系，從圖中可以看出斜距誤差越大，定位誤差也越大。

圖7 斜距測量誤差對定位誤差的影響Fig.7 Influence of measurement error of slant range on positioning error

4 浮標(biāo)姿態(tài)修正

在實(shí)際情況下，承載GPS接收機(jī)的浮標(biāo)基元會受海浪的影響，GPS接收機(jī)的天線會出現(xiàn)搖擺運(yùn)動，從而不可避免地影響到浮標(biāo)基元的精確測量，使浮標(biāo)基元坐標(biāo)的測量誤差增大，以致最終影響到水下目標(biāo)的精確定位[3]。使用姿態(tài)傳感器實(shí)時測量浮標(biāo)基元的姿態(tài)，可以對GPS浮標(biāo)基元進(jìn)行實(shí)時坐標(biāo)修正。

GPS天線和應(yīng)答器的水聲換能器分別安裝在浮標(biāo)的上、下方，GPS天線相位中心和換能器中心之間有一段距離，因此，實(shí)際使用中，不能使用GPS天線的坐標(biāo)代替換能器中心的坐標(biāo)，即zi≠0。GPS測量得到的坐標(biāo)只是其相位中心的瞬時坐標(biāo)，由于某一測量時刻風(fēng)浪的影響，使浮標(biāo)基元姿態(tài)發(fā)生了變化，利用姿態(tài)傳感器可以測量出其橫搖角β、縱搖角γ，并設(shè)Gx、Gy、Gz為GPS接收機(jī)在浮標(biāo)基元三維直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，x、y、z為換能器中心在浮標(biāo)基元三維直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，則從GPS天線位置坐標(biāo)到換能器中心的坐標(biāo)的

坐標(biāo)變換如圖8所示，其坐標(biāo)變換公式為[2－4，6]

圖8 浮標(biāo)基元姿態(tài)修正示意圖Fig.8 Sketch map of attitude correction of GIB

因此，坐標(biāo)修正量為Δx=x-Gx，Δy=y-Gy，Δz=z-Gz。

當(dāng)Gx＝433、Gy＝250、Gz＝0時浮標(biāo)縱橫搖擺角與坐標(biāo)修正量的關(guān)系如圖10所示。圖10中（a）、（b）分別為Δx和Δy的變化圖，從圖中可以看出搖擺角越大，坐標(biāo)修正量也越大；當(dāng)搖擺角度過大時，補(bǔ)償數(shù)據(jù)過大，其精度也相應(yīng)降低。

圖9 坐標(biāo)修正量與搖擺角的關(guān)系Fig.9 Coordinates’correction vs.the swing angle

5 結(jié) 論

通過以上分析可知，基線長度、浮標(biāo)布陣形式、目標(biāo)與浮標(biāo)陣的相對位置、浮標(biāo)姿態(tài)以及海洋環(huán)境參數(shù)等都會對水下

GPS定位誤差產(chǎn)生影響，而目標(biāo)深度對定位誤差沒有影響。海況差時，造成的浮標(biāo)位置誤差較大，需要補(bǔ)償?shù)臄?shù)據(jù)會相應(yīng)變大。浮標(biāo)基元間距越長，誤差越小；浮標(biāo)基元布陣形式越接近于等邊三角形，誤差越小；目標(biāo)越靠近浮標(biāo)陣，誤差越小。為達(dá)到更高定位精度，在允許的情況下應(yīng)該使浮標(biāo)基元布置成更接近于等邊三角形的陣型，使基線更長，使目標(biāo)在海面的投影盡可能靠近浮標(biāo)基元包圍的區(qū)域。

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